Modelowanie i obliczenia techniczne

Modelowanie
i obliczenia techniczne
Model matematyczny
w postaci transmitancji
Model matematyczny
w postaci transmitancji
Zakładając, że zależność między y i u można opisać
linowym równaniem różniczkowym lub różnicowym, możliwe
jest utworzenie modelu w postaci tzw. transmitancji
(funkcji przejścia) po zastosowaniu transformacji T
przekształcającej te równania do postaci algebraicznej.
u
G
y
T ( y (t ))
G=
T (u (t ))
2
Model matematyczny
w postaci transmitancji
Jeżeli znana jest transmitancja G układu dynamicznego
można jego odpowiedź y na sygnał wejściowy u wyznaczyć z
równania algebraicznego:
T ( y (t )) = G ⋅ T (u (t ))
po zastosowaniu transformacji T przekształcającej sygnał u
do postaci transformaty, a następnie transformacji odwrotnej
T-1 do otrzymanego wyniku.
3
Model matematyczny
w postaci transmitancji
Do systemów czasu ciągłego (opisanych
równaniami różniczkowymi) stosuje się
transformację Laplace’a.
Do systemów czasu dyskretnego (opisanych
równaniami różnicowymi) stosuje się
transformację Laurenta (przekształcenie Z).
4
Transformacja Laplace’a
Transformacja Laplace’a jest definiowana następująco:
∞
F (s ) = L{ f (t )} = ∫ f (t )e − st dt
0
s jest zmienną zespoloną. Transformata F(s) funkcji f(t) jest
funkcją zespoloną na płaszczyźnie zmiennej zespolonej s.
Odwrotna transformacja Laplace’a jest definiowana następująco:
c + i∞
1
−1
st
(
)
f (t ) = L {F (s )} =
F
s
e
ds, t > 0
∫
2πj c −i∞
5
Własności transformacji Laplace’a
Liniowość
L{a ⋅ f1 (t ) + b ⋅ f 2 (t )} = a ⋅ L{ f1 (t )}+ b ⋅ L{ f 2 (t )}
Transformata pochodnej funkcji
 df 
L   = s(L{ f (t )}) − f 0 +
 dt 
( )
Pochodna transformaty
F ′(s ) = − L{t ⋅ f (t )}
6
Własności transformacji Laplace’a
t
 1
L ∫ f (τ )dτ  = F (s )
0
 s
Transformata całki
Całka transformaty
Przesunięcie w dziedzinie transformaty
{
 f (t ) 
L
 = ∫ F (σ )dσ
 t  s
∞
}
L e at ⋅ f (t ) = F (s − a ); L−1{F (s − a )} = e at ⋅ f (t )
Przesunięcie w dziedzinie czasu
{
}
L{ f (t − a ) ⋅1(t − a )} = e − as F (s ); L−1 e − as F (s ) = f (t − a ) ⋅1(t − a )
7
Transformaty Laplace’a wybranych
funkcji
- delta Diraca
Źródło: http://pl.wikipedia.org
8
Przykład wyznaczania transmitancji
Różniczkowa zależność między sygnałem wejściowym u
układu dynamicznego 2. rzędu a sygnałem wyjściowym y:
dy (t )
d 2 y (t )
du (t )
d 2u (t )
a0 y (t ) + a1
+ a2
= b0u (t ) + b1
+ b2
2
dt
dt
dt
dt 2
Po zastosowaniu transformacji Laplace’a zostaje przekształcona
do postaci:
a0Y (s ) + a1sY (s ) + a2 s 2Y (s ) = b0U (s ) + b1sU (s ) + b2 s 2U (s )
Iloraz transformat
sygnałów daje
transmitancję układu
o postaci:
Y (s ) b0 + b1s + b2 s 2
G (s ) =
=
U (s ) a0 + a1s + a2 s 2
Jest to tzw. transmitancja operatorowa.
9
Przykład - wyznaczenie transmitancji
amortyzowanego nadwozia
Zadanie polega na znalezieniu funkcyjnej
zależności pomiędzy drganiami nadwozia x2
w funkcji wymuszonych podczas jazdy drgań
x1 wynikających z nierówności nadwozia.
masa m
x2
Dane:
m – masa nadwozia
k – sztywność sprężyny amortyzatora
b – tłumienie tłumika
x1
Siła, z jaką układ oddziałuje na podłoże, jest
sumą sił wynikających z ciężaru obiektu,
zmiany wysokości i prędkości tej zmiany. 10
Przykład - wyznaczenie transmitancji
amortyzowanego nadwozia
Równanie ruchu układu ma postać równania różniczkowego:
d 2 x2
 dx2 dx1 
m ⋅ 2 + b
−
+ k [x2 − x1 ] = 0

dt
dt 
 dt
Po zastosowaniu transformacji Laplace’a otrzymuje się postać:
ms 2 X 2 (s ) + bsX 2 (s ) − bsX 1 (s ) + kX 2 (s ) − kX 1 (s ) = 0
Czyli transmitancja
operatorowa będzie
opisana następująco:
X 2 (s )
bs + k
G (s ) =
= 2
X 1 (s ) ms + bs + k
11
Transformacja Laurenta
– przekształcenie Z
Transformacja Laurenta dyskretnego ciągu x(n) jest definiowana
następująco:
∞
X ( z ) = Z ( x(n )) =
−n
(
)
x
n
z
∫
n =0
z jest zmienną zespoloną. Transformata X(z) ciągu x(n) jest
funkcją zespoloną na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z.
Transformata odwrotna dana jest wzorem:
1
n −1
(
)
x(n ) = Z ( X ( z )) =
X
z
z
dz
∫
2πj C
−1
C – kontur zamknięty
otaczający obszar
zbieżności
12
Najważniejsze własności
przekształcenia Z
Liniowość
Z {a ⋅ f1 (nT ) + b ⋅ f 2 (nT )} = a ⋅ F1 ( z ) + b ⋅ F2 ( z )
Transformata funkcji przesuniętej o k (czas dyskretny)
Z ( x(n − k )) = Z ( x(n )) ⋅ z − k
Transformata splotu
13
Przekształcenie Z wybranych funkcji
Impuls jednostkowy:
Skok jednostkowy:
Źródło:
http://pl.wikipedia.org 14
Przykład wyznaczania transmitancji
Zależność między sygnałem dyskretnym u na wejściu badanego
układu a sygnałem wyjściowym y:
a0 y (n ) + a1 y (n − 1) + a2 y (n − 2 ) = b0u (n ) + b1u (n − 1) + b2u (n − 2)
Po zastosowaniu transformacji Z zostaje przekształcona do
postaci:
a0Y ( z ) + a1 z −1Y ( z ) + a2 z −2Y ( z ) = b0U ( z ) + b1 z −1U ( z ) + b2 z −2U ( z )
Iloraz transformat
sygnałów daje
transmitancję układu
o postaci:
Y (z ) b0 + b1 z −1 + b2 z −2
G (z ) =
=
U ( z ) a0 + a1 z −1 + a2 z − 2
15
Zastosowanie przekształcenia Z
w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów
Przekształcenie Z może być zapisane następująco:
∞
∞
−n
(
)
(
)
X z = ∑ x n z = ∑ x(n )(re
−∞
∞
) = ∑ x(n)r
jω − n
−∞
− n − jnω
e
−∞
|z|=1
Dla r=1 równanie powyższe,
jest równoważne szeregowi Fouriera.
Jeżeli X(z) jest transmitancją układu
dyskretnego, to jej wartości dla |z|=1
wyznaczają charakterystykę
częstotliwościową tego układu w dziedzinie
częstotliwości dyskretnych.
r=1
z=ejω
16
Zastosowanie przekształcenia Z
w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów
W szczególności modelowany układ może być filtrem
cyfrowym.
Kształtowanie charakterystyki częstotliwościowej filtru
polega na odpowiednim ukształtowaniu jego
transmitancji.
Istnieje szereg metod projektowania charakterystyki
filtrów cyfrowych polegających na kształtowaniu
transmitancji, np. metoda bezpośredniego
rozmieszczania zer i biegunów.
17
Przykład projektowania filtru
cyfrowego na podstawie transmitancji
filtru analogowego
Transmitancja filtru analogowego:
Zastosowanie podstawienia
zgodnego z metodą
transformacji biliniowej:
2
s=
TS
H a (s ) =
1
s 2 + 2s + 1
 z −1 


 z +1
daje transmitancję filtru cyfrowego o takiej samej charakterystyce:
1+ 2z −1 + z −2
H (z ) =
2
2
  2 2









2
2
2
2
−
1
   + 2 +1 +  2 −   z +    + 2 +1z −2
  TS 
  TS 
TS    TS  
TS 

 



Gdzie Ts jest okresem próbkowania.
18