Modelowanie kognitywne systemów i maszyn

Transkrypt

MODELOWANIE KOGNITYWNE SYSTEMÓW I MASZYN
ALEKSANDER JASTRIEBOW, GRZEGORZ SŁOē
Streszczenie
Modele komputerowe obiektów technicznych i maszyn są zawsze w pewnym sensie wirtualne. Sposoby przedstawiania takich modeli zaleĪą od informacji posiadanej
przy ich budowie. W artykule przedstawiono kognitywne podejĞcie do modelowania
obiektów, ich stanów oraz dynamiki opisujące zmiany stanu. Takie podejĞcie moĪe
byü stosowane np. przy modelowaniu, diagnostyce, podejmowaniu decyzji, identyfikacji (w pewnym sensie) i innych dziedzinach nauki i techniki.
Opisywane i analizowane w pracy modele noszą nazwĊ map kognitywnych. Są
one realizowane na róĪnych poziomach pewnoĞci posiadanej informacji (np. mapy
kognitywne deterministyczne, rozmyte i inne). Na wybranych przykładach przytoczono pewne wyniki analizy takich modeli o róĪnych stopniach pełnoĞci i pewnoĞci informacji lub wiedzy.
Słowa kluczowe: mapa kognitywna, modelowanie, analiza symulacyjna
1. WstĊp
PracĊ poĞwiĊcono analizie symulacyjnej wybranych dynamicznych modeli rozmytych
relacyjnych map kognitywnych. W [2–10] okreĞlono pewną historiĊ wprowadzenia róĪnych modeli
map kognitywnych (znakowych, iloĞciowych, rozmytych, jednokierunkowych, relacyjnych
iinnych), które zwykle stosowano dla modelowania słabostrukturalnych systemów
informatycznych
(decyzyjnych,
sterowania,
multiagendowych,
geoinformacyjnych,
ekonomicznych). W pracy, w zaleĪnoĞci od informacji, opisano róĪnego typu struktury
(dynamiczne i statyczne), które realizują odpowiednie relacje pomiĊdzy czynnikami, okreĞlającymi
topologiĊ map. Przy tym dynamiczne modele kognitywne odwzorowują, w zaleĪnoĞci od typu
wstĊpnej informacji o czynnikach oraz ich relacjach (ostre lub rozmyte), dokładne lub przybliĪone
powiązania..
Przy dokładnej realizacji relacji powiązaĔ pomiĊdzy czynnikami, model dynamiczny opisuje
siĊ za pomocą zwykłych nieliniowych równaĔ róĪnicowych, w których wartoĞci zmiennych oraz
parametrów są ograniczone do przedziałów [0, 1] lub [-1, 1]. Przy niepełnej informacji
opowiązaniach relacje pomiĊdzy czynnikami i ich wpływami moĪna opisaü pewnymi relacyjnymi
równaniami róĪnicowymi, które wprowadzono w nastĊpnym rozdziale.
79
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management
Nr 47, 2011
2. Synteza map kognitywnych
Mapami kognitywnymi bĊdziemy nazywali pewne modele matematyczno – informatyczne,
przeznaczone do formalizacji badanego problemu złoĪonego systemu, w postaci zbioru czynników
odwzorowujących zmienne (cechy) systemowe oraz relacje przyczynowo – skutkowe miĊdzy nimi
z uwzglĊdnieniem oddziaływaĔ wzajemnych oraz zmian charakteru relacji [2–8]. Zgodnie
zpowyĪszą definicją, mapy kognitywne moĪna przedstawiü w postaci nastĊpującej pary zbiorów:
(1)
<X, R>
gdzie: X = [X1, ..., XN] – zbiór czynników mapy (wektor stanu), R = {Rij} – macierz relacji pomiĊdzy czynnikami Xi i Xj (i,j = 1, ..., N).
Macierz R moĪe przybieraü róĪne formy:
– współczynników liczbowych rij z przedziału [0, 1] lub [-1, 1] (relacje ostre),
– rozmytych relacji Rij z odpowiednimi funkcjami przynaleĪnoĞci i zakresem zbioru noĞnika.
Dynamiczne i statyczne relacje pomiĊdzy Xi i Xj opisują nastĊpujące podstawowe modele (2)-(6):
A) Model ostry
– dynamiczny
§ N
·
X j (t + 1) = f j ¨¨ ¦ rij X i (t ) + X j (t ) ¸¸
© i =1
¹
(2)
§ N
·
X j = f j ¨¨ ¦ rij X i ¸¸
© i =1
¹
(3)
– statyczny
gdzie:
f j ( x) =
1
1+ e
−λ j x
lub f j ( x) =
1− e
−λ j x
1+ e
−λ j x
1 dla x > 1
°
lub f j ( x) = ® x dla |x| ≤ 1 , Ȝj > 0,
°-1 dla x < -1
¯
j = 1, ..., N
(4)
B) Model rozmyty
– dynamiczny
X k (t + 1) = X k (t )
N
⊕[( X (t )
X i (t − 1)) $ Ri ,k ]
i
i =1
– statyczny
Xk =
(5)
N
⊕ ( X (t ) $ R
i
i,k
)
i =1
gdzie:
k – numer rozpatrywanego czynnika wyjĞciowego (k = 1, ..., N),
(6)
80
Aleksander Jastriebow, Grzegorz SłoĔ
t
N
Ri,k
ƕ
–
–
–
–
–
–
czas dyskretny,
liczba czynników,
operacja sumowania rozmytego,
operacja odejmowania rozmytego,
pojedyncza rozmyta relacja pomiĊdzy rozmytymi czynnikami o numerach i oraz k,
operacja maksyminowej kompozycji rozmytej.
Uwagi:
1. Modele dynamiczne rozmytych relacyjnych map kognitywnych, opisanych równaniami (2), (4)
lub (5) realizują nastĊpujące zasady działania:
– odwzorowanie asocjacyjne (Xj ļ Xi),
– sprzĊĪenie zwrotne,
– strukturalizacja obszarów czynników mapy.
2. WartoĞci czynników oraz współczynników lub relacji w modelu (2)–(4), (5)–(6) okreĞlono na
podstawie wiedzy ekspertowej z moĪliwoĞcią „douczenia” (adaptacji) przy zmianie warunków
pracy obiektu.
3. Podobne modele powiązaĔ miĊdzy czynnikami mogą byü zapisane i dla innych (mieszanych)
typów modeli. Modele takie mogą byü włączone do jednego z głównych typów (A lub B) (przy
uwzglĊdnieniu procedur odpowiednio – rozmywania lub wyostrzania).
W nastĊpnym rozdziale zostaną przedstawione wyniki analizy modeli dynamicznych (2), (4) oraz
(5) dla wybranych przykładów.
3. Wybrane wyniki analizy symulacyjnej
PoniĪej przedstawiono wyniki syntezy i analizy symulacyjnej monitorowania zmiany stanów
wybranych urządzeĔ i systemów.
3.1. Model ostry
Podstawą modelowania dynamicznego procesu monitorowania były mapy kognitywne,
charakteryzujące relacje pomiĊdzy czynnikami zgodnie z zaleĪnoĞciami (2) i (4).
Przykładowa ostra mapa kognitywna opisująca pewien problem ekonomiczny [1] została
zsyntetyzowana w postaci struktury pokazanej na rys. 1.
81
Nr 47, 2011
Rysunek 1. Schemat ostrej mapy kognitywnej
(N = 7, niezaznaczone współczynniki rij mają wartoĞü zerową)
ħródło: Opracowanie własne.
Uwaga:
Wybór czynników wejĞciowych i wyjĞciowych zaleĪy od eksperta. W niniejszym przykładzie
WielkoĞci wejĞciowe są opisane przez zmienne X1–X5 oraz X7, natomiast wielkoĞü wyjĞciowa –
przez zmienną X6.
Ocena przydatnoĞci mapy kognitywnej do monitorowania takiego systemu sprowadza siĊ
właĞciwie do odpowiedzi na pytanie: czy i po jakim czasie (po ilu krokach próbkowania) od
zmiany wybranych parametrów wejĞciowych moĪliwe jest uzyskanie nowego stanu ustalonego
parametru wyjĞciowego. OdpowiedĨ analityczna moĪe byü trudna, poniewaĪ w złoĪonych
systemach technicznych poszczególne czynniki nie tylko podlegają zmianom wymuszonym, ale
równieĪ oddziałują na siebie wzajemnie. PoniĪej przedstawiono wyniki analizy symulacyjnej dla
róĪnych wartoĞci początkowych.
W zestawiono losowo dobrane wartoĞci składników macierzy r (macierzy współczynników
relacji pomiĊdzy czynnikami).
Tabela 1. Macierz współczynników relacji r
r
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X1
0
0,5
-0,55
-0,17
0
-0,33
0,49
X2
-0,31
0
0
0
0,31
-0,71
0
X3
-0,26
-0,82
0
-0,27
0
0
-0,02
X4
-0,4
0
0
0
-0,8
-0,36
0
X5
0
-0,17
0
0,41
0
0
0
X6
0
0
0
0
0
0
X7
0,13
0
0,77
0,13
0
0
0
82
Podstawą modelowania dynamicznego procesu monitorowania były zaleĪnoĞci pomiĊdzy
czynnikami zgodne z (2) i (4). Dla uproszczenia wnioskowania wybrano funkcje fi o charakterze
sigmoidalnym ze współczynnikami Ȝj równymi 1.
Na ƌys. 2. i rys. 3. przedstawiono przebiegi wartoĞci czynników w kolejnych krokach
próbkowania dla zerowych wartoĞci początkowych.
Rysunek 2. Przebiegi wartoĞci czynników wejĞciowych X1 – X5 i X7
w kolejnych krokach próbkowania dla zerowych wartoĞci początkowych
Rysunek 3. Przebiegi wartoĞci czynnika wyjĞciowego X6 w kolejnych krokach próbkowania
dla zerowych wartoĞci początkowych
Na rys. 3 przedstawiono przebiegi zaleĪnoĞci wartoĞci wielkoĞci wyjĞciowej (X6) od zmian
poszczególnych wielkoĞci wejĞciowych.
83
Nr 47, 2011
Rysunek 4. ZaleĪnoĞü wartoĞci wielkoĞci wyjĞciowej (X6) od zmian poszczególnych wielkoĞci
wejĞciowych dla zerowych wartoĞci początkowych
Z ƌys. 2–4oraz z innych badaĔ, przeprowadzonych dla róĪnych charakterów tablicy r, wynika,
Īe zastosowanie mapy kognitywnej typu (2), (4) zawsze prowadzi do ustalenia siĊ sygnału
wyjĞciowego, niezaleĪnie od wartoĞci współczynników relacji czy wartoĞci początkowych
poszczególnych czynników monitorowanego systemu. Co wiĊcej odbywa siĊ to wprosty sposób,
bez koniecznoĞci uciekania siĊ do stosowania zawiłych i czasochłonnych metod analizy modeli
matematycznych. Wynika stąd, Īe mapa kognitywna dla modelu z przykładu 1 jest dobrą podstawą
do konstruowania np. systemów monitorujących.
3.2. Model rozmyty
Graficzną reprezentacjĊ przykładowej relacyjnej rozmytej mapy kognitywnej, obejmującej
relacje pomiĊdzy siedmioma czynnikami, przedstawiono na rys. 5. ChociaĪ w ogólnym ujĊciu nie
jest to konieczne, w przykładzie ǌ rys. 5. wyróĪniono czynniki powiązane zsygnałami
wejĞciowymi (X1 – X4) oraz wyjĞciowymi (X5 – X7). Takie podejĞcie jest związane
zmonitorowaniem diagnostycznym. Wprowadzenie do mapy z rys. 5. rozmytych zaleĪnoĞci
(relacji) pomiĊdzy czynnikami moĪna dokonaü róĪnymi metodami, kaĪda z nich jednak opieraü siĊ
bĊdzie na wstĊpnej ekspertowej wiedzy o sile poszczególnych oddziaływaĔ. Dopiero dalsze kroki
zaleĪą od przyjĊtego modelu rozmywania relacji. Istotne jest przy tym dokonanie wstĊpnej
(bezwymiarowej) normalizacji badanych sygnałów, co znacznie ułatwia tworzenie procedur
wnioskowania. Dalsze rozmycie systemu wnioskującego uzyskuje siĊ dziĊki dodatkowemu
rozmyciu samych sygnałów. W takim modelu przetwarzanie danych w całoĞci opiera siĊ na logice
rozmytej, a wnioski koĔcowe są uzyskiwane w drodze wyostrzenia.
84
Rysunek 5. Przykładowa mapa kognitywna (N = 7)
PoniĪej przedstawiono kolejne kroki algorytmu modelowania dynamiki mapy kognitywnej
zgodnie ze schematem z rys. 6.
Rysunek 6. Schemat blokowy dynamiki modelu mapy kognitywnej z Rys. 5. NadkreĞlenie oznacza
wartoĞü rzeczywistą danej wielkoĞci, brak nakreĞlenia – wartoĞü rozmytą
a) rozmycie sygnałów wejĞciowych
Pierwotną formą wartoĞci chwilowej kaĪdego sygnału wejĞciowego jest forma ostra, wyraĪona
liczbą rzeczywistą. Dla celów monitorowania liczba ta jest poddawana normalizacji bezwymiarowej (w dziedzinie [0, 1]), a nastĊpnie rozmyciu (np. wg gausoidalnej funkcji przynaleĪnoĞci) wokół
centrum na okreĞlonym noĞniku (universum). W rozpatrywanym przykładzie noĞnik ma zakres od
–1 do 2 (uwzglĊdnienie symetrii sygnału rozmytego). Przykładowy przebieg funkcji przynaleĪnoĞci dla okreĞlonej wartoĞci chwilowej sygnału wejĞciowego przedstawiono na rys. 7. Podobną ope-
85
Nr 47, 2011
racjĊ wykonuje siĊ wobec wszystkich sygnałów wejĞciowych.
Rysunek 7. Przykładowy kształt jednego z sygnałów wejĞciowych (po rozmyciu gausoidalnym)
o wartoĞci chwilowej równej 0,36 (po normalizacji bezwymiarowej do przedziału [0, 1])
b) budowa relacji rozmytych
Relacje rozmyte pomiĊdzy sygnałami wejĞciowymi i wyjĞciowymi mają charakter kompozycji
maksyminowej. Z tego powodu konstruując relacje naleĪy uwzglĊdniü nie tylko sam jej charakter,
ale takĪe zasiĊg noĞnika, który powinien byü taki sam, jak dla sygnałów wejĞciowych (zarówno
pod wzglĊdem zakresu wartoĞci, jak i szerokoĞci kroku próbkowania). Sam kształt relacji moĪna
dobieraü według róĪnych wzorców. W rozpatrywanym przykładzie zastosowano ciąg funkcji gausoidalnych o charakterze podobnym, jak przy rozmywaniu sygnałów wejĞciowych. PołoĪenie centrów poszczególnych ciągów funkcyjnych jest uzaleĪnione od siły oddziaływaĔ pomiĊdzy danym
sygnałem wejĞciowym i wyjĞciowym (wiedza ekspertowa). W przykładzie zastosowano siły oddziaływaĔ zestawione w Tabela 2.
Tabela 2. Siły oddziaływaĔ pomiĊdzy czynnikami badanej mapy kognitywnej
Wy
X5
X6
X7
X1
0,4
0
0
X2
0,6
0,4
0
X3
0
0,4
0
X4
0
0
1
We
Liczby z Tabela 2. są wartoĞciami odniesienia do konstruowania poszczególnych relacji
rozmytych (patrz rys. 15).
86
Przykładowy kształt pojedynczej relacji rozmytej, wykorzystującej zespół gausoidalnych
funkcji przynaleĪnoĞci przedstawiono na rys. 8.
Rysunek 8. Gausoidalna rozmyta relacja R1,5 pomiĊdzy dwoma czynnikami (X1 i X5)
c) realizacja modelu dynamicznego
ZaleĪnoĞci (7)–(9) okreĞlają dynamikĊ relacyjnych powiązaĔ pomiĊdzy sygnałami
wejĞciowymi X1 – X4, a wyjĞciowymi X5 – X7 (róĪnicowe równania relacyjne).
4
X 5 (t + 1) = X 5 (t )
⊕ [( X (t )
X 6 (t + 1) = X 6 (t )
⊕ [( X (t )
X 7 (t + 1) = X 7 (t )
⊕ [( X (t )
i =1
i
4
i =1
i
4
i =1
i
X i (t − 1)) $ Ri ,5 ]
(7)
X i (t − 1)) $ Ri , 6 ]
(8)
X i (t − 1)) $ Ri , 7 ]
(9)
d) wyostrzenie sygnałów wyjĞciowych
Rozmyte sygnały wyjĞciowe, wyznaczone zaleĪnoĞciami(7)–(9), poddaje siĊ wyostrzaniu
metodą centrum [2], co pozwala na uzyskanie ich ostrych wartoĞci chwilowych.
PoniĪej zamieszczono graficzne przedstawienie realizacji punktów a) – d), zgodnie ze
schematem zrys. 6.
87
Nr 47, 2011
Rys. 9 przedstawia zbiorcze zestawienie przebiegów wartoĞci chwilowych sygnałów
wejĞciowych (X1 – X4) po wstĊpnej normalizacji do zakresu wartoĞci [0, 1]. Na potrzeby analizy
symulacyjnej poszczególne przebiegi narzucono zachowując ich zróĪnicowany charakter.
Rysunek 9. Przebiegi czasowe wartoĞci sygnałów wejĞciowych (X1 – X4)
WartoĞci chwilowe sygnałów wejĞciowych, przedstawione na rys. 9, poddawano rozmyciu
zwykorzystaniem gausoidalnej funkcji przynaleĪnoĞci o postaci (10):
fg = e
§ ( u −c ) ·
−¨
¸
© σ ¹
2
(10)
gdzie: fg – funkcja przynaleĪnoĞci, u – argument, c – centrum funkcji fg, ı – współczynnik szerokoĞci funkcji.
PoniewaĪ zakres normalizacji (podstawowy zakres rozmywania) zawiera siĊ w granicach
[0, 1], dla zachowania symetrii sygnałów po rozmyciu zastosowano noĞnik o zakresie [–1, 2].
Przebiegi rozmyte sygnałów wejĞciowych, uzyskane ww. metodČ, przedstawia rys. 10.
Rozmyte tablice relacji opracowano opierając siĊ na współczynnikach z Tabela 2, posługując
siĊ ciągami funkcji o postaci (10).W efekcie uzyskano dwanaĞcie tablic o charakterze jak na rys. 8.
NastĊpnie, posługując sie zaleĪnoĞciami (7)–(9), wyznaczono rozmyte wartoĞci chwilowe
wielkoĞci wyjĞciowych (X5 – X7). Przebiegi te pokazano na rys. 1ϭ.
88
Rysunek 10. Przebiegi rozmyte sygnałów wejĞciowych (X1 – X4)
Rysunek 8. Przebiegi rozmyte sygnałów wyjĞciowych (X5 – X7)
Ostatnim etapem obliczeĔ było wyostrzanie rozmytych wartoĞci przebiegów wyjĞciowych.
Przeprowadzano to metodą centrum, a uzyskane wyniki przedstawiono na rys. 12.
89
Nr 47, 2011
Rysunek 12. Przebiegi czasowe wartoĞci sygnałów wyjĞciowych (X5 – X6)
Dla zilustrowania poprawnoĞci działania metody, na rys. 13 przedstawiono trzy zestawienia
zmian wartoĞci sygnałów wejĞciowych i zmian wartoĞci zaleĪnych od nich sygnałów wyjĞciowych.
Rysunek 13. Porównanie przebiegów sygnałów wejĞciowych (górne)
i zaleĪnych od nich sygnałów wyjĞciowych (dolne)
4. Podsumowanie
Przedstawiono modele struktur statycznych i dynamicznych map kognitywnych. Opisano
algorytm budowy map kognitywnych jako narzĊdzia modelowania. Na konkretnych przykładach
dokonano analizy symulacyjnej dynamicznych modeli ostrych i rozmytych relacyjnych map
kognitywnych, z której wynika, Īe opracowane struktury dokładnie odwzorowują stany równowagi
oraz ich stabilnoĞü przy róĪnych wyborach współczynników relacji. Z analizy dodatkowo wynika,
Īe podobne struktury mogą byü stosowane w systemach decyzyjnych (np. w monitorowaniu
układów technicznych).
90
Bibliografia
1. Andriejczykow A. B., Andriejczykowa O. N., Inteligentne informacyjne systemy. Wyd. Finanse i Statystyka, Moskwa 2004 (w jĊzyku rosyjskim).
2. Borisow W. W., Krugłow W. W., Fiedułow A. C. Rozmyte modele i sieci. Wyd. Telekom,
Moskwa 2007 (w j. rosyjskim).
3. Jastriebow A., SłoĔ G., Modelowanie słabostrukturalnych systemów logistycznych oparte na
rozmytych relacyjnych mapach kognitywnych. Logistyka nr 2/2010, PoznaĔ 2010: (wersja
elektroniczna).
4. Jastriebow A., SłoĔ G., Obliczenia ziarniste w modelowaniu nieprecyzyjnych obiektów przy
uĪyciu relacyjnych rozmytych map kognitywnych. Pomiary, Automatyka, Kontrola vol. 56 nr
12/2010: s. 1449–1452.
5. Jastriebow A., SłoĔ G., Synteza i analiza obliczeniowa modeli inteligentnych opartych na
mapach kognitywnych – czĊĞü I. Synteza. W: Jastriebow A. (red.) Informatyka w dobie XXI
wieku. Technologie informatyczne i ich zastosowania. Wyd. Naukowe Instytutu Technologii
Eksploatacyjnej – PaĔstwowego Instytutu Badawczego, Radom 2010: s. 67–76.
6. Jastriebow A., SłoĔ G., Synteza i analiza obliczeniowa modeli inteligentnych opartych na
mapach kognitywnych – czĊĞü II. Analiza. W: Jastriebow A. (red.) Informatyka w dobie XXI
wieku. Technologie informatyczne i ich zastosowania. Wyd. Naukowe Instytutu Technologii
Eksploatacyjnej – PaĔstwowego Instytutu Badawczego, Radom 2010: s. 77–86.
7. Jastriebow A., SłoĔ G., ZiarnistoĞü informacji w dynamicznych modelach rozmytych relacyjnych map kognitywnych. Logistyka nr 6/2010, PoznaĔ 2010: (wersja elektroniczna).
8. Kosko B. Fuzzy cognitive maps. Int. Journal of Man-Machine Studies, Vol. 24. pp. 65–75,
1986.
9. SłoĔ G., Adaptacja relacji w dynamicznych rozmytych relacyjnych mapach kognitywnych.
Logistyka nr 6/2010, PoznaĔ 2010: (wersja elektroniczna).
10. SłoĔ G., Analiza wybranych algorytmów adaptacji relacji w rozmytych mapach kognitywnych. Pomiary, Automatyka, Kontrola vol. 56 nr 12/2010, s. 1445–1448.
91
Nr 47, 2011
COGNITIVE MODELING SYSTEMS AND MACHINES
Summary
Computer models of technical objects and machines are always in certain sense
virtual. Methods of presentation such models depend on the information possessed
during building of them. In the article cognitive approach to objects modeling, their
states and dynamics which describes changes of states is presented. Such an approach can be used e.g. for the modeling, diagnostics, making decisions, identification (in certain sense) and other disciplines of science and technology.
Models described and analyzed in the work are called cognitive maps. They are
realized on different levels of certainty of possessed information (e.g. deterministic
cognitive maps, fuzzy cognitive maps and others). On selected examples certain results of the analysis of such models for different degrees of the information (or
knowledge) completeness and certainty are quoted.
Keywords: cognitive map, modeling, simulation analysis
Aleksander Jastriebow
Katedra ZastosowaĔ Informatyki
Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki
Politechnika ĝwiĊtokrzyska
al. Tysiąclecia PaĔstwa Polskiego 7, 25-314 Kielce
e-mail: [email protected];
Katedra Infomatyki
Wydział Nauczycielski
Politechnika Radomska
ul. Malczewskiego 29, 26-600 Radom
Grzegorz SłoĔ
Katedra ZastosowaĔ Informatyki
Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki
Politechnika ĝwiĊtokrzyska
al. Tysiąclecia PaĔstwa Polskiego 7, 25-314 Kielce
e-mail: [email protected]

Modelowanie kognitywne systemów i maszyn

Transkrypt

Podobne dokumenty

Formularz adiunkt IISI

ESI 8 - Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

UE - Wydział Transportu Politechniki Warszawskiej

Wzory rysunków Laserowe urządzenie będzie słuyło do

Wjazd do garażu – obsługa instalacji dzwonkowej

Zaświadczenie o wynagrodzeniu i zatrudnieniu

Blacha trapezowa Termoizolacja - wełna

Rozwiązać podaną ramę (wykresy M Q N ) HB 30 3 20 20 C 20 3 x