O funkcjach harmonicznych

O funkcjach harmonicznych ...
Rozważmy funkcje postaci h = u + iv, gdzie u, v są rzeczywistymi funkcjami
harmonicznymi w kole jednostkowym ∆. Funkcje takie nazywamy zespolonymi
funkcjami harmonicznymi w kole ∆. Funkcję h możemy zapisać w postaci h =
f + ḡ, gdzie f, g są funkcjami holomorficznymi w kole jednostkowym. Badania
geometrycznych własności tych funkcji podjęli w 1984 roku J. Clunie i T. SheilSmall ([CS-S]). Badania te były i są kontynuowane przez wielu matematyków.
W pewnych pracach autorzy zakładają spełnienie odpowiedniego warunku przez
współczynniki rozwinięcia funkcji f , g, np. [AZ], [S], [G].
Niech h będzie funkcją harmoniczną w ∆ = {z ∈ C : |z| < 1} postaci
(1)
h = f + g,
f (z) = z +
∞
X
an z n ,
g(z) =
n=2
∞
X
bn z n ,
z ∈ ∆, |b1 | < 1.
n=1
Definicja 1. Dla ustalonego α ∈ h0, 1i przez HS(α) oznaczamy klasę funkcji h
postaci (1) spełniających warunek
(2)
|b1 | +
∞
X
αn + (1 − α)n2 (|an | + |bn |) ¬ 1.
n=2
Twierdzenie 1. Niech α ∈ h0, 1i. Jeśli h ∈ HS(α), to funkcje
z 7→ r−1 h(rz),
z 7→ e−it h(eit z),
z ∈ ∆, r ∈ (0, 1), t ∈ R,
także należą do klasy HS(α).
Twierdzenie 1 pomaga wykazywać szereg innych własności omawianej klasy.
Ponadto zachodzi
Twierdzenie 2. Jeżeli α1 , α2 ∈ h0, 1i, α1 ¬ α2 , to
HS 0 (α1 ) ⊂ HS 0 (α2 ).
HS(α1 ) ⊂ HS(α2 ),
W pewnych zagadnieniach bywa przydatne definiowanie własnego polecenia, które służy do wygenerowania pewnego dłuższego zapisu, który chcemy
często używać np. HS(α)– teraz użyto instrukcję zdefiniowaną w preambule
\newcommand{\HS}{$HS(\alpha)$}
Można też (w preambule) zdefiniować własne operatory, które podobnie jak
n+1
suma będą mogły mieć ograniczenia dolne i górne, np. K (w preambule umie0
sczono \DeclareMathOperator*{\K}{\mathcal{K}}).
1
Literatura
[AZ]
Y. Avci, E. Złotkiewicz, On harmonic univalent mappings, Ann. Univ.
Mariae Curie-Skłodowska, Sec. A, XLIV (1) (1990), 1-7.
[CS-S] J. Clunie, T. Sheil-Small, Harmonic univalent mappings, Ann. Acad. Sci.
Fenn., Ser. A. I. Math., 9 (1984), 3-25.
[G]
A. Ganczar, On harmonic univalent functions with small coefficients,
Demonstratio Math., XXXIV (3) (2001), 549-558.
[S]
H. Silverman, Harmonic univalent mappings with negative coefficients,
J. Math. Anal. Appl., 220 (1998), 283-289.
2