Drugi zestaw zadań - Katedra Ekonomii Matematycznej

ZESTAWY ZADAŃ Z EKONOMII MATEMATYCZNEJ – TEORIA PRODUKCJI
1. Sformułuj własności przestrzeni c-produkcyjnej odpowiadające różnym założeniom na temat przestrzeni
p-produkcyjnej (np. założenie proporcjonalnych przychodów, addytywność, brak rogu obfitości, itd.).
Czy wszystkie założenia nt. przestrzeni p-produkcyjnej można wyrazić za pomocą założeń odnośnie
przestrzeni c-produkcyjnej?
2. Pokaż, że założenie malejących przychodów przestrzeni p-produkcyjnej i założenie addytywności procesów produkcyjnych wzajemnie się wykluczają.
3. Przestrzeń p-produkcyjna spełnia założenie proporcjonalności nakładów i wyników oraz założenia możliwości marnotrawstwa. Czy wynika stąd, że spełnia założenie addytywności? Czy jeśli przestrzeń jest
addytywna i spełnia postulaty marnotrawstwa, to musi spełniać założenie proporcjonalności?
4. Pokaż, że w przypadku n = 1 (tylko jeden towar) jeśli funkcja spełnia założenie proporcjonalności
nakładów i wyników, to oba postulaty możliwości marnotrawstwa (tj. po stronie nakładów i po stronie
wyników) są sobie równoważne. Czy będzie to prawdą dla n > 1?
5. Czy możliwe jest, że dla danego wektora nakładów x istnieje więcej niż jeden proces technologicznie
efektywny? Pokaż, że to nie jest możliwe lub podaj przykład, że jest.
6. Dana jest funkcja produkcji:
A). f (k, z) = ak + bz, a, b > 0,
B). f (k, z) = ak α z β , a, α, β > 0,
θ
C). f (k, z) = (ak γ + bz γ ) γ , a, b, θ > 0, γ < 1.γ 6= 0.
a). Oblicz produktywności krańcowe i elastyczności produkcji czynników.
b). Oblicz krańcową stopę substytucji i elastyczność substytucji kapitału przez pracę.
c). Sprawdź stopień jednorodności funkcji i efekty skali. Kiedy funkcja ma stałe efekty skali? Co to
oznacza?
7. Pokaż, że niesubstytucyjna funkcja produkcji f (x) = max {λ : λa 6 x}, gdzie a ∈ Rn , a > 0 jest wklęsła.
8. Pokaż, że jeżeli funkcja produkcji jest jednorodna stopnia θ, to jej elastyczność względem skali nakładów
też wynosi θ.
9. Czy funkcja jednorodna stopnia θ > 1 może być wklęsła? Czy funkcja jednorodna stopnia θ > 1 może
być silnie wklęsła?
10. Istnieją dwa czynniki prodkucji: k (kapitał) i z (praca). Pokaż, że jeżeli efekty skali są stałe, to produkcję
na pracownika (jednostkę pracy) można wyrazić jako funkcję kapitału na pracownika (tj. yz = g(u), gdzie
u = kz ). Czy jest to możliwe dla innych efektów skali?
11. Pokaż, że funkcję produkcji Koopmansa-Leontiefa f (k, z) = min ak , zb można zapisać w następującej,
równoważnej postaci:
f (k, z) = max {λ : λ (a, b) 6 (k, z)} .
12. Dla funkcji produkcji Koopmansa-Leontiefa: f (k, z) = min ak , zb , gdzie a, b > 0
a). Narysuj izokwanty produkcji.
b). Sprawdź, czy funkcja jest (silnie) wklęsła i jednorodna.
c). Wykreśl wydajność pracy i produktywność kapitału w zależności od technicznego uzbrojenia pracy.
d). Co można powiedzieć o substytucji czynników produkcji dla tej funkcji?
13. Wykaż, że dla funkcji dodatnio jednorodnych stopnia θ prawdziwe jest następujące równanie:
n
X
∂f
xi
θf (x) =
(x) (tw. Eulera).
∂x
i
i=1
Korzystając z tego pokaż, że dla funkcji produkcji jednorodnej stopnia θ suma elastyczności czynników
produkcji wynosi θ.
1
1
14. Funkcja CES przy stałych efektach skali ma postać f (k, z) = A(ak γ + bz γ ) γ . Pokaż, że
a). dla γ = 1 jest to funkcja liniowa,
b). przy γ → 0 oraz a + b = 1 funkcja CES zmiania się w funkcję Cobba-Douglasa f (k, z) = Ak a z b ,
c). przy γ → −∞ funkcja przyjmuje postać funkcji Koopmansa-Leontiewa, f (k, z) = min{k, z}.
Sprawdź, jak zmienia się elastyczność krańcowej stopy substytucji względem technicznego uzbrojenia
pracy przy podanych zmianach parametru γ. Zinterpretuj to ekonomicznie.
15. „Jeżeli proporcjonalny wzrost zatrudnienia ziemi i pracy zawsze powoduje proporcjonalny wzrost produkcji pszenicy, a krańcowa produktywność pracy rośnie wraz ze wzrostem jej zatrudnienia, to cała
światowa produkcja pszenicy zmieściłaby się w jednej doniczce, o ile doniczka byłaby wystarczająco
mała” [G.J. Stigler The Theory of Price]. Czy zgadzasz się z tym twierdzeniem? Spróbuj je uzasadnić
lub pokazać, że jest fałszywe.
16. Sprawdź, jakie efekty skali mają następujące funkcje produkcji:
1
1
a). f (k, z) = k 2 + z 3 ,
b). f (x) = hx, ai + b, gdzie a ∈ Rn , a > 0, b ∈ R.
17. Pokaż, że funkcja popytu produkcyjnego i funkcja podaży produktu są jednorodne stopnia 0.
18. Wyznacz funkcję podaży dla funkcji produkcji typu Cobba-Douglasa. Czy funkcja podaży istnieje dla
dowolnych wartości parametrów?
19. Pokaż, że jeżeli funkcja produkcji jest jednorodna stopnia θ, to stopień jednorodności funkcji kosztów
względem wielkości produkcji wynosi 1/θ.
20. Wyznacz funkcję kosztów dla funkcji produkcji Cobba-Douglasa. Rozwiąż zadanie maksymalizacji zysku
korzystając z funkcji kosztów.
21. Wyznacz funkcję kosztów dla n-czynnikowej funkcji produkcji
n
Y
xai i ,
f (x) = A
i=1
gdzie A, a1 , . . . , an . Wyznacz funkcję podaży korzystając z funkcji kosztów.
22. Wyznacz funkcję kosztów dla niesubstytucyjnej funkcji produkcji f x) = max {λ : λa 6 x}, gdzie a ∈ Rn ,
a > 0.