Jaka matematyka przed nami (1)

Matematyka dawniej i dziś
Jaka matematyka przed nami (1)
n
MAREK KORDOS
Czas siewu i czas zbioru
Kiedy się chce przewidzieć, co nas w najbliższej i dalszej perspektywie czeka, odwołanie
się do historii, obejrzenie się wstecz wydaje się jedną z racjonalnych metod. Łacińskie
przysłowie głosi, że „historia magistra vitae”, historia jest nauczycielką życia. Zobaczmy
więc, co ona mówi o matematyce, bo to nią przecież mamy się zajmować.
Przy pierwszym rzucie oka na dzieje matematyki dwa zjawiska wydają się zaskakujące.
Na ogół spodziewamy się, że rozwój nauki polega na systematycznym dodawaniu kolejnych poziomów do istniejącego dorobku, coś jakby sypanie kopca. Tymczasem – po pierwsze
– okazuje się, iż rozwój matematyki nie jest zjawiskiem ciągłym, że przebiega on skokami,
w których po okresach wzmożonej aktywności, mnogości nowych pomysłów i nieosiągalnych poprzednio rozwiązań, słowem po okresie burzy i naporu, następują długie okresy
przyswajania uzyskanych rezultatów, wdrażania ich w praktyczne życie, czynienia z nich
standardowych elementów cywilizacji.
Drugie zaskakujące zjawisko to fakt, iż rozwój matematyki wielokrotnie napotykał
rozdroża, sytuacje, gdzie ogół matematyków decydował, którędy dalej będzie ona wędrowała. Było to coś jakby płynący zboczem strumyk, który stale ma wiele dróg do wyboru
i często trudno zgadnąć, gdzie – po kolejnym przyborze wody – będzie jego nowe koryto.
Przyjrzyjmy się temu bliżej. Pierwsza wielka porcja matematyki, jaką potrafimy dziś
odnotować, pierwsza eksplozja matematycznej aktywności miała miejsce około pięciu tysięcy lat temu. Powstała wtedy dość konsekwentna koncepcja posługiwania się zależnościami matematycznymi. Są to osiągnięcia Sumerów i ludów w ten czy inny sposób korzystających z ich dorobku, a więc kolejnych formacji babilońskich i egipskich. Podstawowa
doktryna polegała na produkowaniu algorytmów w sposób empiryczny, to jest tak, że algorytmy powstawały na zasadzie analogii i ich poprawność nie była dowodzona, natomiast testowano ich skuteczność, co – jakby przez dobór naturalny – eliminowało z użytku
błędne pomysły. Po tej eksplozji, której czas trwania trudno ocenić, następuje z górą tysiąclecie, gdy nowych pomysłów nie ma, natomiast to, czego dopracowali się Chaldejczycy
(jak ich nazywa Prus, skądinąd z wykształcenia matematyk), pozwala na cały szereg osiągnięć praktycznych w rodzaju nawodnienia Mezopotamii, zbudowania piramid, murów
Myken czy kompleksu świątyń Karnaku.
Kolejna eksplozja to grecki pomysł z około – VIII wieku, aby matematykę ograniczyć
tylko do wiedzy pewnej, to jest takiej, której poprawność da się udowodnić. Jest to ostry
zakręt, ale entuzjazm twórczy, jaki ten pomysł wywołał, dał wielką matematykę Starożytnej Grecji, której doskonałości, np. w geometrii, nie jest w stanie dziś ogarnąć maturzysta.
Wzorcowym dziełem są tutaj Elementy Euklidesa, a najpłodniejszym twórcą jest Archimedes. Podczas tej eksplozji znów matematyka musiała wybierać: Eudoksos i Teajtetos
zaproponowali dwie konkurencyjne teorie liczb rzeczywistych (wygrał pierwszy z nich).
I znów – po czterech stuleciach siewu – matematyka wkroczyła w etap zbiorów, konsump1/2003
MATEMATYKA
9
Matematyka dawniej i dziś
cji. Najdonioślejszym przykładem jest tutaj ptolemejski system nieba. A przykładem na
eklektyzm powstającej wówczas matematyki jest – znany zapewne Państwu – wzór Herona: bardzo zawiły i kompletnie nieprzydatny.
Na następną eksplozję nowej matematyki trzeba było czekać znów tysiąc lat. Tym razem nowe do matematyki wnieśli Arabowie – stworzona przez nich nowa (dziś najsilniejsza) gałąź matematyki to algebra: sztuka redukcji. Ten okres tworzenia nowego to blisko
cztery stulecia. I znów następuje okres spożycia, wdrożenia uzyskanych rezultatów. Tym
razem interludium jest krótsze: w XVI wieku ponownie pojawiają się Europejczycy. Od
uzyskania sukcesu w postaci rozwiązania równań stopnia 3 i 4 zaczyna się kolejny burzliwy okres rozwoju matematyki. Tym razem kluczowym pomysłem jest naśladowanie przez
matematykę fizyki, a głównie mechaniki. Daje to najobszerniejszą dziś, zwłaszcza
w nauczaniu akademickim, dyscyplinę – analizę matematyczną. Kolejne trzy stulecia to
wykorzystanie wszelkich możliwości, jakie ten pomysł nasunął (a jest ich wiele).
Matematyka tak nabrała pewności siebie, że postanowiła zacząć badać metodami matematycznymi samą siebie. Tu znów pojawiły się rozmaite koncepcje rozumienia matematyki i znów trzeba było wybierać.
Wszystko to każe zobaczyć w pytaniu o matematykę przed nami nieoczywistość. To, co
będzie, może być bardzo rozmaite, a poziom zmatematyzowania naszego życia każe poważnie zastanawiać się nad odpowiedzią i jej praktycznymi konsekwencjami.
Matematyka postrachunkowa
Dokonany w roku 1947 (względnie w 1949) wynalazek tranzystora nie pozwolił wprawdzie
zbudować maszyny Turinga, ale dał możność zrealizowania i wdrożenia pomysłów na zdjęcie
z ludzkości kłopotów z liczeniem i przetwarzaniem danych we wszystkich powszechnie uprawianych typach działalności praktycznej. W ten sposób stało się faktem, że obecnie statystycznie nikt nie oczekuje od matematyków, iż będą dostarczali nowych sposobów rachowania – problemy z brakiem dostatecznie szybkich algorytmów, po pierwsze dotyczą bardzo
wyspecjalizowanych zagadnień i społeczne zapotrzebowanie na nie jest zerowe, po drugie
nie sposób dziś poważnie obstawać przy tym, że zajmujący się poszukiwaniem coraz doskonalszych algorytmów uczeni to matematycy. Powstał nowy, odrębny zawód informatyka czy,
jak kto woli, specjalisty od computer science. Same rachunki zaś stały się szczególnym przypadkiem szerszej (a nowej) dyscypliny – przetwarzania danych.
Matematyka uwolniona od rachunków (myślę tu o dyscyplinie naukowej) za główny
temat swojej pracy wzięła konstrukcję modeli matematycznych zjawisk realnych. Dowodów, że tak się stało, jest wiele. Wymienię tu trzy najważniejsze grupy.
1. Matematycy. Na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Berlinie (1998),
będącym, jak wszystkie te Kongresy, zwierciadłem i wskazówką aktualnych trendów
w matematyce, odczyty plenarne można było zgrupować w trzy zestawy tematyczne: 1/3
z nich dotyczyła zastosowań fizykokształtnych (z reguły z określeniem kwantowe w tytule), 1/3 dotyczyła innych zastosowań. Tak więc cała tzw. czysta matematyka zabierała
o połowę mniej miejsca niż jej zastosowania. Zapewne tak będzie w najbliższej przyszłości
podzielony potencjał światowej matematyki.
2. Inni badacze. Nagroda Nobla z chemii w 1999 roku dotyczyła fullerenów, Nagroda
Nobla z ekonomii – rachunku opcji. Obie więc były przyznane za sprawne zbudowanie
i użycie modeli matematycznych. Fullereny to atomy węgla umieszczone w rogach łatek
10
MATEMATYKA
1/2003
Matematyka dawniej i dziś
standardowej piłki nożnej (czyli wielościanu archimedesowego o ścianach pięcio- i sześciokątnych) – wolne wartościowania węgli można wykorzystać, dodając jakieś atomy czy
cząsteczki jednowartościowe – warto zwrócić uwagę, że te „dodatki” mogą być umieszczane albo wewnątrz, albo na zewnątrz piłki (ile to daje możliwości?). Mamy więc tu
teorię grafów i geometrię jako narzędzia chemii. Rachunek opcji zaś (czyli zasady handlowania możliwością zawierania transakcji) to twarda analiza matematyczna, teoria optymalizacji, że nie wspomnę o rachunku prawdopodobieństwa. W 2001 roku Nobel przypadł chemikom (farmaceutom?), którzy potrafili w syntezie uzyskiwać żądaną orientację
przestrzenną budowanych cząstek – znów mało tam oczekiwana geometria. Nic przeto
dziwnego, że zainteresowanie praktycznie wszystkich dyscyplin naukowych modelami matematycznymi rośnie.
3. Ludzie praktyki. Dane, jakie udaje się uzyskać od zaprzyjaźnionych uczelni Europy
Zachodniej, dają następujący rozkład zatrudnienia absolwentów studiów matematycznych:
45% – zarządzanie (w tym 28% to banki i ubezpieczenia),
24% – nauczanie matematyki wszystkich szczebli,
9% – praca badawcza
(pozostałe 20% jest rozproszone po najróżniejszych zawodach).
Od pewnego czasu i u nas sytuacja przedstawia się podobnie. I tu widzimy przewagę
zastosowań nad innymi sposobami kontaktu z matematyką.
Można by powiedzieć, że to wszystko dotyczy tylko mniej lub bardziej profesjonalnych
matematyków. To prawda, ale oni tak przekształcają środowisko pracy ludzi innych zawodów, że i ci „inni” muszą na codzień kontaktować się z modelem matematycznym zagadnień, którymi się zajmują. Niezależnie od tego, czy leczą nowotwory, prowadzą działalność giełdową, przepowiadają pogodę, czy są np. ekologami, psychologami, albo językoznawcami (że nie wspomnę o technice).
I ta tendencja się nasila. Coraz więcej ludzi będzie pracowało w bezpośrednim kontakcie z modelami matematycznymi. Stąd chodzi, jako wynik procesu kształcenia, o młodych
ludzi, którzy – obok angielskiego i WINDOWSów – będą umieli rozumować w takim
stylu, w matematyczny sposób. Albo będą przynajmniej choć trochę rozumieć myślących
w ten sposób.
To każe istotnie przeformułować treści nauczania matematyki. Ale o tym następnym
razem. n
1/2003
MATEMATYKA
11