5 Pola kierunków, krzywe całkowe

5–1
Pola kierunków, krzywe całkowe
5
Pola kierunków, krzywe całkowe
Rozważmy równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
x0 = f (t, x).
(R1)
Kierunkiem równania różniczkowego zwyczajnego pierwszego rzędu (R1) w
punkcie (t, x) ∈ D(f ) nazywamy prostą przechodzącą przez punkt (t, x), o
współczynniku kierunkowym równym f (t, x).
(Niekiedy kierunek równania (R1) w punkcie (t, x) definiuje się jako
odcinek o środku w (t, x) i współczynniku kierunkowym równym f (t, x).)
Pole kierunków równania (R1) jest to przyporządkowanie każdemu
punktowi (t, x) ∈ D(f ) kierunku równania (R1) w tym punkcie.
Krzywą całkową równania (R1) nazywamy wykres rozwiązania tego
równania.
Z powyższych definicji łatwo widać, że wykres funkcji różniczkowalnej jest
krzywą całkową równania (R1) wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym swym
punkcie jest styczny do kierunku równania w tym punkcie.
Rozwiązanie zagadnienia początkowego (R1)+(x(t0 ) = x0 ) polega na
znalezieniu krzywej całkowej równania (R1) przechodzącej przez punkt
(t0 , x0 ).
5.1
Przykład
Rozpatrzmy równanie różniczkowe
(5.1)
x0 = xf (x),
gdzie o funkcji f : R → R klasy C 1 zakładamy, że istnieje K > 0 takie, że
f (x) > 0 dla x ∈ [0, K), f (K) = 0 oraz f (x) < 0 dla x > K.
Równania tego typu opisują zmianę w czasie liczebności populacji pewnych
organizmów żywych: t jest czasem, x jest miarą gęstości populacji gatunku.
Będziemy rozważali tylko rozwiązania przyjmujące wartości dodatnie, i
będzie nas interesowało tylko zachowanie się rozwiązań dla t ­ 0.
Oznaczmy przez ϕ : (α, β) → R nieprzedłużalne rozwiązanie zagadnienia
początkowego
(5.2)
Przypadek 0 < x0 < K.

x0
= xf (x)
= x0 .
x(0)
5–2
Skompilował Janusz Mierczyński
Po pierwsze, zauważamy, że ϕ rośnie na [0, β) dopóki przyjmuje wartości
pomiędzy 0 a K (na pewno przyjmuje takie wartości bezpośrednio na
prawo od t0 = 0). Wykażemy teraz, że ϕ(t) ∈ (0, K) dla każdego t ∈ [0, β).
Załóżmy nie wprost, że zbiór { t ∈ [0, β) : ϕ(t) ∈
/ (0, K) } jest niepusty, i
oznaczmy przez t1 kres dolny tego zbioru (oczywiście 0 < t1 < β). Z
ciągłości funkcji ϕ wynika, że albo ϕ(t1 ) = 0, albo ϕ(t1 ) = K. Przypadek
ϕ(t1 ) = 0 jest wykluczony, gdyż ϕ(0) > 0 i ϕ jest rosnąca na [0, t1 ).
Przypadek ϕ(t1 ) = K też jest wykluczony, gdyż funkcja ϕ byłaby wówczas
rozwiązaniem zagadnienia początkowego

x0
= xf (x)
1 ) = K,
x(t
zaś jedynym rozwiązaniem tego zagadnienia jest funkcja stale równa K.
Wykazaliśmy zatem, że ϕ jest rosnąca na [0, β) i przyjmuje tam wartości z
(0, K). Z twierdzenia o przedłużaniu rozwiązań (Tw. 3.4) wynika, że
β = ∞. Istnieje zatem granica A := limt→∞ ϕ(t). Z poprzedniego akapitu
wynika, że 0 < A ¬ K. Chcemy wykazać, że A = K. Załóżmy nie wprost,
że A < K, i oznaczmy M := inf{ xf (x) : x ∈ [x0 , A] }. Zachodzi M > 0.
Ponieważ dla każdego t ­ 0 mamy x0 ¬ ϕ(t) < A, zatem ϕ0 (t) ­ M. Ale
ϕ(t) − x0 =
Zt
ϕ0 (s) ds ­ M · t,
0
stąd ϕ(t) → ∞ gdy t → ∞, sprzeczność. Wykazaliśmy więc, że ϕ(t) rośnie
do K przy t → ∞.
Przypadek x0 > K.
Po pierwsze, zauważamy, że ϕ maleje na [0, β) dopóki przyjmuje wartości
większe od K (na pewno przyjmuje takie wartości bezpośrednio na prawo
od t0 = 0). Wykażemy teraz, że ϕ(t) > K dla każdego t ∈ [0, β). Załóżmy
nie wprost, że zbiór { t ∈ [0, β) : ϕ(t) ¬ K } jest niepusty, i oznaczmy przez
t1 kres dolny tego zbioru (oczywiście 0 < t1 < β). Z ciągłości funkcji ϕ
wynika, że ϕ(t1 ) = K. Lecz jest to wykluczone, gdyż funkcja ϕ byłaby
wówczas rozwiązaniem zagadnienia początkowego

x0
= xf (x)
= K,
x(t1 )
zaś jedynym rozwiązaniem tego zagadnienia jest funkcja stale równa K.
Wykazaliśmy zatem, że ϕ jest malejąca na [0, β) i przyjmuje tam wartości z
(K, ∞). Z twierdzenia o przedłużaniu rozwiązań (Tw. 3.4) wynika, że
5–3
Pola kierunków, krzywe całkowe
β = ∞. Istnieje zatem granica A := limt→∞ ϕ(t). Z poprzedniego akapitu
wynika, że A ­ K. Chcemy wykazać, że A = K. Załóżmy nie wprost, że
A > K, i oznaczmy M := sup{ xf (x) : x ∈ [A, x0 ] }. Zachodzi M < 0.
Ponieważ dla każdego t ­ 0 mamy A < ϕ(t) ¬ x0 , zatem ϕ0 (t) ¬ M. Ale
ϕ(t) − x0 =
Zt
ϕ0 (s) ds ¬ M · t,
0
stąd ϕ(t) → −∞ gdy t → ∞, sprzeczność. Wykazaliśmy więc, że ϕ(t)
maleje do K przy t → ∞.