Zadania otwarte - kategoria klas I i II

14.12.2013
Zadania otwarte
Kategoria klas I i II
Czas trwania: 80 minut
Należy wybrać i rozwiązać pięć spośród poniższych sześciu zadań. Można oddać rozwiązania wszystkich
sześciu zadań, ale wtedy do oceny będzie liczyło się tylko 5 najlepszych wyników. Każde zadanie oceniane
, zaś zadania geometryczne są
jest w skali 0-10. Zadania ”z wyższej półki” są oznaczone symbolem
oznaczone trójkątem 4 . Rozwiązanie każdego zadania powinno być spisane na osobnej kartce
i czytelnie podpisane imieniem i nazwiskiem oraz przydzielonym numerem.
Zadanie 1. Łasice Marta i Emilka wybrały się na targ owoców. Kosz pomarańczy kosztował 20 trąbek,
kosz gruszek 30 trąbek, a kosz owoców kiwi 40 trąbek. Łasice zdecydowały się na wspólne kupno 8 koszy
owoców za 230 trąbek. Chcą też kupić jak najwięcej kiwi. Ile koszy kiwi kupią?
Zadanie 2. Borsuk Tomek handluje cukierkami – pewnego dnia miał ich 2013 sztuk. Przez kolejne 6
dni sprzedaż przebiegała następująco: n-tego dnia (n = 1, 2, ..., 6) sprzedawał lub kupował dokładnie n
cukierków, tzn: pierwszego dnia kupił lub sprzedał jeden cukierek, drugiego dnia kupił lub sprzedał dwa
cukierki, trzeciego trzy, itd. Okazało się, że pod koniec szóstego dnia miał ich o 5 więcej niż na początku
pierwszego dnia. Na ile sposobów mogła przebiegać ta procedura?
Zadanie 3. 4 Piszcząca zabawka dla małych borsuków ma kształt przedstawiony
na rysunku. Największy okrąg ma promień 5 cm, średni 4 cm, a dwa małe 2 cm.
Która część ma większe pole – jasnoszara czy ciemnoszara? Ile wynosi różnica tych
pól?
Zadanie 4. 4 Borsuk Wojtek, wykorzystując nieuwagę borsuka Bartka, narysował mu w zeszycie
prostokąt ABCD. Oznaczył przez M , N środki boków BC, CD, następnie zaś naszkicował odcinki BN
i DM , których punkt przecięcia podpisał jako P . Udowodnij, że kąty ^M AN i ^BP M mają równe
miary, zanim Bartek się zorientuje, że ma nabazgrolone w zeszycie!
Zadanie 5.
Symbolem [x] oznaczymy część całkowitą liczby x, czyli największą liczbę całkowitą,
która nie jest większa niż x. Symbolem {x} oznaczymy część ułamkową liczby x, czyli liczbę równą
x − [x]. Na przykład: [13.54] = 13, [−5.4] = −6, [7] = 7, {4} = 0, {5.25} = 0.25. Przypuśćmy, że liczby
x
[x]
x, y są większe niż 1 oraz spełniają równość =
. Udowodnij, że wtedy {x} · [y] = {y} · [x].
y
[y]
n
oznacza liczbę sposobów posadzenia n borsuków
k
B1 , B2 , ..., Bn przy k stolikach w taki sposób, że przy każdym stoliku siedzi przynajmniej jeden borsuk. Kolejność w jakiej siedzą borsuki przy stoliku jest nieistotna, a stoliki są nierozróżnialne. Naprzykład,
ustawienia
z rysunku traktujemy
4
3
4
jako jedno ustawienie. Ponadto
= 1,
= 3,
= 7. Udowodnij, że dla
1
2
2
dowolnych liczb naturalnych n > k > 1 zachodzi równość
n
n−1
n−1
=k·
+
.
k
k
k−1
Zadanie 6.
Niech
Wskazówka. Wybierz jednego borsuka. Może on siedzieć sam lub z innymi borsukami.
B1
B3 B2
B2 B3
B1