ALGEBRA M2 Lista 3 Zadania standardowe: 1,2,3,4,5 Zad.1

ALGEBRA M2
Lista 3
Zadania standardowe: 1,2,3,4,5
Zad.1. Wykazać, że jeżeli V jest skończenie wymiarową przestrzenią liniową, to wielomiany charakterystyczne macierzy przekształcenia ϕ ∈ L(V ) we wszystkich bazach są
takie same. Wykazać także, że v jest wektorem własnym przekształcenia ϕ wtedy i
tylko wtedy gdy spełnione jest równanie
(MB (ϕ) − λI)vB = 0
dla każdej bazy B przestrzeni V , gdzie MB (ϕ) jest macierzą przekształcenia ϕ w bazie
B, a vB jest kolumną współrzędnych wektora v w bazie B.
Zad.2. Wyznaczyć rzeczywiste wartości własne i odpowiadające im przestrzenie wektorów własnych dla macierzy
1 2
2 3
1 2
,
,
2 1
0 2
−1 1

 
 

0 0 1
1 1 0
0 1 0
 0 1 0  ,  2 2 0  ,  −2 0 0 
1 0 0
0 0 1
0 0 1
Zad.3. Wyznaczyć zespolone wartości własne i odpowiadające im przestrzenie wektorów
własnych dla macierzy



 

1
2
3
4
1 0
0
0 8
0
 1 2 3 4 
1 −5




0 1 −1 ,
0 0 −2  , 
,
 1 2 3 4 
2 −1
0 1
1
2 8 −2
1 2 3 4
Zad.4. Dla danego przekształcenia liniowego znaleźć wartości własne i odpowiadaj˛ace
im wektory własne:
(a) ϕ : R2 → R2 , gdzie ϕ(x, y) = (x + 2y, x − y)
(b) ϕ : R3 → R3 , gdzie ϕ(x, y, z) = (y, x, z)
(c) ϕ : C3 → C3 , gdzie ϕ(x, y, z) = (x + 2y + z, −2x + y, z)
Zad.5. Niech ϕ : R2 [x] → R2 [x], gdzie
(ϕ(f ))(x) = (x + 1)f 0 (x).
Wyznaczyć wartości własne i wektory własne tego przekształcenia.
Zad.6. Niech ϕ : R[x] → R[x], gdzie
Z x
(ϕ(f ))(x) =
f (t)dt.
0
Sprawdzić czy przekształcenie te posiada wektory własne (jeżeli tak, to je wyznaczyć).
Przeanalizować też przypadek przestrzeni V = C[0, 1]
1
Zad.7. Niech ϕ będzie symetrią przestrzeni R2 względem prostej y = x. Korzystając
z interpretacji geometrycznej ϕ, odczytaj jego wektory własne i wartości własne oraz
napisz macierz tego przekształcenia w bazie wektorów własnych. Napisz macierz przejścia z bazy kanonicznej do bazy złożonej z wektorów własnych tego przekształcenia.
Zad.8. Niech ϕ będzie symetrią przestrzeni R3 względem prostej x = 2 − 2t, y =
1 − t, z = −1 + t. Przeprowadzić analizę tego przekształcenia podobną do tej w zadaniu
poprzednim.
Zad.9. Znając wartości własne macierzy A ∈ Mn (K) wyznaczyć wartości własne
macierzy A2 oraz, w przypadku gdy A jest nieosobliwa, macierzy A−1 .
Zad.10. Pokazać, że jeśli V = V1 ⊕ V2 , gdzie V1 , V2 są podprzestrzeniami niezmienniczymi przekształcenia ϕ ∈ L(V ), tzn. ϕ(v1 ) ∈ V1 oraz ϕ(v2 ) ∈ V2 dla kazdego v1 ∈ V1
oraz v2 ∈ V2 , to wϕ (λ) = wϕ1 (λ)wϕ2 (λ), gdzie ϕj = ϕ|Vj , j = 1, 2. Przez wϕ oznaczamy
wielomian charakterystyczny przekształcenia ϕ.
Zad.11. Mówimy, że macierz A ∈ Mn (K) ma postać diagonalną (lub, że jest diagonalizowalna) jeżeli istnieje macierz podobna do A, która jest macierza diagonalną.
Wykazać, że A ma postać diagonalną wtedy i tylko wtedy gdy A ma n liniowo niezależnych wektorów własnych.
Zad.12. Stosując Zad.11, zdiagonalizować macierz rzeczywistą


4 0
6
 2 1
4 
−1 0 −1
Zad.13. Zbadać, czy istnieje postać diagonalna macierzy rzeczywistej


1 1 0
 0 1 0 
0 0 2
Zad.14. Niech Wλ oznacza przestrzeń wektorów własnych odpowiadających wartości
własnej λ macierzy A ∈ Mn (R). Pokazać, że A ma postać diagonalną wtedy i tylko
wtedy gdy suma krotności wszystkich rzeczywistych pierwiastków wielomianu charakterystycznego jest równa n i dla każdego pierwiastka λj o krotności kj przestrzeń Wλj
ma wymiar kj . Przeanalizować to twierdzenie na przykładach z Zad.2 i Zad.3.
Zad.15. Wykazać, że liczba zero jest wartością własną macierzy A wtedy i tylko wtedy
gdy macierz A jest osobliwa, tzn. detA = 0.
2