Modelowanie matematyczne układów dynamicznych

Procedura modelowania matematycznego
System fizyczny
Model fizyczny
Założenia
Uproszczenia
Model
matematyczny
Analiza
matematyczna
Symulacja
komputerowa
Rozwiązanie
w postaci modelu
odpowiedzi
Predykcja
Poszerzenie struktury
systemu
Modyfikacja parametrów
systemu





Spodziewane
zachowanie
systemu fizycznego
Pomijanie małych wpływów → Zmniejsza liczbę i złożoność równań różniczkowych
Założenie, że otoczenie jest niezależne od układu → jak wyżej
Zastąpienie parametrów rozłożonych przez parametry skupione → Prowadzi do równań
różniczkowych zwyczajnych, a nie do cząstkowych
Przyjęcie zależności liniowych → Prowadzi do równań różniczkowych o stałych współczynnikach
Pomijanie niezdeterminowanych zakłóceń, niepewnych parametrów i szumów → Usuwa
konieczność traktowania statystycznego
Układ tłumiący drgania i jego model
Założenia i uproszczenia :

elementy konstrukcji -> element
doskonale sztywny

tablica przyrządów -> element
doskonale sztywny

stożki gumowe -> sprężyny o
charakterystyce liniowej z tłumikami
tłokowymi o tarciu lepkim

uwzględnienie ruchów tylko w jednym
kierunku

pominięcie oddziaływania tablicy na
elementy konstrukcji
Model układu statycznego




Między wyjściami a wejściami obowiązuje zależność funkcyjna bez czasu: Y=F(U, Z)
Charakterystyka statyczna jednoznacznie opisuje układ statyczny,
Układ statyczny nie ma zmiennych stanu,
Układy statyczne to układy rozpraszające energię.
Model układu dynamicznego
●
●
●
●
Przebiegi sygnałów układu dynamicznego w czasie zależą nie tylko od aktualnych
wartości wymuszeń, ale zależą także od wymuszeń, które były w przeszłości,
Aby układ był układem dynamicznym musi zawierać co najmniej jedną zmienną stanu,
Niekiedy do opisu układu dynamicznego wystarczą opisy wejść i wyjść bez jawnego
wprowadzenia zmiennych stanu,
Przechowują energię.
Klasyfikacja modeli deterministycznych
Formy przedstawiania własności dynamicznych
WŁASNOŚCI DYNAMICZNE OBIEKTU STEROWANIA
MOGĄ BYĆ OKREŚLONE NA PODSTAWIE :
RÓWNAŃ :
- RÓŻNICZKOWYCH
- RÓŻNICOWYCH
TRANSMITANCJI
OPERATOROWYCH :
- W DZIEDZINIE "S"
- W DZIEDZINIE "Z"
CHARAKTERYSTYK
DYNAMICZNYCH:
CHARAKTERYSTYKI
CZASOWE :
- IMPULSOWE
- SKOKOWE
- CZASOWO-LINIOWE
CHARAKTERYSTYK
STATYCZNYCH
(W STANACH USTALONYCH)
CHARAKTERYSTYKI
CZĘSTOTLIWOŚCIOWE :
- AMPLITUDOWO-FAZOWE
- AMPLITUDOWE
- FAZOWE
- LOGARYTMICZNE AMPLITUDOWE
- LOGARYTMICZNE FAZOWE
Zastosowanie rachunku operatorowego
Pojęcie transmitancji operatorowej
Układ dynamiczny
jednowymiarowy (o jednym wejściu u(t) i jednym wyjściu y(t))
liniowy, ←
ciągły
stacjonarny,
o stałych skupionych, zerowe warunki początkowe
ZAŁOŻENIA
←
POSTAĆ WYJŚCIOWA
RÓWNANIA
RÓŻNICZKOWEGO
←
ZAPIS OPERATOROWY
←
POSTAĆ KOŃCOWA
Komentarze do pojęcia transmitancji operatorowej

Transmitancja operatorowa jest modelem matematycznym, który stanowi
formę wyrażania równań różniczkowych zwyczajnych i określa zależność
między sygnałem pobudzającym i reakcją – model wejściowo – wyjściowy

Transmitancja wyraża własność systemu dynamicznego niezależną od
amplitudy, częstotliwości i natury fizycznej sygnału.

Transmitancja zawiera jednostki niezbędne do opisu zależności
wejście/wyjście, jakkolwiek nie dostarcza informacji, dotyczących fizycznej
struktury systemu – transmitancje wielu odmiennych systemów
(mechanicznych, elektrycznych itp.) mogą być identyczne.

Jeżeli transmitancja systemu jest znana, to przebieg sygnału wyjściowego
może być badany dla różnych typów sygnałów pobudzających.

Jeżeli transmitancja systemu jest nieznana, to może być eksperymentalnie
ustalona poprzez wprowadzenie typowego sygnału pobudzającego i analizę
uzyskanej odpowiedzi – identyfikacja doświadczalna.
Podstawowe twierdzenia rachunku Laplace’a
1. Twierdzenie o liniowości (transformata sumy (różnicy) funkcji - jest równa sumie (różnicy) transformat).
2. Twierdzenie o różniczkowaniu (transformata pochodnej funkcji)
3. Twierdzenie o całkowaniu (transformata całki)
4. Twierdzenie o wartości początkowej - jeśli istnieje granica funkcji f(t) dla t -> 0+, to wartość początkowa
wyraża się zależnością:
5. Twierdzenie o wartości końcowej - jeśli istnieje granica funkcji f(t) dla t ->∞, to wartość końcowa wyraża
się zależnością:
6. Transformata funkcji z przesunięciem w czasie (np. opóźnienie o wielkość T)
7. Transformata funkcji z przesunięciem względem s
Sporządzanie charakterystyk częstotliwościowych
x(t) = A1 sin ωt
y(t) = A 2 (ω) sin ( ωt + ϕ(ω) )
M( ω) =
A2 (ω)
A1 (ω)
2πτ
ϕ( ω) =
T
[ rad ] ∨ [ deg ]
Lm(ω) = 20 log ( M(ω) )
[ dB]
Modelowanie „Black Box” - obiekty z wyrównaniem
Model Küpfmüllera
G( s ) =
k
⋅ e −T1s
T2 s + 1
= G1( s )G2 ( s )
T1 - zastępcze
opóźnienie obiektu
T2 - zastępcza stała
czasowa z obiektu
k = y0/u0
-współczynnik
wzmocnienia obiektu
Modelowanie „Black Box” - obiekty bez wyrównania
Model zastepcze
1 −T1s
G( s ) =
⋅e
Tc s
1
1
G( s ) =
⋅
Tc s T1s + 1
T1 - zastępcze
opóźnienie obiektu
lub zastępcza stała
czasowa z obiektu
Tc =
∆y
∆t ⋅ u0
- stała czasowa
całkowania