Wykład 12

Fizyka statystyczna
Ciagłe
˛
przejścia fazowe
P. F. Góra
http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/
2016
I. Model Isinga
Model Isinga jest jednym z najważniejszych i najcz˛eściej rozważanych modeli w fizyce statystycznej. Jego znaczenie wynika stad,
˛ że (i) dwuwymiarowy model Isinga można rozwiazać
˛
ściśle oraz (ii) rozwiazanie
˛
to przewiduje istnienie przejścia fazowego. Jest to jeden z bardzo niewielu ściśle
rozwiazywalnych
˛
modeli o tej właściwości.
Formalnie model Isinga jest modelem ferromagnetyka na jakiejś sieci. Z doświadczenia (i z fenomenologicznego równania stanu) wiadomo, że ferromagnetyk poniżej temperatury Curie wykazuje spontaniczna˛ (czyli pod nieobecność zewnetrznego
˛
pola) magnetyzacje;
˛ magnetyzacja ta znika powyżej temperatury Curie. Substancja staje sie˛ wówczas paramagnetykiem.
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–2
Hamiltonian Isinga
Dana jest pewna sieć d-wymiarowa. W każdym weźle
˛
sieci rezyduje klasyczny moment magnetyczny (“spin”) sj , gdzie j jest numerem wezła.
˛
Spin
może przybierać tylko wartości ±1. Zbiór wszystkich wartości {sj } jednoznacznie wyznacza (mikro)stan układu. Przyjmujemy, że każdy spin oddziałuje tylko ze swoimi najbliższymi sasiadami.
˛
Hamiltonian układu wynosi wobec tego
E{si} = −
X
hiji
εij sisj − B
N
X
si .
(1)
i=1
Pierwsza suma rozciaga
˛ sie˛ po wszystkich sasiednich,
˛
rozróżnialnych parach spinów. Ile jest tych par zależy od wymiarowości i topologii sieci.
Druga suma rozciaga
˛ sie˛ po wszystkich spinach na sieci; N jest liczba˛ spinów na sieci, B jest zewnetrznym
˛
polem magnetycznym. Stałe εij określaja˛ sprz˛eżenie pomiedzy
˛
i-tym a j-tym wezłem.
˛
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–3
Rozważmy najprostszy przypadek, w którym wszystkie stałe sprz˛eżenia
sa˛ równe ∀i, j : εij = ε > 0 (ε < 0 odpowiadałoby antyferromagnetyzmowi, którego w tej chwili nie rozważamy). Zachowanie układu determinowane jest przez dwie przeciwstawne tendencje: (1) dażenie
˛
do minimalizacji energii wewnetrznej,
˛
czyli do uporzadkowania
˛
spinów oraz (2) da˛
żenie do maksymalizacji nieuporzadkowania.
˛
Ostatecznie wynika z tego
dażenie
˛
do minimalizacji energii swobodnej Helmholtza F = U − T S, ale
jak to sie˛ manifestuje, wynika ze struktury sieci, a przede wszystkim z jej
wymiarowości.
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–4
Termodynamika
Przy powyższym założeniu hamiltonian redukuje sie˛ do
E{si} = −ε
X
si sj − B
N
X
si .
(2)
i=1
hiji
Jako sume˛ statystyczna˛ otrzymujemy
Z(B, T ) =
XX
s1 s2
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright ···
X
e−βE{si} ,
(3)
sN
12–5
skad
˛ możemy odtworzyć termodynamik˛e za pomoca˛ zwykłych wzorów:
F (B, T ) = −kB T ln Z(B, T )
!
∂
F
U (B, T ) = −kB T 2
∂T kB T
∂U
C(B, T ) =
∂T
!
* N
+
X
∂
F
=
si
M (B, T ) = −
∂B kB T
i=1
(4a)
(4b)
(4c)
(4d)
Ostatnie wyrażenie określa magnetyzacje.
˛ M (0, T ) jest magnetyzacja˛
spontaniczna.
˛
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–6
Makrostan Isinga
Niech dla zadanej konfiguracji sieci N+ oznacza liczbe˛ spinów skierowanych do góry, N− liczbe˛ spinów skierowanych w dół, N+ + N− =
N . Każda para najbliższych sasiadów
˛
należy do jednego z trzech typów:
(+, +), (+, −), (−, −). Niech liczba odpowiednich par bedzie
˛
N++,
N+−, N−−.
Niech γ bedzie
˛
liczba˛ najbliższych sasiadów
˛
(zakładamy, że jest taka sama
dla każdego wezła).
˛
Wybierzmy pewien wezeł
˛
ze spinem skierowanym do
góry i połaczmy
˛
go z wszystkimi najbliżsymi sasiadami.
˛
Powtórzmy to dla
każdego wezła
˛
ze spinem do góry. Uzyskamy łacznie
˛
γN+ linii. Każda˛
pare˛ (+, +) łacz
˛ a˛ dwie linie, pare˛ (+, −) jedna, pary (−, −) nie łacz
˛ a˛
żadne linie. Zatem γN+ = 2N++ + N+−. Procedre˛ powtarzamy dla
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–7
spinów w dół i dostajemy analogiczny zwiazek,
˛
z wszystkimi “+” zamienionymi na “−” i vice versa. Mamy zatem
(5a)
γN+ = 2N++ + N+−
γN− = 2N−− + N+−
(5b)
N = N+ + N −
(5c)
Zwiazki
˛
(5) pozwalaja˛ wyeliminować trzy z pieciu
˛
zmiennych N+, N−,
N++ ,N−−, N+−: energie˛ układu określaja˛ tylko dwie zmienne. Pozostawmy N+, N++. Sume˛ statystyczna˛ możemy zapisać jako

1
e−βF = eN β( 2 γε−B)
N
X
N+ =0
 

X
−2β(γε−B)N+  
e
·
g(N+ , N++ )e4βεN++ 
(6)
N++
gdzie g(N+, N++) oznacza liczbe˛ konfiguracji odpowiadajacych
˛
zadanym wartościom N+, N++, a druga suma rozciaga
˛ sie˛ na wszystkie stany,
dla których N+ spisów skierowanych jest do góry.
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–8
Gaz sieciowy
Rozważmy pewna˛ sieć. Niektóre z wezłów
˛
sa˛ puste, niektóre obsadzone
atomami; niech stała sieci wynosi a. Atomy oddziałuja˛ pomiedzy
˛
soba˛
za pomoca˛ potencjału dwuciałowego (r oznacza odległość pomiedzy
˛
atomami):
v(r) =



∞
−ε0
0



r=0
r=a
poza tym
(7)
Innymi słowy, dwa atomy nie moga˛ zajmować tego samego wezła,
˛
najbliżsi
obsadzeni sasiedzi
˛
oddziałuja˛ ze soba˛ ze stała˛ energia,
˛ dalsi sasiedzi
˛
nie
oddziałuja.
˛ Po utożsamieniu wezłów
˛
obsadzonych ze spinami skierowanymi do góry, a wezłów
˛
pustych ze spinami skierowanymi w dół, model
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–9
ten staje sie˛ równoważny modelowi Isinga. (Trzeba jeszcze zapewnić poprawne zliczanie boltzmannowskie.) Model ten nosi nazwe˛ gazu sieciowego. Najwieksza
˛
różnica bierze sie˛ stad,
˛ że gaz sieciowy na ogół rozpatruje sie˛ w wielkim zespole kanonicznym.
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–10
Stop binarny
Pewna˛ sieć moga˛ obsadzać atomy dwu rodzajów. Istnieja˛ trzy typy najbliżej sasiaduj
˛
acych
˛
par: (11), (22), (12). Tylko najbliżsi sasiedzi
˛
oddziałuja,
˛ przy czym energia zależy od tego, jakiego rodzaju jest to para. Atomy
moga˛ zmieniać swoje położenie na sieci, ale ich energie˛ pomijamy. Ten
model też jest rónoważny modelowi Isinga.
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–11
Jednowymiarowy model Isinga
Rozpatrujemy łańcuch N spinów, z których każdy oddziałuej tylko z najbliższymi sasiadami
˛
(jest ich dwóch) i z zewnetrznym
˛
polem magnetycznym. Na układ nakładamy periodyczne warunki brzegowe sN +1 ≡ s1 —
mówimy zatem o N spinach na okregu.
˛
Energia ma postać
N
X
N
X
N
1 X
E = −ε
sk sk+1 −B
sk = −ε
sk sk+1 − B
(sk +sk+1)
2 k=1
k=1
k=1
k=1
(8)
gdzie druga równość wynika z periodycznych warunków brzegowych, natomiast suma statystyczna

Z=
XX
s1 s2
···
X
sN
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright exp β
N
X
N
X

1
(εsk sk+1 + B(sk + sk+1))
2
k=1
(9)
12–12
Niech P bedzie
˛
macierza,
˛ której elementy wynosza˛
E
1 B(s+s0 ))
0
β(εss0 + 2
hs| P s = e
(10)
gdzie s, s0 przybieraja˛ wartości ±1. Zatem
"
P=
eβ(ε+B) e−βε
e−βε
eβ(ε−B)
#
(11)
Sume˛ statystyczna˛ (9) zapisujemy jako
Z =
XX
···
X
hs1| P |s2i hs2| P |s3i . . . hsN | P |s1i
sN
s1 s2
X
N
=
hs1| PN |s1i = Tr PN = λN
+
λ
−
+
s1
(12)
gdzie λ+, λ− sa˛ wartościami własnymi macierzy (11)
λ± = eβε cosh(βB) ±
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright q
cosh2(βB) − 2e−2βεsinh(2βε) .
(13)
12–13
Ponieważ w granicy N → ∞ (λ+/λ−)N → 0, w tej granicy otrzymujemy
F = −N ε − N kB T ln cosh(βB) ±
q
cosh2(βB) − 2e−2βεsinh(2βε) ,
(14a)
M =q
N sinh(βB)
cosh2(βB) − 2e−2βεsinh(2βε)
(14b)
Jednowymiarowy model Isinga nie wykazuje spontanicznej magnetyzacji.
Dażenie
˛
do uporzadkowania
˛
spinów jest zbyt słabe — jest za mało sasia˛
dów — i przeważa tendencja do wzrostu entropii.
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–14
Model Isinga w przybliżeniu Bragga-Williamsa
N+/N jest miara˛ dalekiego uporzadkowania,
˛
natomiast N++/ 1
2 γN
jest miara˛ uporzadkowania
˛
bliskiego: liczba ta wyznacza ułamek sasied˛
nich spinów, które sa˛ skierowane do góry jako ułamek wszystkich spinów.
Oznaczmy
N+
N++
1
1
= (σ + 1)
= (L + 1) , 1
(15)
N
2
2
2 γN
W tych oznaczeniach
1
1
E = − γε(2σ − 2L + 1) − BL
N
2
(16)
Przyjmijmy, że uporzadkowanie
˛
bliskie jest wyznaczone przez uporzadko˛
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–15
wanie dalekie
N+ 2
1
2 − 1.
'
czyli
σ
'
(L
+
1)
(17)
1 γN
N
2
2
Sens tego przybliżenia jest taki: Jeżeli ułamek wszystkich spinów do góry
jest N+/N i sa˛ one równomiernie rozłożone po całej sieci, ułamek par
spinów do góry bedzie
˛
sie˛ zachowywał jak kwadrat tej liczby, gdyż aby
utworzyć pare,
˛ musimy z powodzeniem wykonać dwa niezależne losowania. (To nie ma sensu dla modelu jedowymiarowego.) Jest to przybliżenie
średniego pola: lokalny spin oddziałuje z uśredniona,
˛ równomiernie rozłożona˛ na sieci wartościa˛ sasiedniego
˛
spinu.
N++
W przybliżeniu (17) suma statystyczna ma postać
Z=
X βN ( 1 γεL+BL)
2
e
(18)
{si }
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–16
W (18) sumujemy po konfiguracjach {si}, ale wyrażenie pod suma˛ zależy
tylko od L. Ile zatem jest konfiguracji, które odpowiadaja˛ ustalonemu L?
Tyle, na ile sposobów można wybrać N+ z N . Zatem
Z=
N!
X
1 N (1 + L)]![ 1 N (1 − L)]!
[
L 2
2
1 γεL+BL)
βN ( 2
e
(19)
W granicy N → ∞ logarytm prawej strony (19) jest równy logarytmowi
najwiekszego
˛
wyrazu sumy; niech wyraz ten odpowiada L = L̄. Jest on
pierwiastkiem równania
1 + L̄
= 2βB + 2βγεL̄
(20)
1 − L̄
Interesuje nas magnetyzacja spontaniczna, czyli przypadek B = 0. Wówczas z (20) otrzymujemy
ln
γεL̄
L̄ = tgh
kB T
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright !
(21)
12–17
Widać, że w modelu wystepuje
˛
temperatura krytyczna Tkr = γε/kB : Powyżej temperatury krytycznej, jedynym rozwiazaniem
˛
(21) jest L̄ = 0.
Poniżej temperatury krytycznej, gdy nachylenie prawej strony (21) w zerze
staje sie˛ wieksze
˛
od 1, rozwiazanie
˛
L̄ = 0 traci stabilność, pojawiaja˛ sie˛ za
to dwa nowe rozwiazania
˛
L̄ = ±L0 6= 0 (w układzie wystepuje
˛
bifurkacja
superkrytyczna). W przybliżeniu Bragga-Williamsa w modelu Isinga poniżej temperatury krytycznej istnieje magnetyzacja spontaniczna. W temperaturze krytycznej dwuwymiarowy model Isinga wykazuje przejście fazowe
drugiego rodzaju (ciagłe).
˛
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–18
Ścisłe rozwiazanie
˛
dla dwuwymiarowego modelu Isinga na siatce
kwadratowej w zerowym polu podał Lars Onsager w 1944.
Ścisłe rozwiazanie
˛
dla dwuwymiarowego modelu Isinga na siatce
kwadratowej w niezerowym polu podano dopiero trzy lata temu.
Nie ma ścisłych rozwiaza
˛ ń dla wielowymiarowego modelu Isinga.
Uogólnieniem modelu Isigna jest model Pottsa, gdzie si moga˛
przybierać wiecej
˛
niż dwie (±1) wartości.
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–19
II. Synchronizacja
Synchronizacja jest jednym z najbardziej spektakularnych (i najważniejszych) zachowań w dynamice nieliniowej. Po raz pierwszy opisał ja˛ Huygens w XVII wieku.
Winfree, badajac
˛ zachowanie amerykańskich świetlików (robaczków świe˛
tojańskich), w 1967 zaproponował, by, po pierwsze, każdy indywidualny organizm opisywać jako oscylator na cyklu granicznym, po drugie, że każdy
organizm (jakoś) reaguje na wspólny, globalny rytm generowany przez cała˛
populacje.
˛
θ̇i = ωi +
N
X
Γij (θi − θj ) ,
i = 1, 2, . . . , N
(22)
i=1
θi jest faza˛ i-tego oscylatora, ωi jego naturalna˛ cz˛estościa.
˛ Kropka oznacza pochodna˛ po czasie.
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–20
Christiaan Huygens, 1629-1695
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–21
Model Kuramoto∗
Rozważmy kolekcje˛ N czastek
˛
(oscylatorów fazowych) wykonujacych
˛
ruchy jednostajne po okregu.
˛
Jeśli czastki
˛
nie oddziałuja˛ ze soba,
˛ ruch każdej z nich jest opisany równaniem
θ̇i = ωi
(23)
Zakładamy, że cz˛estości czastek
˛
zostały wylosowane z rozkładu g(ω), unimodalnego, symetrycznego (g(−ω) = g(ω)), posiadajacego
˛
skończony
drugi moment.
Załóżmy teraz, że oscylatory “widza˛ sie”,
˛ to znaczy jakoś ze soba˛ oddziałuja.
˛ Specyfikujac
˛ sprz˛eżenie z równania (22), Kuramoto zaproponował
∗ Y.
Kuramoto, Lecture Notes in Physics 39, Springer 1975, p. 420
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–22
nastepuj
˛ acy
˛ model:
N
K X
θ̇i = ωi −
sin(θi − θj )
N i=1
(24)
K jest stała˛ sprz˛eżenia. Suma rozciaga
˛ sie˛ po wszystkich oscylatorach,
jest to wiec
˛ oddziaływanie “każdy z każdym”. Jeśli θi > θj , sprz˛eżenie
pomiedzy
˛
i-tym a j-tym spowalnia i-ty oscylator. Jeżeli θi < θj , sprz˛eżenie przyspiesza ten oscylator. Jak zobaczymy, układ równań (24) zadaje
pewien model typu średniego pola.
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–23
Yoshiki Kuramoto, 1940 -
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–24
Parametr porzadku
˛
Aby opisać zachowanie całej kolekcji sprz˛eżonych oscylatorów, Kuramoto
wprowadził parametr porzadku
˛
N
1 X
eiθj = reiψ
N j=1
(25)
Gdyby wszystkie oscylatory miały identyczne fazy (pełna synchronizacja
fazowa), r w równaniu (25) byłoby równe 1. W ogólności 0 6 r 6 1.
Możemy natomiast tak dobrać układ współrz˛ednych, aby globalna faza
ψ = 0. Wówczas r jest parametrem porzadku.
˛
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–25
Wyniki “eksperymentalne”
Za pomoca˛ symulacji łatwo sprawdzić, że w układzie wystepuje
˛
pewna krytyczna stała
sprz˛eżenia KC : Jeżeli K < KC , parametr porzadku
˛
spada z czasem i wykonuje nieregularne fluktuacje powyżej zera. Jeżeli K > KC , parametr porzadku
˛
po pewnym czasie
stabilizuje sie˛ w okolicach jakieś wartości, wokół której wykonuje fluktuacje o amplitudzie
O(N −1 ).
Jeżeli K > KC , to analizujac
˛ wartości r∞ (średnie wartości, jakie parametr porzadku
˛
osiaga
˛ po bardzo długim czasie), widzimy, że powyżej KC rosna˛ one wraz z K.
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–26
Model Kuramoto jako model średniego pola
Przekształćmy (24)
N
N K X
K X
θ̇i = ωi −
sin(θi − θj ) = ωi −
sin θi cos θj − cos θi sin θj
N i=1
N i=1

= ωi − K sin θi 
N
1 X

cos θj  + k cos θi 
N i=1
= ωi − Kr sin θi cos ψ + Kr cos θi sin ψ
= ωi − Kr sin(θi − ψ)

N
1 X
N i=1

sin θj 
(26)
gdzie do wykonania sum w nawiasach użyliśmy definicji (25). Widzimy, że
i-ty oscylator sprz˛ega sie˛ ze średnia˛ wartościa˛ fazy, przy czym parametr
porzadku
˛
modyfikuje stała˛ sprz˛eżenia.
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–27
Jeśli przyjmiemy, że ψ = 0, ostatecznie otrzymamy
θ̇i = ωi − Kr sin θi ,
i = 1, 2, . . . , N
(27)
Każdy oscylator zachowuje sie˛ tak, jakby nie był sprz˛eżony z pozostałymi.
Oczywiście tak nie jest, gdyż sprz˛eżenie wpływa na wartość parametru
porzadku
˛
r, modyfikujacego
˛
wartość stałej sprz˛eżenia w (27).
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–28
Rozwiazania
˛
zsynchronizowane i dryfujace
˛
Czy możliwe jest, aby (27) przewidywało istnienie rozwiaza
˛ ń zsynchronizowanych, θi = Ωt, gdzie Ω jest pewna˛ wspólna˛ cz˛estościa?
˛ Tak: oscylatory spełniajace
˛ |ωi| < Kr daż
˛ a˛ do stabilnego punktu stałego, zdefiniowanego niejawnie przez
(28)
ωi = Kr sin θi
˛ ze środka rozprzy założeniu, że |θi| 6 π2 . To sa˛ oscylatory pochodzace
kładu g(ω). Jeśli K nie jest bardzo duże, oscylatory z ogonów rozkładu
nie zsynchronizuja˛ sie,
˛ tylko dryfuja.
˛ Aby jednak założenia o stałości r
i ψ miały sens, ich rozkład musi być stacjonarny, z odwrotna˛ proporcjonalnościa˛ do predkości
˛
przy danym θ. Przyjmujemy, że rozkład oscylatorów
dryfujacych
˛
ma postać
C
%(θ, ω) =
,
|ω − Kr sin θ|
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 1
ω 2 − (Kr)2
C=
2π
q
(29)
12–29
D
D
ψ = 0, wiec
˛ eiθ
E
eiθ
E
D
= eiθ
E
D
synchr
+ eiθ
E
dryf
(30)
= r. Dla N → ∞ z symetrii g(ω) wynika, że hsin θi =
0. Zatem
D
eiθ
E
synchr
= hcos θisynchr =
Kr
Z
cos θ(ω) g(ω) dω
(31)
−Kr
Z kolei
D
eiθ
E
dryf
=
Zπ
Z
eiθ %(θ, ω)g(ω) dω dθ = 0
(32)
−π |ω|>Kr
co wynika z symetrii g(ω) = g(−ω) oraz %(θ + π, −ω) = %(θ, ω). Zmiec 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–30
niajac
˛ zmienne w całce (31) (ω = Kr sin θ), ostatecznie otrzymujemy
r = Kr
π
Z2
cos2 θ g(Kr sin θ) dθ
(33)
− π2
Równanie (33) ma zawsze rozwiazanie
˛
trywialne r = 0. Czy możliwe sa˛
rozwiazania
˛
z r > 0? Innymi słowy, czy równanie
π
1=K
Z2
cos2 θ g(Kr sin θ) dθ
(34)
− π2
może mieć rozwiazanie?
˛
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–31
Tak: Przechodzac
˛ w (34) do granicy r → 0+, otrzymujemy, że drugie
rozwiazanie
˛
pojawia sie˛ dla K = KC równego
KC =
2
π g(0)
(35)
Dla K > KC pojawiaja˛ sie˛ rozwiazania
˛
z r > 0. Jeżeli g 00(0) < 0, co jest
przypadkiem generycznym, odpowiadajacym
˛
przyjetym
˛
założeniom, model Kuramoto doświadcza bifurkacji superkrytycznej przy przejściu stałej
sprz˛eżenia przez KC . Rozwijajac
˛ funkcje˛ podcałkowa˛ w (34) w szereg w r
otrzymujemy
v
u
u
r't
16
·
3
00
−πKC g (0)
s
K − KC
KC
(36)
Model Kuramoto wykazuje przejście fazowe drugiego rodzaju w K = KC .
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–32
Teoria Ginzburga-Landaua
W niskich temperaturach układy wystepuj
˛ a˛ w fazach, które łamia˛ symetrie˛ hamiltonianu: Sieć krystaliczna narusza symetrie˛ translacyjna,
˛ uporzadkowane
˛
spiny (momenty magnetyczne) naruszaja˛ symetrie˛ obrotowa˛
itp. Jeżeli hamiltonian jest niezmienniczy ze wzgledu
˛
na pewne symetrie,
a stan podstawowy nie wykazuje tej symetrii, mówimy, że symetria została
spontanicznie złamana.
Niech P bedzie
˛
operacja˛ symetrii, wzgledem
˛
której hamiltonian H jest niezmienniczy:
P−1HP = H
(37a)
Jeśli |ψi jest stanem podstawowym, czyli
H|ψi = E|ψi
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright (37b)
12–33
to także
H (P|ψi) = E (P|ψi)
(37c)
a wiec
˛ stan podstawowy musi być zdegenerowany. Jeżeli układ łamie symetrie˛ ciagł
˛ a,
˛ stan podstawowy musi być nieskończenie zdegenerowany.
Rozważmy modelowy ferromagnetyk. Fizyczna˛ manifestacja˛ przejścia fazowego jest to, że pojawiaja˛ sie˛ bloki uporzadkowanych
˛
spinów. Kolektywny, spontaniczny obrót spinu całego bloku pod wpływem zaburzeń termicznych jest mało prawdopodobny i układ na długo pozostaje uwieziony
˛
w jakiejś konfiguracji. Symetria zostaje złamana, a w układzie pojawia sie˛
parametr porzadku:
˛
magnetyzacja spontaniczna. Istnienie parametru porzadku
˛
jest wspólna˛ cecha˛ przejść fazowych II rodzaju (ciagłych).
˛
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–34
Układ
ferromagnetyk
antyferromagnetyk
nadciekłość
model Kuramoto
Przykłady parametru porzadku
˛
Parametr porzadku
˛
Złamana symetria
magnetyzacja
symetria obrotowa
magnetyzacja podsieci
symetria obrotowa
funkcja falowa kondensatu
globalna symetria cechowania
moduł fazy zsynchronizowanej (układ niehamiltonowski)
Wszystkie przejścia fazowe II rodzaju sa˛ wiec
˛ w pewnym sensie
“podobne” i możemy spróbować opisać je wspólnie.
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–35
Teoria Ginzburga-Landaua
Pomijajac
˛ wszystkie mikroskopowe szczegóły układu, opisujemy układ poprzez pewne pole φ(x) w D-wymiarowej przestrzeni. Przypuśćmy, że istnieje także jakieś pole zewnetrzne
˛
h(x) (w modelu ferromagnetyka byłoby
to zewnetrzne
˛
pole magnetyczne). Postulujemy, że energia ma postać
E[φ] =
Z
1
dD x
|∇φ(x)|2 + Ω(φ(x)) − h(x)φ(x)
2
(38)
Człon kinetyczny narzuca pewien koszt energetyczny zwiazany
˛
z gradientem φ, przez co układ daży
˛ do jednorodności. Ω jest potencjałem zawierajacym
˛
tylko parzyste potegi:
˛
Ω(φ(x)) = r0φ2(x) + u0φ4(x) + · · ·
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright (39)
12–36
ale wyrazy wyższe zazwyczaj sie˛ pomija. Wymagamy, aby u0 > 0, dzieki
˛
czemu E[φ] ma dolna˛ granice.
˛ r0 może mieć dowolny znak. Cały układ
wykazuje symetrie˛ “góra-dół”.
Sume˛ statystyczna˛ otrzymamy całkujac
˛ po wszystkich możliwych funkcjonalnych postaciach φ:
Z[h] =
Z
(Dφ)e−βE[φ]
(40)
Policzywszy sume˛ statystyczna,
˛ energie˛ swobodna˛ i pozostałe wielkości
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–37
termodynamiczne liczymy w zykły sposób:
F = −kB T ln Z[h]
M =
Z
χ=
dD x φ(x) = −
1 ∂M
V ∂h
∂F
∂h
(podatność)
∂ 2F
Ch = −T
∂T 2
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright (41a)
(41b)
(41c)
(41d)
12–38
Całkowanie funkcjonalne
Całka w (40) oznacza całkowanie funkcjonalne (czyli całk˛e po trajektoriach). Możemy założyć, że całk˛e te˛ można wykonać nastepuj
˛ aco:
˛
Zastepujemy
˛
ciagł
˛ a˛ przestrzeń dyskretna˛ siatka˛ {x1, x2, . . . }. Niech φi =
φ(xi). Całka funkcjonalna może być przybliżona przez
Z
(Dφ) =
Z∞
−∞
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright dφ1
Z∞
dφ2 . . .
(42)
−∞
12–39
Konfiguracje pola φ wykazujace
˛ silne oscylacje, tym bardziej zaś nieciagło˛
ści†, prowadza˛ do dużych wartości członu |∇φ|2 w energii (38), a zatem
daja˛ mały przyczynek do sumy statystycznej (40). Oczekujemy, że najwiekszy
˛
przyczynek bed
˛ a˛ dawać konfiguracje o niewielkiej zmienności.
† Po
zdyskretyzowaniu przestrzeni, także operator gradientu zastepujemy
˛
jego dyskretnym przybliżeniem.
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–40
Teoria średniego pola
W jednorodnym polu zewnetrznym
˛
h(x) = h, pole φ fluktuuje wokół pewnej stałej. Zaniedbujemy fluktuacje i przyjmujemy, że
(43)
φ(x) = m
gdzie m jest stała.
˛ Pole φ ma zatem stała,
˛ uśredniona˛ wielkość w obrebie
˛
całego układu. Energia swobodna wynosi wówczas
F (m) = V (r0m2 + u0m4 − hm)
(44)
Chcemy zminimalizować te˛ wielkość ze wzgledu
˛
na m. Dla h = 0 mamy
m m2 +
r0
2u0
!
=0
(45)
Jeśli r0 > 0, jest tylko jeden pierwiastek
m = 0. Jeśli r0 < 0, pojaq
wiaja˛ sie˛ dwa dodatkowe pierwiastki ± −r0/2u0. Dla r0 < 0 pierwiastek
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–41
m = 0 odpowiada maksimum energii swobodnej — układ musi wybrać
pomiedzy
˛
jednym z minimów, łamiac
˛ w ten sposób symetrie.
˛
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–42
Przypuśćmy teraz, że
T
−1
Tc
b > 0, a t jest temperatura˛ zredukowana.
˛ Mamy wiec
˛
r0 = bt ,
m=

0
t=
T > Tc
√
±m
0 −t T < Tc
(46)
(47)
W ten sposób odtworzyliśmy charakterystyczna˛ krzywa˛ pierwiastkowa˛ dla
spontanicznej magnetyzacji w modelu Isinga (a także, przy innych oznaczeniach, kształt modułu fazy zsynchronizowanej dla modelu Kuramoto).
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–43
Wykładniki krytyczne
W punkcie t = 0 funkcje termodynamiczne zawieraja˛ cz˛eść regularna˛ w t
i cz˛eść osobliwa,
˛ zachowujac
˛ a˛ sie˛ jak pewne potegi
˛ t. Potegi
˛ te nazywane
sa˛ wykładnikami krytycznymi. Najcz˛eściej wprowadza sie˛ nastepuj
˛ ace
˛ wykładniki krytyczne:
M ∼
|t|β
parametr porzadku
˛
(48a)
χ ∼ |t|−γ
podatność
(48b)
C ∼ |t|−α
pojemność cieplna
(48c)
1 . Można łatwo wyliczyć, że
Widzieliśmy, że w teorii pola średniego β = 2
α = 0, γ = 1. Zestawienie wykładników krytycznych dla modelu Isinga
zawiera poniższa tabela:
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–44
Wykładniki krytyczne w modelach Isinga
Układ
α
β
γ
średnie pole
0
1/2
1
2D (dokładnie)
0
1/8
7/4
3D (przybliżenie)
0.12
0.31
1.25
3D (pomiar)
0−0.14 0.32−0.39 1.3−1.4
Teoria średniego pola jest zaledwie takim sobie przybliżeniem
rzeczywistości. . .
c 2015-16 P. F. Góra
Copyright 12–45