Zestaw zadań z Programowania liniowego Opracował: dr Adam

Zestaw zadań z Programowania liniowego
Opracował: dr Adam Kucharski
Zadanie 1
Zamkowa zbrojownia produkuje dwa rodzaje halabard: A i B, które stały się jej przebojem eksportowym.
Jednostkowy zysk osiągany na halabardzie A równa się 1 dukatowi, a na halabardzie B 3 dukatom. W
procesie produkcji wykorzystywane są dwa surowce o kluczowym znaczeniu: stal i drewno. Ich zużycie w
kg na jedną halabardę A oraz B a także limity zapasów w magazynie zawiera tabela:
Stal
Drewno
Halabarda A
1
2
Halabarda B
2
1
Zapas [t]
20
18
Podczas produkcji stali zużywa się rudę. Normy technologiczne wymagają 2 jednostek tego surowca na
każdą sztukę A oraz na każdą sztukę B. Należy zużyć co najmniej 10000 jednostek rudy, aby uzyskać
odpowiednią stal. Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny zysk ze sprzedaży obu rodzajów
halabard do ościennych księstw.
1. Zbuduj model programowania liniowego do powyższego zadania.
2. Podaj wynikające z niego rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu).
3. Czy konieczna będzie produkcja obu typów halabard?
4. O ile przekroczone zostanie zużycie rudy?
5. Jak zmieni się zysk maksymalny jeżeli zapas stali wzrośnie o 5 kg?
Zadanie 2 (Jędrzejczak, Kukuła)
Rafineria ropy naftowej kupuje do przerobu dwa gatunki ropy: R1 i R2 w cenach odpowiednio: 7 i 14 zł za
jednostkę przerobową. Proces technologiczny, odbywający się w wieży rektyfikacyjnej daje trzy produkty:
benzynę, olej napędowy i odpady. Z jednostki przerobowej ropy R1 otrzymujemy 16 hl benzyny, 20 hl
oleju napędowego i 24 hl odpadów. Z jednostki przerobowej ropy R2 otrzymujemy 48 hl benzyny, 10
hl oleju napędowego i 14 hl odpadów. Ile należy kupić ropy R1 i R2, aby wyprodukować co najmniej
48 000 hl benzyny oraz 20 000 hl oleju napędowego przy minimalnym koszcie zakupu surowca. Zdolność
przerobowa wieży rektyfikacyjnej, mierzona łączną objętością wszystkich produktów wynosi 144 000 hl.
1. Zbuduj model programowania liniowego do powyższego zadania.
2. Podaj wynikające z niego rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu).
3. Czy koszt minimalny przekroczy 10 tys. zł?
4. Czy limit produkcji odpadów zostanie wykorzystany w całości?
5. Jakie ilości ropy obu gatunków trzeba będzie kupić jeżeli cena jednostki przerobowej ropy R1
wzrośnie dwukrotnie?
Zadanie 3
Nowopowstająca sieć marketów ogłosiła przetarg na dostawę wózków. Zamówienie obejmuje wózki dwóch
rodzajów: duże i małe. Firma, która wygrała przetarg zaoferowała cenę za swoje wyroby na poziomie
odpowiednio 150 i 100 złotych. Do wyprodukowania wózków niezbędne są pręty stalowe. Na jeden duży
wózek potrzeba ich 10 kg zaś na mały 8 kg. Zapas prętów poczyniony na poczet zamówienia wynosi 2,5
tony. Drugim niezbędnym surowcem jest tworzywo sztuczne. Zużywa się go 100 dag na wózek duży i 50
dag na mały, a zapas wynosi 200 kg. Kontrakt wymaga, aby dużych wózków było przynajmniej dwa razy
tyle, co małych. Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny przychód przy wynegocjowanych
cenach.
1. Zbuduj model programowania liniowego do powyższego zadania.
2. Podaj wynikające z niego rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu).
3. Czy należy wyprodukować wyłącznie duże wózki?
4. Jaka ilość prętów stalowych pozostanie niewykorzystana?
1z7
Zestaw zadań z Programowania liniowego
Opracował: dr Adam Kucharski
5. Czy zwiększenie zapasu prętów o 1 tonę podniesie przychód maks. o 160 zł?
Zadanie 4
Trener przed zawodami podejmuje decyzję odnośnie zakupu odpowiednich odżywek dla zawodników. Do
wyboru ma dwie: Vitarevival i Komandirskaja. Z uwagi na ograniczone zasoby finansowe, w jakie został
wyposażony, szkoleniowiec musi dążyć do jak najniższych kosztów zakupu. Cena jednego opakowania
Vitarevival wynosi 2 euro, a Komandirskaja 3 euro. Podstawą wyboru jest zawartość trzech składników:
S1, S2 i S3. Ich zawartość w jednym opakowaniu odżywki podaje tabela:
Składnik
S1
S2
S3
Vitarevival
2
1
3
Komandirskaja
2
2
6
Wiadomo, że organizm potrzebuje co najmniej 10 jednostek S1 i co najwyżej 14 jednostek S2 oraz
co najwyżej 18 jednostek S3. Opracować plan zaopatrzenia zawodników minimalizujący łączne koszty
zakupu.
1. Zbuduj model programowania liniowego do powyższego zadania.
2. Podaj wynikające z niego rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu).
3. Czy składnik S1 zostanie dostarczony w minimalnej, wymaganej ilości?
4. Czy składnik S2 zostanie dostarczony w maksymalnej, wymaganej ilości?
5. Czy przy cenie Vitarevival wynoszącej 2,5 zł rozwiązanie optymalne ulegnie zmianie?
Zadanie 5
Warsztat rękodzielniczy przygotowuje na najbliższy kiermasz gliniane dzbany dwóch rodzajów: A i B.
Zysk ze sztuki A wynosi 60 a z 1 sztuki B 50 zł. Do wyrobu produktów używana jest glina, której zapas
wynosi 150 kg. Następnie dzbany malowane są farbą, której warsztat posiada 30 litrów. Jednostkowe
zużycie obu wymienionych surowców zawiera poniższa tabela:
Produkt
Dzban A
Dzban B
Glina [kg/szt.]
1,5
2
Farba [l/szt.]
0,2
0,3
Należy się spodziewać, że dzbanów typu A sprzedanych zostanie co najmniej 20 sztuk.
Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny zysk ze sprzedaży dzbanów (zakładamy, że cała
produkcja zostanie sprzedana).
1. Zbuduj model programowania liniowego do powyższego zadania.
2. Podaj wynikające z niego rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu).
3. Czy limit produkcji dzbanów A zostanie przekroczony?
4. Czy zapas gliny zostanie wykorzystany w całości?
5. Czy wzrost zapasu farby do 50 litrów spowoduje zmianę ceny dualnej?
Zadanie 6
Kierownictwo firmy rozważa rozpoczęcie produkcji dwóch rodzajów (A i B) części do pralek. Przychód ze
sprzedaży liczony jest jako suma kosztów i marży w przeliczeniu na 1 sztukę produktu i nie powinien być
niższy niż 24 tys. zł. Części wytwarzane będą na maszynach, których limit nieprzerwanej pracy wynosi 10
godzin. Struktura zamówień ze strony odbiorców oznacza, że części A należy wyprodukować co najmniej
50 sztuk, zaś części B co najwyżej 120 sztuk. W poniższej tabeli znajdują się wartości kosztów, marży
oraz czasu wytwarzania w przeliczeniu na 1 sztukę danego wyrobu:
Rodzaj części
A
B
Koszt [zł/szt.]
80
90
Marża [zł/szt.]
20
30
2z7
Czas wytw. [min.]
3
2
Zestaw zadań z Programowania liniowego
Opracował: dr Adam Kucharski
Zbudować i rozwiązać liniowy model decyzyjny zapewniający maksymalny przychód z produkcji.
1. Zbuduj model programowania liniowego do powyższego zadania.
2. Podaj wynikające z niego rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu).
3. Czy limit przychodu całkowitego zostanie przekroczony?
4. Czy pozostanie rezerwa niewykorzystanego czasu pracy maszyn?
5. Czy należy produkować część A jeżeli koszt jej wytworzenia wzrośnie do 100 zł?
Zadanie 7
Złotnik otrzymał zamówienie na produkcję biżuterii. Ma zamiar podzielić je na trzy rodzaje produktów:
kolie, brosze i kolczyki. Do produkcji zużywać będzie złoto, srebro i platynę. Limity (zamówienie jest
„na wczoraj” i nie ma czasu na uzupełnienie zapasów surowców) oraz wykorzystanie tychże surowców na
jedną sztukę wyrobu prezentuje tabela:
Złoto
Srebro
Platyna
Zużycie jednostkowe [g]
Kolia Brosza Kolczyki Limity [g]
0,3
0,2
0,3
15
0,2
0,1
0,2
20
0,2
0
0,4
30
Jednostkowy zysk dla kolii wynosi 45 zł, dla broszy 35 zł, a dla kolczyków 50 zł. Złotnika interesuje
osiągnięcie jak najwyższego zysku z całego zamówienia.
1. Zbuduj model programowania liniowego do powyższego zadania.
2. Podaj wynikające z niego rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu).
3. Czy zapas srebra zostanie wykorzystany w całości?
4. Czy należy wyprodukować wszystkie rodzaje biżuterii?
5. O ile wzrośnie zysk maksymalny jeżeli zapas srebra zwiększymy o 10 g?
Zadanie 8
Importer planuje wprowadzenie na rynek herbaty powstającej z mieszanki trzech różnych gatunków tego
krzewu. W przeliczeniu na 1 tonę sprowadzenie herbaty 1-go gatunku kosztuje 250 zł, 2-go gatunku 210
zł a 3-go gatunku 300 zł, przy czym koszt zakupu nie powinien przekroczyć 8000 zł. Herbata musi przejść
obróbkę w specjalnych komorach oraz charakteryzować się określoną zawartością garbników. Czas obróbki
i zawartość garbników w zależności od gatunku podaje tabela:
Herbata 1
30
15
Czas w komorze [min]
Zawartość garbnika [mg/100g]
Herbata 2
60
14
Herbata 3
60
20
Dostępny czas pracy komory wynosi 200 godzin. Walory smakowe wymagają, aby garbnika w mieszance
znalazło się co najmniej 350 mg/100g. Opracować plan zakupu poszczególnych gatunków zapewniający
minimum kosztów.
1. Zbuduj model programowania liniowego do powyższego zadania.
2. Podaj wynikające z niego rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu).
3. Czy należy kupić wszystkie gatunki herbaty?
4. Czy faktycznie poniesione koszty zakupu będą niższe od zakładanych o 2750 zł?
5. Czy przy cenie herbaty 1 wynoszącej 300 zł rozwiązanie optymalne ulegnie zmianie?
3z7
Zestaw zadań z Programowania liniowego
Opracował: dr Adam Kucharski
Zadanie 9
Zbudować plan produkcji maksymalizujący przychód ze sprzedaży trzech produktów A, B, C (zakładamy,
że cała produkcja zostanie sprzedana). Przychód jednostkowy obliczany jest jako suma kosztów produkcji
pojedynczego produktu oraz nakładanej marży. W procesie produkcji kluczowe znaczenie mają 2 surowce
U1 i U2 oraz dostępny czas pracy maszyn. Jednostkowe wartości kosztów, marży, czasu pracy i zużycia
surowców podaje tabela:
Produkt
A
B
C
Koszt (zł )
11
8
15
Marża (zł )
3
2
2
U1 (kg)
8
2
5
U2 (l )
5
5
5
Czas (min)
5
10
6
Zapas surowca U1 wynosi 3,4 t zaś U2: 20 hl. Dostępny limit czasu dla maszyn wynosi 50 godzin nieprzerwanej pracy.
1. Zbuduj model programowania liniowego do powyższego zadania.
2. Podaj wynikające z niego rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu).
3. Czy wykorzystane zostanie 2000 kg surowca U1?
4. Czy dostępny czas pracy będzie wykorzystany w całości?
5. Czy przy wzroście zapasu U2 o 10 hl, optymalny zysk wzrośnie o 1000 zł?
Zadanie 10
Inwestora interesują trzy przylegające do siebie działki, pierwsza o pow. 510 m2 , druga 550 m2 a trzecia
530 m2 . Firma planuje wykupić łącznie co najmniej 1000 m2 terenu. Negocjacje prowadzono oddzielnie
z poszczególnymi właścicielami. Zaoferowano ceny za 1 m2 wynoszące dla odpowiednich działek: 200,
180, 170 zł, przy czym możliwe jest wykupienie po tej cenie tylko części danej działki. Opracować plan
wykupienia stosownej powierzchni tak, aby łączny koszt zakupu był jak najmniejszy.
1. Zbuduj model programowania liniowego do powyższego zadania.
2. Podaj wynikające z niego rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu).
3. Czy konieczny jest zakup wszystkich działek?
4. Czy zostanie wykupione 480 m2 działki 2?
5. Czy przy cenie równej 250 zł/m2 trzeciej działki, inwestor wykupi tę działkę w całości?
Zadanie 11
Zakład mechaniczny „MECHANIK” otrzymał zamówienia na wykonanie kół zębatych, drążków sterowniczych, kół zamachowych. Zakład ten składa się z trzech oddziałów: frezarni, tokarni, montowni. Czas
(w godzinach) potrzebny tym działom na wykonanie poszczególnych wyrobów zawiera tabela:
Frezarnia
Tokarnia
Montownia
Koła zębate
1
2
1
Drążki sterownicze
5
2
1
Koła zamachowe
4
3
2
Maksymalny czas pracy dla oddziałów to: 200 godzin dla frezarni i tokarni i 300 godzin dla montowni.
Wiedząc, że jednostkowy zysk na kołach zębatych wynosi 10 zł, na drążkach 20zł, a na kołach zamachowych 18 zł należy wyznaczyć taki plan produkcji, aby zysk osiągany przez warsztat był maksymalny.
1. Zbuduj model programowania liniowego do powyższego zadania.
2. Podaj wynikające z niego rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu).
3. Czy czas pracy montowni zostanie wykorzystany w całości?
4z7
Zestaw zadań z Programowania liniowego
Opracował: dr Adam Kucharski
4. Czy któraś z części nie powinna być produkowana?
5. Jak zwiększenie czasu pracy frezarni o 100 godzin wpłynie na zysk maksymalny?
Zadanie 12
Otwarto nową fabrykę zajmującą się montażem telewizorów. Podstawowy asortyment produkcji stanowią
telewizory 32 i 36 oraz 42 calowe. Jednostkowy zysk ze sprzedaży oraz czas pracy specjalistycznej linii
montażowej (mającej kluczowe znaczenie dla produkcji) podaje tabela:
Czas pracy [min]
Zysk z 1 szt. [zł]
Telewizor 32 cale
30
250
Telewizor 36 cali
60
400
Telewizor 42 cale
45
500
Limit pracy linii montażowej to 8000 godzin. Zarząd oczekuje, że zysk ze sprzedaży w analizowanym
okresie nie spadnie poniżej 100 000 zł. Z analiz rynku wynika, że udział telewizorów 32 calowych powinien
wynieść przynajmniej 20% ogólnej wielkości produkcji, lecz tego modelu należy wytworzyć nie więcej niż
1000 sztuk. Z uwagi na wcześniejsze zamówienia należy wyprodukować co najmniej 500 szt. odbiorników
36 calowych. Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny zysk ze sprzedaży (zakładamy, że
sprzedana zostanie cała produkcja).
1. Zbuduj model programowania liniowego do powyższego zadania.
2. Podaj wynikające z niego rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu).
3. Czy należy produkować wszystkie typy telewizorów?
4. Czy udział produkcji odbiorników 32 cal. wyniesie 20%?
5. Czy przy zysku z telewizorów 42 cal. równym 500 zł struktura produkcji ulegnie zmianie?
Zadanie 13
Poniżej znajduje się model decyzyjny dla pewnego zadania optymalizacyjnego:
XA – liczba zamontowanych elementów typu A [szt.]
XB – liczba zamontowanych elementów typu B [szt.]
f (x) = 5XA + 6XB → min
(czas montażu [sek.])
5XA + 6XB 6 28800
XA > 1000
XA − 2XB > 0
0,1XA + 0,15XB 6 100
XA > 0, XB > 0
(czas montażu [sek.])
(wielkość produkcji A [szt.])
(proporcja A do B [szt.])
(zużycie wody [l])
1. Podaj wynikające z niego rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu).
2. Czy należy montować obie części?
3. Czy woda zostanie zużyta w maksymalnej dopuszczalnej ilości?
4. Ile wyniesie minimalny czas montażu?
5z7
Zestaw zadań z Programowania liniowego
Rozwiązania zadań
Zadanie 1
Opracował: dr Adam Kucharski
Zadanie 6
100A + 120B → max
XA + 3XB → max
Przychód: 100A + 120B > 24000
Stal: XA + 2XB 6 20000
Czas:
2XA + XB 6 18000
Min A:
A > 80
Max B:
B 6 120
Drewno:
Ruda: 2XA + 2XB > 10000
XA > 0, XB > 0
opt
XA
=
opt
0, XB
A > 0, B > 0
= 10000, fmax = 30000
Zadanie 2
A
opt
= 120, B opt = 120, fmax = 26400
Zadanie 7
7R1 + 14R2 → min
45X1 + 35X2 + 50X3 → max
16R1 + 48R2 > 48000
Benzyna:
Złoto:
Olej: 20R1 + 10R2 > 20000
Platyna:
R1 > 0, R2 > 0
R1opt
=
600, R2opt
0,2X1 + 0,4X3 6 30
X1 > 0, X2 > 0, X3 > 0
X1opt
= 800, fmin = 15400
Zadanie 3
0,3X1 + 0,2X2 + 0,3X3 6 15
Srebro: 0,2X1 + 0,1X2 + 0,2X3 6 20
Odpady: 24R1 + 14R2 6 76000
= 0, X2opt = 75, X3opt = 0, fmax = 2625
Zadanie 8
150WD + 100WM → max
Pręty:
250X1 + 210X2 + 300X3 → min
10WD + 8WM 6 2500
Koszt:
Tworzywo: WD + 0,5WM 6 200
Czas:
Proporcja: WD − 2WM > 0
opt
WD
opt
160, WM
=
0,5X1 + X2 + X3 6 200
X1 > 0, X2 > 0, X3 > 0
X1opt
= 80, fmax = 32000
Zadanie 4
250X1 + 210X2 + 300X3 6 8000
Garbnik: 15X1 + 14X2 + 20X3 > 350
WD > 0, WM > 0
= 0, X2opt = 0, X3opt = 17,5, fmin = 5250
Zadanie 9
2V + 3K → min
14XA + 10XB + 17XC → max
S1: 2V + 2K > 10
U1:
8XA + 2XB + 5XC 6 3400
S2: V + 2K 6 14
U2:
5XA + 5XB + 5XC 6 2000
S3: 3V + 6K 6 18
5XA + 10XB + 6XC 6 3000
Czas:
V > 0, K > 0
V
opt
= 5, K
opt
XA > 0, XB > 0, XC > 0
= 0, fmin = 10
Zadanie 5
opt
XA
opt
= 0, XB
= 0, XCopt = 400, fmax = 6800
Zadanie 10
60A + 50B → max
Glina: 1,5A + 2B 6 150
200X1 + 180X2 + 170X3 → min
Pow.:
Farba: 0,2A + 0,3B 6 30
Min A:
A
3A + 2B 6 600
opt
X1 + X2 + X3 > 1000
Dz1:
X1 6 510
A > 20
Dz2:
X2 6 550
A > 0, B > 0
Dz3:
X3 6 530
= 100, B
opt
= 0, fmax = 6000
X1 > 0, X2 > 0, X3 > 0
X1opt
6z7
= 0, X2opt = 470, X3opt = 530, fmin = 174700
Zestaw zadań z Programowania liniowego
Opracował: dr Adam Kucharski
Zadanie 11
10X1 + 20X2 + 18X3 → max
Frezarnia: X1 + 5X2 + 4X3 6 200
Tokarnia:
Montownia:
2X1 + 2X2 + 3X3 6 200
X1 + X2 + 2X3 6 300
X1 > 0, X2 > 0, X3 > 0
X1opt
= 75, X2opt = 25, X3opt = 0, fmax = 1250
Zadanie 12
250T32 + 400T36 + 500T42 → max
Zysk: 250T32 + 400T36 + 500T42 > 100000
Czas:
0,5T32 + T36 + 0,75T42 6 8000
Udział T32 : 0,8T32 − 0,2T36 − 0,2T42 > 0
Limit T32 : T32 6 1000
Limit T36 : T36 > 500
T32 > 0, T36 > 0, T42 > 0
opt
T32
opt
opt
= 1000, T36
= 500, T42
= 3500, fmax = 2200000
Zadanie 13
opt
opt
XA
= 1000, XB
= 0, fmin = 5000
7z7