klasa I - Grudziądzki Konkurs Matematyczny

1
Grudziądzki Konkurs Matematyczny
2009
Klasy pierwsze
1.1 Zadania tekstowe
str.2
1.2 Zbiór liczb rzeczywistych
str.3
1.3 Geometria płaska
str.5
1.4 Wyrażenia algebraiczne
str.6
1.5 Funkcje
str.7
2
1.1 Zadania tekstowe
Zad 1. Po ustąpieniu gołoledzi prędkość autobusu wzrosła o 30%. Czas przejazdu pewnej trasy zmniejszył się o pół godziny.
W jakim czasie autobus pokonał tę trasę podczas gołoledzi, a w jakim po jej ustąpieniu?
Zad 2. Jeden z wiaduktów kolejowych w Alpach ma długość 135 m. Pociąg długości 135 m przejeżdża przez ten wiadukt w
czasie 15 sekund. Stoper włączono w chwili, gdy lokomotywa wjeżdżała na wiadukt i wyłączono w chwili, gdy ostatni
wagon opuszczał wiadukt. Jaka jest prędkość pociągu w km/h?
Zad 3. Samolot patrolowy przelatuje w bezwietrzną pogodę 220mil w ciągu godziny. Zapas paliwa wystarczy mu na 4 godziny
lotu. Na jaką odległość może oddalić się samolot od startu, jeśli ma do niego powrócić, a w pierwszej fazie lotu napotyka
wiatr przeciwny wiejący z prędkością 20 mil na godzinę? Prędkość wiatru jest stała w czasie całego lotu.
Zad 4. Pusty zbiornik o pojemności 4000 litrów jest napełniany przy pomocy trzech rur. Z dwóch rur ciecz wypływa z
prędkością 930 dm3/h, a z trzeciej - 560 dm3/h. Jeżeli zawór trzeciej rury otworzymy 90 minut po otwarciu dwóch
pierwszych, to ile czasu będzie trwało napełnianie całego zbiornika?
Zad 5. Pasażer jadący pociągiem pospiesznym ze średnia prędkością 120 km /h obserwuje przez okno swojego przedziału
mijający go pociąg osobowy, jadący z prędkością 80 km/h. Mijanie trwa 3 sekundy. Jakiej długości jest pociąg osobowy?
Zad 6. Po owalnej bieżni długości 1200m biegną dwaj chłopcy. Jeśli biegną w tym samym kierunku to mijają się co 20 minut.
Jeśli biegną w przeciwnych kierunkach, to mijają się co 5 minut. Oblicz z jaka prędkością (w km/h) biegnie każdy z
chłopców.
Zad 7. W nieparzystej liczbie trzycyfrowej podzielnej przez 5 suma cyfr setek i dziesiątek wynosi 9.Wyznacz tę liczbę,jeśli
wiadomo,że po zamianie miejscami cyfry dziesiątek i jedności otrzymamy liczbę o 18mniejszą od początkowej.
Zad 8. Średnia wieku drużyny piłkarskiej liczącej 11 osób jest równa 22 lata. Jeden z piłkarzy po otrzymaniu czerwonej karki
opuścił boisko i wówczas średnia wieku pozostałych zawodników wynosiła 21 lat. Ile lat miał piłkarz,który zszedł z boiska?
Zad 9. Trzech braci Bartek,Maciek i Tomek, Wybrało się na ryby i złowiło ich 14. Bartek złowił 2 razy mniej niż Tomek,
Maciek złowił więcej niż Bartek, ale mniej niż Tomek. Ile ryb złowił każdy z chłopców?
Zad 10. Kilku kolegów postanowiło skopać działkę. Gdyby wszyscy zaczęli pracować jednocześnie, to skopaliby działkę w
czasie 6 godzin. Jednak do pracy przystępowali kolejno jeden po drugim, w jednakowych odstępach czasu. Ostatni chłopiec
pracował tylko jeden odstęp czasu, a pierwszy 5 razy dłużej od ostatniego. Ile godzin chłopcy kopali działkę?
Zad 11. „Ale nazbierałem grzybów –chwali się Bartek. Ledwie zdołałem je donieść do domu. A przecież niosłem prawie samą
wodę – 90% masy świeżych grzybów stanowi przecież woda. Gdy grzyby wysuszyłem, stały się o 15 kg lżejsze. Pozostało
w nich 60% wody.” Ile grzybów przyniósł do domu Bartek.
Zad 12.Zegar wskazuje godz. 4.00 wyznacz czas, po upływie którego wskazówka minutowa pokryje się ze wskazówką
godzinową. Zakładamy, że wskazówki zegara poruszają się ruchem jednostajnym (bez skoków).
Zad 13. Nieuczciwa przekupka dolała 2 litry mleka o zawartości 4% tłuszczu do 10 litrów śmietany o zawartości 18% tłuszczu.
Mając do dyspozycji przyrząd pomiarowy do określania zawartości tłuszczu, który pokazuje wynik z dokładnością do 2%
sprawdź, czy możesz udowodnić nieuczciwość przekupki
Zad 14. Jeżeli liczbę dwucyfrowa podzielimy przez sumę jej cyfr, to otrzymamy 6 i resztę 3.Jeżeli zaś podzielimy tę liczbę
przez sumę cyfr powiększoną o 2, to otrzymamy 5 i resztę 5. Znajdź tę liczbę.
Zad 15. W dżungli były lwy i pelikany. Wszystkie one miały razem 760 nóg. Gdyby liczba lwów zwiększyła się o 25, a liczba
pelikanów zmniejszyła się o 1,25%, wówczas liczba nóg wszystkich tych stworzeń razem zwiększyłaby się o 10. Ile było w
dżungli lwów, a ile pelikanów.
Zad 16. Maciek wziął z banku kredyt w wysokości 10000 zł na okres dwóch lat, przy kapitalizacji co pół roku i rocznym
oprocentowaniu 16%. Ile złotych kosztował Maćka kredyt?
Zad 17. Spośród 40 uczniów pewnej klasy 17 gra w szachy, 21 w brydża, a 6 gra w szachy i w brydża. Ilu uczniów
a) gra w brydża, a nie gra w szachy ;
b) nie gra w szachy, ani w brydża?
Zad 18. Jedna beczka zawiera mieszaninę środka chemicznego, wspomagającego wzrost roślin, z wodą w stosunku 2:3, a
druga – w stosunku 3:7. Ile wiader należy wziąć z każdej beczki, żeby uzyskać 12 wiader mieszaniny, w której stosunek
masy środka chemicznego wody byłoby równe 3:5
Zad 19. Na wybiegu w kształcie trójkąta o bokach 12m, 16m, 20m, otoczonym płotem, znajduje się żyrafa. Dzięki swojej
długiej szyi może ona skubać trawę na zewnątrz ogrodzenia w odległości 2m od płotu. Jakie jest w przybliżeniu pole łąki na
zewnątrz ogrodzenia, które może żyrafa wyskubać?
Zad 20. Robotnik kopał dół. Na zapytanie przechodnia, jak głęboki będzie dół, odpowiedział: ”Mam wzrostu 1,8 m. Gdy
wykopię dół do końca, to moja głowa będzie o tyle poniżej powierzchni ziemi, o ile teraz, gdy już wykopałem połowę
głębokości dołu, jest powyżej niej.” Jaka będzie głębokość dołu?
3
1.2 Zbiór liczb rzeczywistych
Liczby rzeczywiste, przedziały, wzory skróconego mnożenia, procenty.
Zad.1. Uzasadnij wzór:
gdzie a > 0 , b > 0 i a2 ≥ b
a następnie wykorzystaj go do zapisania liczby
w innej postaci.
Zad. 2. Uzasadnij wzór:
gdzie a >0 i b > 0 oraz
≥b
a następnie użyj go do zapisania liczby
w innej postaci
Zad. 3. Uzasadnij, że liczba
jest równa
Zad. 4. Określ ostatnią cyfrę liczby:
a)
2 399 + 7 ,
b)
3399 + 7
Zad. 5. Uzasadnij (bez użycia kalkulatora), że liczba
a) 512 − 412 jest podzielna przez 61
b)
716 − 616 jest podzielna przez 13
2+ 3+ 4
2 + 3 + 4+ 6 +
Zad. 6. Uprość wyrażenie: a)
8
, b)
6+
1
3 − 10 −
5
Zad. 7. Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 3.
Zad. 8. Zapisz symbolicznie
A- Zbiór liczb rzeczywistych nie większych niż 2
B- Zbiór liczb rzeczywistych nie mniejszych niż -5
a następnie wyznacz zbiory A B, A B i B \ A
2
1
1

1 2
1 2




− 1, 5


3
Zad. 9. Oblicz: a)  6 − 20 2  −  6 + 20 2 
( 0,125) − 1 + 2 2 =


  = , b) 2 − ( 0,5)



 
 

)[
(
Zad. 10. Zapiszemy liczbę
6+ 4 2 =
]
6 + 4 2 w prostszej postaci:
4+ 4 2 + 2 =
22 + 2 ⋅ 2 2 + ( 2 )2 =
(2 +
2)2 = 2 +
2 = 2+
Postępując w analogiczny sposób, zapisz w prostszej postaci liczbę:
7 − 2 10
2
Zad. 11. Usuwając niewymierność z mianownika liczby
skorzystamy ze wzoru
3− 3 7
a)
19 + 8 3 ;
b)
9− 4 2 ;
c)
2.
4
(a 3 − b 3 ) = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
(3 −
7 )(32 + 33 7 + (3 7 ) 2 ) = 33 −
•
Zauważmy, że
•
Mnożąc licznik i mianownik danej liczby przez
3
( )
2
2 ⋅ (3 2 + 33 7 + 3 7 )
2(9 + 33 7 +
=
20
(3 − 3 7 )(3 2 + 33 7 + (3 7 ) 2 )
3
( 7)
3
3
32 + 33 7 +
49 )
=
= 20 .
( 7 ) otrzymujemy:
2
3
9 + 33 7 +
10
3
49
.
Korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia , usuń niewymierność z mianownika liczby:
a)
3
3
;
4+ 2
b)
3
2
25 + 15 +
3
7+ 4 3 +
Zad. 12. Sprawdź, czy liczba a)
3
9
.
7 − 4 3 ,b) 18 − 8 2 +
18 + 8 2 jest liczbą całkowitą.
Zad. 13. Oblicz długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych
7−
3+
2 i
2.
Zad. 14. Wyznacz zbiory A \ B oraz B \ A jeżeli
A = {a :| a | + 3 ∈ (− ∞ ;5 > } zaś B = {a : 3 − 4a ∈ < 7;9)} .
Zad. 15. Na osi liczbowej zaznaczono przedział A złożony z tych liczb rzeczywistych, których odległość od punktu 1
jest niewiększa od 4,5. Przedział A przesunięto wzdłuż osi o 2 jednostki w kierunku dodatnim otrzymując przedział
B. Wyznacz wszystkie liczby całkowite, które należą jednocześnie do przedziału A i do przedziału B.
A = {x ∈ ℜ : x < 2 lub x ≤ 3} ; B = {x ∈ ℜ : x > 2 lub x ≤ 3} ;
C = {x ∈ ℜ : x < 2 i x ≤ 3} . Zapisz w postaci przedziału zbiory A, B, C, ( B \ C ) ∩ A .
Zad. 16. Dane są zbiory
Zad. 17. Dane są przedziały: A = ( − 2;3 > ; B = <
A ∩ C , gdzie C oznacza zbiór liczb całkowitych.
3;5 > . Wykonaj działania A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A oraz
Zad. 18. Dane są przedziały (− ∞ ; 0, (2) + p > i < p + | p − 9 | − 3; + ∞ ) , gdzie p ∈ ℜ . Wyznacz wszystkie
wartości p, dla których część wspólna tych przedziałów jest zbiorem jednoelementowym.
2
Zad. 19. Licznik ułamka jest różnicą kolejnych liczb nieparzystych, a jego mianownik jest sumą kwadratów tych
liczb. Wykaż, że ułamek można skrócić przez 2, ale nie można go skrócić przez 4.
Zad. 20. W trzech pociągach znajduje się odpowiednio: 462, 546 i 630 pasażerów. Z ilu wagonów składa się każdy
pociąg, jeżeli w każdym wagonie jest taka sama liczba osób (największa z możliwych)?
Zad. 21. Pewnego roku 10 marca rano, do portu w Gdańsku przybiły cztery statki. Po południu, tego samego dnia,
wszystkie równocześnie opuściły port. Pierwszy z nich powraca do Gdańska co 4 tygodnie, drugi – co 8 tygodni,
trzeci – co 12 tygodni, a czwarty – co 16 tygodni. Czy wszystkie statki spotkały się w Gdańsku jeszcze raz w
danym roku?
Zad. 22. Zapisz, w postaci przedziału lub sumy przedziałów, zbiór takich x, dla których określone jest wyrażenie:
a)
b)
c) 2
,
d)
e)
Zad. 23. Liczby: t,x,0,y,z,1 spełniają warunek t
przedziałów zbiór:
a)
b)
d)
e)
g)
h)
f)
. Zapisz w postaci przedziału lub sumy
c)
f)
i)
Zad. 24. Liczba a przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, zaś przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1. Jaką resztę daje
5
liczba a przy dzieleniu przez 12?
Zad. 25. Oto fragmenty notatki prasowej :
Przeciętna płaca w sektorze przedsiębiorstw wyniosła w maju 1099,73zł (czyli o 0,6 procent mniej niż w kwietniu,
ale o 17,5 procent więcej niż w maju zeszłego roku).
Oblicz przeciętną płacę w kwietniu oraz przeciętną płacę w maju zeszłego roku.
Zad. 26. Podczas gołoledzi czas przejazdu autobusem pewnej trasy wydłuża się o 30minut, a prędkość autobusu
maleje o 30%. W jakim czasie autobus pokonuje tę trasę podczas gołoledzi, a w jakim po jej ustąpieniu?
Zad. 27. Jaką cenę wyznaczyć za towar, którego koszt własny wynosi 651,70zł, aby, udzielając rabatu 5% i
dodatkowo 2% upustu gatunkowego, osiągną 10% zysku w stosunku do kosztu własnego.
1.3 Geometria płaska
Zad.1 W trójkąt ABC, którego podstawa AB ma długość równą wartości wyrażenia
( a + b) ⋅ ( a − b)
2a + 4ab + 2b
2
wysokość poprowadzona z wierzchołka C równa się wartości wyrażenia
( a + b) 2
2
a = 3, b =
3,z
7
dla a = − 32,4 i b = −
,
15
dla
wpisano prostokąt GFED tak, że dłuższy bok leży na boku AB trójkąta. Oblicz długości boków prostokąta, jeśli ich
stosunek jest równy 5 : 9.
Zad.2 W trapezie prostokątnym podstawy są równe
3,6 ⋅
(−
2
2

72 ) : ( − 2 ) i  0,25 − 2  , a ramię prostopadłe ma długość
8

5
. Wyznacz odległości punktu przecięcia przekątnych trapezu od dłuższej podstawy i prostopadłego ramienia.
9
Zad.3 Dla jakich wartości parametrów b prosta
Oblicz współrzędne punktu styczności.
x + 3 y − 11 = 0 jest styczna do okręgu o równaniu x 2 + y 2 − 2 x − b = 0
ABCD o podstawach AB i DC przedłużono ramiona AD i BC tak, że przecinają się one w punkcie
K . Znajdź odległość KD , jeżeli AD = 18cm , AB = 40cm , CD = 32cm.
Zad.4 W trapezie
Zad.5 Pole rombu wynosi 10. Przeciwległe wierzchołki A i C tego rombu mają współrzędne A=(-1,4) i C=(3,5). Wyznacz
współrzędne wierzchołków B i D.
Zad.6 W prostokącie połączono środki sąsiednich boków otrzymując romb, którego obwód wynosi 20, a pole 24. Oblicz
długości boków prostokąta.
2 x − y = 0 , x − 3 y = 0 prostych zawierających boki równoległoboku i punkt przecięcia jego
przekątnych P = ( 2,3) . Znajdź równania prostych zawierających przekątne.
Zad.7 Dane są równania
Zad. 8 W trójkącie równoramiennym rozwartokątnym o bokach długości 30cm, 30cm,i 50cm poprowadzono wysokość z
wierzchołka kąta ostrego. Jaką długość ma ta wysokość?
Zad 9. Z punktu P leżącego w wewnątrz trójkąta równobocznego poprowadzono odcinki prostopadłe do boków trójkąta.
Wykaż, że suma długości tych odcinków jest równa długości wysokości tego trójkąta.
Zad 10. W trójkąt równoboczny wpisano okrąg, w ten okrąg wpisano kolejny trójkąt równoboczny, a w ten trójkąt znowu
wpisano okrąg. Ile razy promień mniejszego okręgu jest mniejszy od promienia większego okręgu.
Zad. 11 Sto okręgów ma wspólny środek S, a długości ich promieni wynoszą 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …100. Na tych okręgach leży
113 punktów prostej p. jaka jest odległość punktu S od prostej?
Zad12 W okrąg o średnicy 15cm wpisany jest prostokąt. Oblicz boki tego prostokąta wiedząc, że są one w stosunku
3
.
4
Zad.13 Oblicz bok trójkąta równobocznego, wiedząc, że różnica długości boku i wysokości tego trójkąta wynosi 3cm.
Zad. 14 Różnica promienia okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt równoboczny wynosi
trójkąta.
4 3 cm. Oblicz bok i obwód tego
Zad15 Z dwóch równoramiennych trójkątów prostokątnych złożono trapez. Ile wynosi pole trapezu wiedząc, że pole
mniejszego z trójkątów jest równe 8cm.
6
Zad 16. Przez wierzchołek kwadratu poprowadzono prostą, która dzieli kwadrat na trójkąt o polu 24 cm2 i trapez o polu 40
cm2. Oblicz obwód trapezu
Zad17. Dane są punkty: (-2,-1), (4, 1), (0, 3). Wyznacz wszystkie równoległoboki, których wierzchołki znajdują się
w podanych punktach. Oblicz pola tych równoległoboków.
Zad. 18 Przez punkt położony wewnątrz trójkąta o polu S poprowadzono proste równoległe do boków trójkąta. Proste te dzielą
trójkąt na 6 części, z których 3 są trójkątami o polach
S =
S1 , S 2 , S 3 . Wykaż że
S1 +
S2 +
S3
Zad 19 W trójkącie ABC o kącie prostym w wierzchołku C obrano taki punkt P, że pola trójkątów PAB, PBC i PAC są równe.
Oblicz długość odcinka PC wiedząc, że
2
2
PA + PB = m
Zad. 20 Końce odcinka AB leża na dwóch równoległych prostych i przez środek O tego odcinka prowadzimy dowolny odcinek
CD, którego końce leżą na tych samych równoległych. Udowodnij, że CO=OD
Zad. 21 W trójkącie ABC dwusieczna kata B przecina bok AC w punkcie B1. Przez punkt B1 prowadzimy równoległa do BC
przecinająca AB w punkcie C1. Uzasadnij ze B1C1=B1C.
Zad. 22 Liczby 2c-2; c+1; 2c+2 są długościami boków trójkąta. Do jakiego przedziału należy liczba c?
Zad. 23 Dany jest trójkąt równoramienny ABC, gdzie |AB|=|BC|, o obwodzie 200 cm. W trójkącie tym poprowadzono
środkowe AD i CE. Obwód trójkąta ACE jest o 20 cm większy od obwodu trójkąta ABD. Oblicz długości boków trójkąta
ABC.
Zad. 24 Dane są dwa odcinki o długości a i b (a>b). Skonstruuj odcinki o wskazanej długości:
 10 b
a)
b)
ab⋅a
a 2−b2
.
2a
1.4 Wyrażenia algebraiczne
Zad.1 Wykaż, ze różnica trzycyfrowych liczb, z których jedna i druga są zapisane za pomocą tych samych cyfr, ale w
odwrotnej kolejności, jest podzielna przez 11.
Zad.2 Sprzedawca ma trzy rodzaje odważników: małe, średnie i duże. Ziemniaki, które kupił Andrzej, ważyły tyle co 4 duże
odważniki. Zamiast nich sprzedawca mógł postawić 3 duże, 2 średnie i 1 mały lub 3 duże , 1 średni i 3 małe. Ile kilogramów
ziemniaków kupił Andrzej, jeśli największy odważnik jest lżejszy niż 10 kg?
Zad.3 Iloczyn dwóch liczb naturalnych jest równy 3200, a ich największy wspólny dzielnik jest równy 8. Znajdź te liczby.
Zad.4 Rozwiąż równanie:
[ x] =
2 x − 3 , gdzie symbol [ x ] oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od x .
Zad.5 Przyjmij, że liczby oznaczone literami są dodatnie. Przekształć równość tak, aby wyznaczyć wskazaną wielkość:
a)
(t + r)
2z
=
2r
, z;
4z + 1
b)
( u + v) 2 −
( x − 1) ⋅ ( x n− 1 +
Zad.6 Zapisz w jak najprostszej postaci:
Zad.7 Udowodnij, że jeżeli
4 = u2 + v2 , u ;
)
2x 2
= 4x , x
x n − 2 + ... + x 2 + x + 1
a + b + c = 0, to a 3 + b 3 + c 3 = 3abc
Zad. 8 Udowodnij, że jeżeli
b≠
ci
a + b = (a + b − c)
2
2
Zad 9 Wykaż, że dla dowolnych liczb naturalnych
Zad 10 Wiadomo, że
( x + h) ⋅ x 2
c)
2
, to
a 2 + (a − c) 2 a − c
=
b 2 + (b − c) 2 b − c
m > l trójkąt o bokach m 2 − l 2 ,2lm i m 2 + l 2 jest prostokątny.
x 2 + xy + y 2 = 4, x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 8. Wyznacz x 6 + x 3 y 3 + y 6 .
Zad. 11 Dane wyrażenie algebraiczne doprowadź do najprostszej postaci i oblicz jego wartość dla podanej wartości x.
a)
b)
1
1
1
 x−32 −  x72 2x11−2x −3 x 2 −2x− ;
3
2
6
2
  

2

1 1
1
1
− x − x x2  2x −8 x−1 x1;
3 2
3
2
Zad. 12 Następujące wyrażenia doprowadź do najprostszej postaci.
a) (
3x +
2 y ) 2 − 2 6 xy − ( x −
x=−3,
2 y )( x +
x=−3,
[
]
2 y ) − ( x 2 + 2 y 2 ) , b) ( p 2 + 2 p ) + ( 2 p 2 − p ) 2 : (5 p 2 )
2
7
Zad. 13 Wykonaj działania i przeprowadź redukcję wyrazów podobnych
a)
(a
2
− 3) − ( a − 2)( a 2 + 4)( a + 2) ;
3
Zad.14 Wykaż, że liczby postaci
trójkąta prostokątnego.
b) ( x 2
− 1)( x 4 + x 2 + 1) − ( x 2 − 1)3
a = 2n + 1, b = 2n( n + 1), c = 2n( n + 1) + 1, gdzien ∈ N + , są długościami boków
Zad.15 Usuń niewymierność z mianownika:
a)
3
1+
2−
3
;
b)
1
3
9−
3
6+
3
4
Zad. 16 Liczby m, n są liczbami naturalnymi i żadna z nich nie jest podzielna przez 3. Udowodnij, że różnica
podzielna przez 3.
Zad.17 Sprawdź czy dane równanie jest tożsamością
(
)
1

2 x[ ( 6 − 2 x )( 6 + 2 x ) ] − ( 4 x − 2)  − x  + 4 x 2 x 2 − x + 1 = 72 x
2

Zad.18 Udowodnij, że dla
k ∈ { 0...6} 150k + 7 jest liczbą pierwszą.
Zad. 19 Udowodnij, że dla
a, b ∈ R+ zachodzi
Zad.20 Udowodnij, że dla a, b, c ∈
m 2 − n 2 jest
a3 + b6
≥ 3ab 2 − 4
2
ℜ + , takich że a + b + c = 1 , zachodzi
2a + 1 +
2b + 1 +
2c + 1 ≤
15 .
Zad.21 a) W sadzie zebrano 130 kg jabłek, które średnio ważyły 20,8 dag. Spośród nich wybrano 150 jabłek większych, które
ważyły przeciętnie 24 dag. Jaka była średnia waga pozostałych jabłek?
b) Zbiór 112 kg ogórków, które ważyły średnio 14 dag podzielono na dwie części, oddzielając większe i mniejsze
ogórki. Większe ważyły średnio 15 dag, a mniejsze 10 dag. Ile razem ważyły większe, a ile razem ważyły mniejsze ogórki?
1.5 Funkcje
Zad 1. Za telegram zawierający 10 słów płaci się w pewnym urzędzie 2zł, a za każdy następny wyraz 0,15zł.
Wyraź koszt telegramu jako funkcję ilości wyrazów telegramu. Sporządź wykres.
Zad 2. W wannie o pojemności 200 litrów znajduje się 20 litrów wody. Po odkręceniu kurków do wanny napłynie 15
litrów wody w ciągu minuty. Napisz wzór funkcji opisującej zależność liczby litrów wody w wannie od czasu. Narysuj
wykres tej funkcji.
Zad 3. Z gazowni trzeba wywieźć 250 ton koksu, wywożono go w dziesięciotonowych wagonach. Zapisz ilość
koksu pozostającego w gazowni jako funkcję liczby wagonów wywiezionego koksu.
Zad 4. Funkcja ƒ, liczbie a zbioru A, przyporządkowuje liczbę b, stanowiącą 30% liczby a. Wyznacz zbiór wartości
funkcji ƒ, gdy:
a)
A= {0,2 ,10},
b)
Zad 5. Funkcja ƒ, liczbie a ze zbioru
, przyporządkowuje liczbę b
większa niż element a. Wyznacz zbiór wartości funkcji ƒ. Sporządź wykres tej funkcji.
B taką, że b jest o75%
Zad 6. Zbiór
jest zbiorem wartości funkcji g. Każdy element zbioru B jest o 50% większy niż
odpowiadający mu element dziedziny. Wyznacz wszystkie elementy dziedziny funkcji g.
Zad 7. Funkcja y= ƒ(n) każdej liczbie naturalnej n przyporządkowuje resztę powstałą z dzielenia liczby n przez
liczbę 5.
a) Określ zbiór wartości Y funkcji ƒ
b) Podaj zbiór miejsc zerowych funkcji ƒ
c) Narysuj wykres funkcji y= ƒ(n) dla n15 .
Zad 8. Funkcja ƒ określona w zbiorze liczb naturalnych przyporządkowuje liczbie n resztę z dzielenia tej liczby
przez 4
• Określ zbiór wartości funkcji ƒ
• Podaj zbiór miejsc zerowych funkcji ƒ
• Narysuj wykres funkcji y= ƒ(n) dla n10 .
Zad 9. Pewna rodzina na koniec roku miała w banku 5000 zł i postanowiła oszczędzać dalej, wpłacając na konto
każdego pierwszego dnia miesiąca przez rok kwotę 300 zł.
I.
Napisz wzór wyrażający zależności stanu oszczędności od czasu oszczędzania (w miesiącach),
zakładając, że w tym okresie nie dopisano odsetek.
II.
Naszkicuj w układzie współrzędnych, wykres otrzymanej funkcji w okresie 5 miesięcy oszczędzania.
8
Zad 10. Wykres przedstawia zależność prędkości (v) od czasu (t) w ruchu
pewnego pojazdu. Oblicz:
a) Drogę przebytą przez pojazd,
b) Średnią prędkość pojazdu.
Zad 11. Dane są cztery współśrodkowe okręgi o środku 0 i promieniach
długości odpowiednio:1,2,3,4. Określono funkcję y= ƒ(x),gdzie x oznacza
odległość dowolnej prostej od środka okręgów, a y liczbę jej wspólnych
punktów z okręgami. Określ dziedzinę Dƒ funkcji ƒ i napisz wzór opisujący te
funkcję.
dla
1

dla
Zad 12. Niech f ( x ) = sgn x =  0
 − 1 dla

x> 0
x = 0 . Narysuj wykres funkcji f ( x ) = − sgn ( x + 2 ) + 3
x< 0
Zad 13. O godzinie 21,30 zakończyło się przedstawienie w teatrze. Widzowie udali się do wyjścia. Długość kolejki
po ubrania przedstawia poniższy wykres. Na osi poziomej podany jest czas (w minutach), który upłynął od
zakończenia przedstawienia. Szatniarz w ciągu minuty podaje ubranie dziesięciu osobom.
Na podstawie wykresu odpowiedz na pytania:
a- Ile osób stało w kolejce
b- Ile osób dołączyło do kolejki między 21,45 a 21,38 ?
c- O której godzinie odebrał ubranie pan Nowak, jeśli stanął w kolejce o godzinie 21,40?
Zad 14. Na wykresie pokazano zależność drogi z przebytej przez samochód od czasu t
Na podstawie wykresu:
C- Oblicz średnią prędkość z jaką poruszał się samochód
D- W którym etapie, pierwszym czy drugim, samochód poruszał się szybciej? Ile razy ?
Zad 15. Wykaż, że wykresy funkcji
f ( x) =
2− x
i
g ( x) =
Zad 16. Napisz wzór funkcji, która wyraża liczbę rozwiązań równania
Zad 17. Wykresy funkcji
f ( x) =
1
x
i
g ( x) =
dla obliczonego k rozwiąż równanie
x 2 − 1 = m w zależności od parametru m.
1
x przecinają się w punkcie, którego rzędna równa się 0,(3).
k−1
a) oblicz odciętą punktu przecięcia wykresów
b) oblicz k
c)
2 + x − 1 są przystające.
1
f ( x ) = g ( x) .
4
9
Zad 18. Narysuj wykres funkcji
y = max( x ,1), gdzie x ∈ R i max(a; b) oznacza nie mniejszą z liczb a i b.
Zad 19. Określ dziedzinę funkcji:
Zad 20. Niech
f ( x) =
2x − 1
4− x
f ( x) =
x−3
x− 5
.
. Podaj dziedzinę, miejsca zerowe oraz współrzędne punktu przecięcia wykresu tej
funkcji z osią OY.
Zad 21. Rozwiąż równanie:
f (0,25) + f ( f (a 4 )) − 10 f (
1
1
)=
, gdzie f ( x) =
2
f (4)
a
x.