optymalne projektowanie tarcz wzmacnianych równomiernie

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
32, str. 105-112, Gliwice 2006
ISNN 1896-771X
OPTYMALNE PROJEKTOWANIE TARCZ
WZMACNIANYCH RÓWNOMIERNIE ROZŁOŻONYMI ŻEBRAMI
KRZYSZTOF DEMS
JAN TURANT
Katedra Inżynierskich Zastosowań Informatyki, Wyższa Szkoła Informatyki w Łodzi
Streszczenie. W pracy rozpatrywany jest problem optymalnej dystrybucji
materiału wzmacniającego w konstrukcjach tarczowych. Założono, że rozkład
materiału wzmacniającego następuje wzdłuż linii o dowolnym kształcie, które
tworzą linie funkcjonalnie odpowiadające żebrom. W etapie analizy konstrukcji
wykorzystano metodę elementów skończonych, a w etapie syntezy wykorzystano
hybrydowy algorytm ewolucyjny, w którym zastosowano gradientowe metody
uczenia się osobników populacji macierzystej.
1. WSTĘP
Ze względu na potrzebę zapewnienie korzystnych własności wytrzymałościowych i
relatywnie niskich kosztów materiałowych, konstrukcje mechaniczne charakteryzują się często
nierównomiernością rozłożenia materiału, a w konsekwencji własności wytrzymałościowych
ich elementów. Nierównomierność ta ma na celu efektywne wykorzystanie materiału
konstrukcji pracującej w zadanych warunkach eksploatacyjnych.
Intuicyjne projektowanie odpowiedniego rozłożenia materiału jest przedsięwzięciem
trudnym i zależy w dużej mierze od doświadczenia i wyczucia projektanta. W efekcie
powstała konstrukcja musi oczywiście spełniać wymagane kryteria funkcjonalne natomiast nie
musi być rozwiązaniem najlepszym spełniającym dodatkowe kryteria, np. ekonomiczne. W
konsekwencji, aby zbliżyć się do rozwiązań najlepszych z określonego punktu widzenia i
równocześnie spełniających kryteria funkcjonalne, konieczne jest wykorzystywanie technik
optymalizacyjnych realizujących proces odpowiedniej dystrybucji materiału w obszarze
konstrukcji.
Spośród metod optymalizacyjnych na szczególną uwagę zasługują metody bezgradientowe
oparte na mechanizmach ewolucyjnych, które w połączeniu ze standardowymi metodami
gradientowymi tworzą efektywne algorytmy hybrydowe poszukiwania rozwiązań najlepszych.
W prezentowanej pracy rozpatrywany jest problem dystrybucji materiału wzmacniającego
w konstrukcjach tarczowych. Problem optymalnego kształtowania dyskretnych linii
wzmocnień był analizowany między innymi w [2,3,4]. W prezentowanej pracy założono, że
rozkład materiału wzmacniającego następuje wzdłuż linii o dowolnym kształcie, które tworzą
linie funkcjonalnie odpowiadające żebrom. Skokowa zmiana własności mechanicznych
materiałów, z którą mamy do czynienia wprowadzając materiał wzmacniający wzdłuż
106
K. DEMS, J. TURANT
określonych linii, wywołuje skok sił wewnętrznych w tarczy przy równoczesnym zachowaniu
ciągłości przemieszczeń.
Istotą efektywnego kształtowania wprowadzonych linii wzmocnień jest przejęcie przez nie
obciążeń przenoszonych przez konstrukcję przy równoczesnym ich równomiernym wytężeniu.
Celem przeprowadzonego procesu optymalnego projektowania jest określenie kształtu linii
wzmacniających żeber, które powodować będą możliwie równomierne wytężenie konstrukcji
tarczowej.
W etapie analizy pracy konstrukcji wykorzystano metodę elementów skończonych. W
trakcie dyskretyzacji obszaru konstrukcji wykorzystano dwa typy elementów skończonych.
Obszary tarczy wykonane z materiału słabszego pokryto siatką serendipowskich
ośmiowęzłowych elementów tarczowych a linie wzmocnień modelowano jednowymiarowymi
dwuwęzłowymi elementami typu cubic-cubic Hermit C1.
W etapie syntezy, bazującej na algorytmie optymalizacyjnym, wykorzystano hybrydowy
algorytm ewolucyjny, w którym zastosowano gradientowe metody uczenia się osobników
populacji macierzystej.
Podejście zaprezentowane w pracy zilustrowano przykładami optymalizacji kształtu
wzmocnień w tarczach obciążonych siłami w swojej płaszczyźnie środkowej.
2. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU
Rozpatrzmy tarczę, pokazaną na rys. 1, zajmującą obszar Ω ograniczoną brzegiem
zewnętrznym S. Założymy, że tarcza jest podparta na brzegu Su i obciążona na brzegu ST siłami
T0 i w obszarze tarczy siłami masowymi f. W obszar tarczy wprowadzono wzmocnienia,
których linie środkowe Γi mogą być poddane procesowi modyfikacji kształtu. Zachowanie się
takiej tarczy opisane jest poprzez równania równowagi, związki kinematyczne i równanie
konstytutywne dane odpowiednio w postaci:
σ ij , j + f i = 0
1
ε ij = (ui , j +u j , i )
2
i
i
σ ij = Fij ε mn , ε mn
, σ mn
(
)
wΩ
(1)
oraz dodatkowymi warunkami wzdłuż linii wzmocnień, w których założono ciągłość
przemieszczeń i skok sił wewnętrznych (rys.2). Warunki te wzdłuż dowolnej linii wzmocnienia
można zapisać w postaci:
TΓ = T2 Γ − T1Γ
uΓ = 0
na Γi
(2)
T0
T2Γ
ST
Ω
T1Γ
f
Γi
Γi
0
x2
u
Γi
Su
x1
Rys.1. Tarcza wzmocniona wieloma żebrami
<TΓ>=T2Γ−T1Γ
Rys.2. Dekompozycja tarczy
OPTYMALNE PROJEKTOWANIE TARCZ WZMACNIANYCH RÓWNOMIERNIE ROZŁOŻONYMI...107
Skok sił wewnętrznych <TΓ> wywołany wprowadzeniem żebra wzdłuż linii Γi generuje
w nim uogólnione naprężenia spełniające równania równowagi krzywoliniowego elementu
łukowego (rys 3).
N2
M2
t <T >
ns
n
<Tnn >
Q2
Q1
M1
N1
Rys.3. Łuk żebra obciążony siłami
wewnętrznymi tarczy
Równania te oraz związki kinematyczne i równanie konstytutywne dla takiego elementu
uzupełniają równania opisujące zachowanie się użebrowanej tarczy. Związki te (por. [1])
można zapisać w postaci:
N , s − M , s K + TΓns = 0, NK − M , ss K + TΓnn = 0
ε = u s , s − Ku n , θ = u n , s + Ku s
M = Lκ (κ ), N = Lε (ε )
na Γi
(3)
gdzie (.),s i (.),n oznaczają odpowiednio pochodną cząstkową po naturalnym parametrze
łukowym oraz w kierunku do niego prostopadłym, a K oznacza krzywiznę łuku żebra.
Dodając do układu równań (1-3) warunki na brzegu podpartym Su i obciążonym ST zapisane
w postaci:
T = T 0 na ST
u = u 0 na Su
(4)
otrzymujemy komplet zależności opisujących badaną konstrukcję.
3. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU OPTYMALIZACYJNEGO
Głównym celem prowadzonego procesu optymalizacyjnego jest optymalne, z kreślonego
punktu widzenia, ukształtowanie linii żeber. Jako zmienne projektowania przyjęto współrzędne
wierzchołków wieloboku Beziera przy pomocy, którego opisano kształt linii żeber.
W procesie optymalnego projektowania tarcz wzmocnionych wieloma żebrami
rozpatrywano dwa różne problemy optymalizacyjne, pozwalające na poszukiwanie konstrukcji
najmniej wytężonej oraz konstrukcji najsztywniejszej. W pierwszym przypadku problem
optymalizacyjny sformułowano w postaci:
 1 σ
min G1 =  ∫  t red
 A  σ 0 t
przy ograniczeniu
1
 k 1  σ ż red

 dΩ  +  ∫ 
  l  σ 0 ż

V f (b ) = V0 = const
k
1



k
k
dΓ 

(5)
108
K. DEMS, J. TURANT
gdzie A jest polem tarczy, l długością żeber, σt red i σż red oznaczają odpowiednio naprężenia
zredukowane w tarczy i żebrach, a σ0t i σ0ż ich poziomy dopuszczalne, k oznacza zaś parzystą
liczbę naturalną. Zauważmy, że gdy k → ∞ funkcjonał G1 staje się miarą maksymalnych
lokalnych naprężeń zredukowanych. W problemie optymalizacyjnym (5) wprowadzono
ograniczenie na całkowitą objętość materiału wzmacniającego.
W przypadku projektowaniu sztywnościowego wykorzystano funkcjonał opisujący pracę sił
zewnętrznych, a problem optymalizacyjny zapisano w formie:
min G2 = ∫ T 0udST
przy ograniczeniu
V f (b ) = V0 = const
(6)
stawiając podobne ograniczenie jak w problemie (5).
4. STRATEGIA OPTYMALIZACYJNA
W procesie rozwiązania problemów optymalizacyjnych (5) i (6) wykorzystano hybrydowy
algorytm ewolucyjny z kodowaniem zmiennoprzecinkowym. Zaproponowany schemat
algorytmu został przedstawiony na rysunkach 4 i 5.
Populacja
początkowa
Ocena
przystosowania
Gradientowe uczenie
wybranych osobników
populacji (rys.5)
Selekcja
deterministyczna
Krzyżowanie
heurystyczne
Gradientowe
uczenie
Wyznacz kierunek najszybszego wzrost
wybranych osobników
Wykonaj jedną iterację metodą
populacji
interpolacji
kwadratowej
Mutacja
gaussowska niejednorodna
NIE
STOP
TAK
Najlepszy
osobnik
Rys.4 Schemat zastosowanego algorytmu
Rys.5. Schemat gradientowego procesu
ewolucyjnego
uczenia się osobników
W zaproponowanym algorytmie ewolucyjnym zastosowano standardowe, dla kodowania
zmiennoprzecinkowego, operatory genetyczne, takie jak krzyżowanie heurystyczne i mutację
gaussowską niejednorodną. W etapie uczenia osobników zastosowano metodę najszybszego
spadku wykonując jedną iterację metodą interpolacji kwadratowej w wyznaczonym kierunku
poprawy. Procesowi uczenia poddano 10% najlepszych osobników każdej populacji.
OPTYMALNE PROJEKTOWANIE TARCZ WZMACNIANYCH RÓWNOMIERNIE ROZŁOŻONYMI...109
Jako funkcję przystosowania wybrano funkcję wykładniczą w postaci:
f =e

(G −Gmin ) 
 − a

 (G max − Gmin ) 
(7)
gdzie G jest funkcjonałem celu wprowadzonym w (5) lub (6), a Gmax i Gmin oznaczają
odpowiednio maksymalną i minimalną wartość tego funkcjonału w aktualnym pokoleniu.
Współczynnik a ma tutaj znaczenie skalujące i pozwala mniej lub bardziej uwypuklić
maksimum globalne, zaś znak minus przy tym współczynniku zamienia oryginalny problem
minimalizacyjny na problem poszukiwania maksimum.
5. PRZYKŁADY ILUSTRACYJNE
Na podstawie strategii przedstawionej w punkcie 4. zrealizowano dwa przykłady
optymalnego kształtowania linii żeber ze względu na dwa różne kryteria optymalizacyjne
wprowadzone w punkcie 3.
5.1. Wytężeniowe projektowanie tarczy
Jako pierwszy przykład rozpatrzmy tarczę wirującą ze stałą prędkością kątową,
zamocowaną na brzegu wewnętrznym Sw w ten sposób, że odebrane zostały styczne
przemieszczenia punktów tego brzegu (rys.6). Jako zmienne projektowania wybrano 5
współrzędnych biegunowych wieloboku Beziera opisującego kształt każdego żebra tarczy.
Jako miarę jakości takiej tarczy przyjęto jej wytężenie przy zadanym obciążeniu. Tak więc
tarcza optymalna będzie konstrukcją, której można nadać najwyższe obroty, co w prosty
sposób przekłada się na ilość energii kinetycznej gromadzonej w takiej tarczy i jej jakość jako
akumulatora energii. Zatem problem optymalizacyjny przyjęto w postaci (5). Wprowadzone w
(5) ograniczenie zrealizowano, zakładając, że przekrój poprzeczny żebra jest prostokątny o
stałej szerokości równej grubości tarczy, zaś jego wysokość zmienia się tak, aby przy
zmieniającej się w procesie optymalizacyjnym długości żebra jego objętość pozostawała
niezmienna.
Obliczenia przeprowadzono metodą elementów skończonych, wprowadzając w obszar
tarczy 8, 16 lub 32 żebra. W procesie optymalizacyjnym gradienty funkcji przystosowania były
obliczane metodą różnic skończonych centralnych. Optymalne kształty linii żeber, naniesione
na zastosowaną siatkę elementów skończonych, przedstawiono na rysunkach 7. Porównując
wyniki otrzymane przy różnej liczbie żeber otrzymano 2.5% zmniejszenia poziomu
maksymalnych naprężeń zredukowanych przy przejściu z 8 do 16 żeber i kolejne 3.2%
zwiększając ich liczbę do 32, przy zachowaniu stałej objętości materiału wzmacniającego.
110
K. DEMS, J. TURANT
Rys.6. Wirująca tarcza wzmocniona zebrami, opis kształtu żebra – wielobok Beziera
Rys.7. Optymalne kształty linii żeber na zastosowanej siatce elementów skończonych dla
różnej liczby żeber
5.2. Sztywnościowe projektowanie tarczy
W przykładzie tym rozpatrzono obecnie tarczę pokazaną na rysunku 8, obciążoną
rozciągającymi siłami q1 i q2 wzdłuż krótszych boków i podpartą wzdłuż boków dłuższych. W
obszar tarczy zostały wprowadzone żebra, które zaczynają się i kończą na brzegach
obciążonych. Celem projektowania było takie ukształtowanie zadanej liczby żeber, aby
sztywność całej konstrukcji była jak największa. W konsekwencji jako zmienne projektowania
zostały wybrane 4 niezależne współrzędne wierzchołków wieloboku Beziera (rys.8) opisujące
kształt pojedynczego wzmocnienia. W efekcie w zależności od liczby żeber zmieniała się
całkowita liczba zmienny projektowania. I tak dla konstrukcji z trzema żebrami wynosiła ona
12, z siedmioma 21, aż wreszcie dla konstrukcji z piętnastoma żebrami wynosiła ona 60
zmiennych projektowania.
Problem optymalizacyjny przyjęto tym razem w postaci (6). Ograniczenie występujące w
sformułowaniu (6) zostało wyeliminowane podobnie jak w przykładzie poprzednim. Gradienty
funkcji przystosowania, niezbędne w procesie uczenia osobników były pozyskane przy pomocy
różnic skończonych.
Obliczenia przeprowadzono dla dwóch wariantów obciążeń, a mianowicie: 1. q1 =q2 oraz
2. q1 =10q2
OPTYMALNE PROJEKTOWANIE TARCZ WZMACNIANYCH RÓWNOMIERNIE ROZŁOŻONYMI...111
q1
b4
b3
b2
q2
b1
Rys.8. Tarcza wzmocniona żebrami i opis kształtu żeber
Wyniki przeprowadzonych obliczeń dla przypadku 1 i 2 pokazano odpowiednio na
rysunkach 9 i 10. Otrzymany kształt linii żeber naniesiono ponownie na rzeczywistą siatkę
elementów skończonych zastosowaną w trakcie analizy pracy konstrukcji. Porównując, w
przypadku obciążenia pierwszego, wyniki otrzymane przy rozkładzie całkowitej objętości
materiału wzmocnień na różną liczbę żeber otrzymano zwiększenie sztywności konstrukcji o
4.2% przy przejściu z 3 do 7 żeber i dalsze 6.3 % przy zwiększeniu ich liczby do 15. Dla
przypadku drugiego obciążenia podobne porównania dały wyniki 2.0% i 9.0%.
Rys.9. Optymalne kształty linii żeber dla przypadku q1 =q2
Rys.10. Optymalne kształty linii żeber dla przypadku q1 =10q2
112
K. DEMS, J. TURANT
6. PODSUMOWANIE
Przeprowadzone obliczenia wykazały skuteczność zaproponowanego algorytmu
optymalizacyjnego do rozpatrywanej klasy zadań. Skuteczność zaproponowanej metody, jak
wykazują symulacje na funkcjach testowych, jest silnie zależna od dokładności wyznaczania
gradientów funkcji celu co, może wskazywać na sensowność wykorzystania bardziej
precyzyjnych i efektywnych mechanizmów obliczania gradientów funkcji przystosowania
bazujących np. na metodzie sprzężonej analizy wrażliwości. Metoda ta wymaga, bez względu
na liczbę zmiennych projektowania, rozwiązania tylko jednego problemu dodatkowego.
Wyniki obliczeń potwierdziły ogólnie przyjęty pogląd, że większa równomierność
rozłożenia materiału wzmacniającego w konstrukcji wpływa korzystnie na jej parametry
użytkowe.
LITERATURA
1. Dems K., Mróz Z,: ”A variational approach to sensitivity analysis and structural
optimization of plane arches”, Mech. Struct. Mach., 15(3), 297-321, 1987
2. Dems K., Mróz Z., Szeląg D.: „Optimal design of rib-stiffeners in disks and plates”,
Int. J. Solids Structures, 25, 973-998, 1989
3. Mróz Z., Dems K.: „Discret and continuous reinforcement of materials”(in Optimal Design
in Advanced Materials, Ed. P. Pedersen), Elsevier, Amsterdam 1993.
4. Turant J., Dems K., Sensitivity and Optimal Design of Reinforcing Interfaces in Composite
Disks, FIBRES & TEXTILES in Eastern Europe, Vol.9, No.32, p.57-62, 2001
THE OPTIMAL DESIGN OF DISKS REINFORCED
WITH UNIFORMLY SPACED RIBS
Summary. In the paper the problem of reinforcing material distribution in disk
like structures is considered. It was assumed that reinforcing material is distributed
along lines of arbitrary shape corresponding functionally with ribs. In analysis step
of the structure behaviour the finite element method was used. In synthesis step,
based on optimization algorithm, hybrid evolutionary algorithm was used, in which
gradient learning methods of parent population individuals were incorporated. The
presented approach was illustrated with some examples of optimal design of
reinforcements in disks loaded in their plane.