PRM. Praca w centralnym polu grawitacyjnym.
Transkrypt
PRM. Praca w centralnym polu grawitacyjnym.
Praca w centralnym polu grawitacyjnym dr inż. Romuald Kędzierski Przypomnienie Jeżeli na ciało działa stała co do wartości, kierunku i zwrotu siła oraz rozpatrywane ciało przemieszcza się po torze prostoliniowym, to wartość pracy wykonanej przez taką siłę podczas przemieszczenia się ciała, wyraża zależność: Uwaga: Jeżeli w powyższym założeniu dopuścimy zmiany wartości siły, to wartość pracy wykonanej przez tę siłę można obliczyć z zależności: Sposób obliczenia średniej wartości siły w szczególnych przypadkach 1. wartość siły jest proporcjonalna lub wprost proporcjonalna do odległości od ciała będącego źródłem tej siły - współczynniki o stałych wartościach Wartość średnia siły jest równa średniej arytmetycznej wartości sił działających na ciało w jego skrajnych położeniach Przykład: siła sprężystości Sposób obliczenia średniej wartości siły w szczególnych przypadkach 2. wartość siły jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu wartości odległości od ciała będącego źródłem tej siły Wartość średnia siły jest wtedy tzw. średnią geometryczną liczoną z wartości sił działających na ciało w jego skrajnych położeniach Uwaga: Średnia geometryczna dla n liczb dodatnich jest liczbą daną zależnością: Zatem: Przykład: siła grawitacji Praca wykonana podczas przeniesienia ciała z jednego miejsca do innego w centralnym polu grawitacyjnym Założenia wyjściowe: źródłem centralnego pola grawitacyjnego jest jednorodna kula (ciało niebieskie) o masie M i promieniu R, ciało o masie m zostało przeniesione z punktu 1 do punktu 2, przy czym: w położeniach skrajnych energia kinetyczna przenoszonego ciała (liczona względem ciała będącego źródłem pola grawitacyjnego) była taka sama: punkty 1 i 2 leżą na kierunku linii sił centralnego pola grawitacyjnego, oraz: podczas przenoszenia ciała siła grawitacji była równoważona przez siłę zewnętrzną: Problem: Jak można obliczyć wartość pracy wykonanej przez siłę zewnętrzną, podczas przeniesienia ciała o masie m z punktu 1 do punktu 2? Gdzie: Ponadto: Stąd: Ponieważ, przy braku sił oporów ruchu: oraz: Uwagi i wnioski: 1. Jeżeli podczas przenoszenia ciała w polu grawitacyjnym nie uległa zmianie wartość jego energii kinetycznej oraz nie było sił oporów ruchu (poza siłą grawitacji), to: wartość pracy siły zewnętrznej jest równa wartości zmiany energii potencjalnej przenoszonego ciała. 2. Pomiędzy pracą wykonaną przez siłę zewnętrzną WZ , a pracą wykonaną przez siły pola grawitacyjnego WP , zachodzi zależność: . bo: 3. Zależności: są prawdziwe dla każdego ruchu, jakim przenoszone było ciało pomiędzy punktami 1 i 2, o ile nie występowały siły oporów ruchu (poza siłą grawitacji) i nie uległa zmianie wartość energii kinetycznej przenoszonego ciała, tzn.: 4. Wartość energii potencjalnej ciała o masie m, w odległości r od źródła centralnego pola grawitacyjnego (jednorodnej kuli o masie M i promieniu R), wyraża zależność: 5. Ze wzoru: wynika, że: wartość wykonanej pracy nie zależy od toru, po jakim było przenoszone ciało pomiędzy punktami 1 i 2! Pole sił, w którym wartość wykonanej pracy nie zależy od długości drogi, po jakiej ciało zostało przeniesione z punktu 1 do punktu 2, nazywa się polem zachowawczym. Takimi polami są: pole grawitacyjne i elektrostatyczne! Pole magnetyczne nie jest polem zachowawczym! 6. Praca wykonana na torze zamkniętym ma wartość zerową! Bo: Zadanie 1. Balon o masie 10 kg znajduje się na powierzchni ziemi. Oblicz zmianę wartości jego energii potencjalnej, jeżeli po pewnym czasie znalazł się na wysokości 20 km nad powierzchnią ziemi. Wykorzystaj najpierw zależność: a następnie: