WRAiT lista 13 16 I 2014

WRAiT
Zad. 1
Oblicz całk˛e
Zad. 2
Niech
∫
[0,10]
lista 13 16 I 2014
x3 dµ jeśli dµ (x) =
fn (x) =
Oblicz limn→∞
Zad. 3
∫
R fn dλ oraz
∫
R
∑∞
1
k=1 k2
{
0
1
n
dδk (x).
|x| > n,
|x| 6 n
limn→∞ fn dλ.
Podaj przykład ciagów
˛
funkcji borelowskich fn : R → R takich, że
∫
∫
∫
∫
lim inf fn dλ < lim inf fn dλ,
lim inf fn dλ > lim inf fn dλ,
n→∞ R
n→∞
n→∞ R
n→∞
R
∫
∫R
∫
∫
lim sup fn dλ > lim sup fn dλ,
lim sup fn dλ < lim sup fn dλ.
n→∞
R
R
n→∞
n→∞
Zad. 4 Oblicz całki
∫
1. [0,1] x2 dλ
2.
∫
Q
R
R
n→∞
x2 dλ.
Niech f : [0, 1] → R b˛edzie dana wzorem:
{
1 x ∈ [0, 1] \ Q
f(x) =
0 x ∈ [0, 1] ∩ Q
∫
Pokaż, że f nie jest całkowalna w sensie Riemanna oraz oblicz [0,1] f dλ.
Zad. 5
Zad. 6 Załó
∫ żmy, że ∫f : R → R jest całkowalna (w sensie Lebesgue’a). Pokaż, że jeśli |f| jest całkowalna oraz f dλ 6 |f| dλ.
Zad.
f : R → R, g : R → R sa˛ całkowalne (w sensie Lebesgue’a). Pokaż, że jeśli f 6 g,
∫ 7 Funkcje
∫
to f dλ 6 g dλ.
Zad. 8
Pokaż, że
∫
∫
∫
a f + b g dλ = a f dλ + b g dλ,
dla wszystkich a, b ∈ R, f i g całkowalnych.
∫
Zad. 9 Oblicz (0,1) f dλ, jeśli
{
x jeśli x ∈ Q
1. f(x) =
0 w innym wypadku.
{
2. f(x) =
x2
0
∫
Niech C b˛edzie zbiorem Cantora. Oblicz (0,1) f dλ, jeśli

1
{

sin πx jeśli x ∈ [0, 2 ] \ C
ex
2. f(x) =
1. f(x) = cos πx jeśli x ∈ [ 12 , 1] \ C
2

ex
 2
x
jeśli x ∈ C
jeśli x ∈ (0, 1) \ Q
w innym wypadku.
Zad. 10
jeśli x ∈ (0, 1) \ C
jeśli x ∈ C.