Ryszard BENIAK*, Andrzej WITKOWSKI* BADANIE WPŁYWU

Nr 50
Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych
Politechniki Wrocławskiej
Studia i Materiały
Nr 22
Nr 50
2000
napęd, modele napędu,
analiza sterowania, symulacja
Ryszard BENIAK*,
Andrzej WITKOWSKI*
BADANIE WPŁYWU DYSKRETYZACJI CZASÓW PRZEŁĄCZANIA
TRANZYSTORÓW NA WYNIKI MODELOWANIA UKŁADU NAPĘDOWEGO
Z FALOWNIKIEM MSI
Przedstawiono porównanie dwóch metod modelowania sterowania napędu składającego się
z falownika napięcia MSI i silnika klatkowego. Porównanie dotyczyło wpływu dyskretyzacji czasu
wprowadzanej do sygnałów sterujących przez mikroprocesorowe układy sterujące oraz wpływu czasu
zwłoki przełączania łączników tej samej fazy falownika na wyniki symulacji napędu. Badania
prowadzono dla dwóch różniących się między sobą stopniem uproszczenia modeli silnika. Czas
zwłoki przełączania łączników określono z dokładnością do 10–9 sekundy. W celu zapewnienia
właściwej dokładności transformaty Fouriera wykonano symulację dwunastu sekund pracy napędu.
Omówiono różnice występujące w uzyskanych w trakcie symulacji pracy napędu przebiegach
wartości chwilowych prędkości obrotowej oraz widmach prądu i momentu. Przeprowadzone badania
wskazują, że dyskretyzacja czasu oraz wprowadzenie czasu zwłoki mają wyraźny wpływ na
uzyskiwane wyniki symulacji.
1. WSTĘP
W modelowaniu układów napędowych przeważnie przyjmuje się, że wartości funkcji
sterującej mogą zmieniać się w dowolnej chwili, a moment zmiany zależy jedynie od wartości
funkcji sterującej. W rzeczywistych napędach sterowanych przez układy mikroprocesorowe
sterowanie może się zmieniać jedynie w określonych, skorelowanych z cyklem rozkazowym
mikroprocesora momentach. Przedstawione w pracy wyniki badań mają stanowić próbę
odpowiedzi na pytanie: jaki jest wpływ dyskretyzacji czasów załączania tranzystorów oraz
czasu zwłoki przełączania tranzystorów tej samej fazy w przekształtniku MSI na zachowanie
się modelu napędu? Celem udzielenia odpowiedzi na to pytanie wykonano symulację napędu
przy ciągłej i zdyskretyzowanej w dziedzinie czasu funkcji modulującej. Układ napędowy
zamodelowano sformalizowaną metodą zmiennej struktury, wykorzystując funkcjonalne
odpowiedniki elementów falownika i beztransformacyjny model silnika klatkowego z
______________
* Politechnika Opolska KAiDUE, ul. Luboszycka 7, 45-951 Opole.
126
parametrami wyznaczonymi metodą permeancji międzyzębowych. Przedstawiono wyniki
otrzymane w trakcie modelowania tego układu napędowego uzyskane dla funkcji modulującej
realizującej regularną symetryczną modulację dwubiegunową. Dla wszystkich analizowanych
przypadków przedstawiono przebiegi prędkości kątowej oraz uzyskane w trakcie obliczeń
widma momentu elektromagnetycznego i prądu stojana.
2. MODEL FALOWNIKA
Zastosowano model falownika napięciowego o modulowanej szerokości impulsów
(MSI) (rys. 1). Model składa się z:
• obwodu zasilającego,
• kondensatora pośredniczącego,
• zbudowanego z tranzystorów IGBT mostka przekształtnikowego.
Rys. 1. Schemat modelu napędu
Fig. 1. Scheme of drive’s model
Rzeczywisty obwód zasilający (mostek prostowniczy) zastąpiono obwodem RLE
o stałych parametrach. Przyjęto najprostszy model kondensatora (bez indukcyjności
i upływności).
Przy modelowaniu tranzystorów IGBT przyjęto, że:
• załączenie tranzystora następuje bezzwłocznie,
• w stanie przewodzenia tranzystor zastąpiony jest rezystancją odpowiadającą jego
rezystancji dynamicznej,
• w trakcie wyłączania tranzystor zastąpiony jest szeregowym połączeniem
rezystancji dynamicznej i pojemności złącza,
127
• wyłączony tranzystor nie przewodzi prądu,
• dioda występująca w strukturze tranzystora w stanie przewodzenia zastąpiona jest
szeregowym połączeniem jej napięcia progowego, rezystancji dynamicznej i
indukcyjności doprowadzeń.
3. MODELE SILNIKA
Silnik zamodelowano na dwa sposoby. W pierwszym z modeli przyjęto, że wszystkie
indukcyjności własne i wzajemne mogą zależeć od kąta obrotu wirnika, a zmiennymi stanu
są prądy fazowe stojana i wirnika. Model ten będzie dalej nazywany beztransformacyjnym.
W drugim przyjęto, że silnik jest symetryczny i jedynie indukcyjności wzajemne stojan–
wirnik zależą od kąta obrotu wirnika, co pozwoliło na zastosowanie transformacji
redukującej liczbę zmiennych stanu opisujących stan elektromagnetyczny. Model ten będzie
dalej nazywany uproszczonym [2].
Obydwa modele sformułowano po przyjęciu następujących założeń upraszczających:
• silnik ma tylko jeden stopień swobody mechanicznej,
• moment bezwładności mechanicznej układu jest stały,
• przenikalność magnetyczna żelaza jest stała,
• nie ma strat w żelazie,
• w silniku występują jedynie strumienie: główny i rozproszenia,
• obwody elektryczne maszyny o stałych rozłożonych (na przykład wirnika w silniku
klatkowym) odwzorowuje się za pomocą skończonej liczby obwodów o stałych
skupionych.
Formułując uproszczony model silnika asynchronicznego, przyjęto dodatkowo, że:
• maszyna ma symetryczną budowę,
• wytworzone przez uzwojenia pole indukcji magnetycznej rozłożone jest
sinusoidalnie wzdłuż obwodu szczeliny maszyny,
• indukcyjności własne oraz wzajemne stojan–stojan i wirnik–wirnik nie zależą od
kąta obrotu wirnika.
Założenia te umożliwiają wykonanie przekształcenia równań wirnika
wykorzystującego transformację Parka.
4. METODA SYMULACJI
Układ napędowy zasymulowano, stosując sformalizowaną metodę zmiennej struktury
[1]. W metodzie tej przyjmuje się, że gałęzie zawierające nieprzewodzące elementy
energoelektroniczne są usuwane z początkowej struktury układu. Formalizm metody polega
na automatycznym przekształcaniu w trakcie procesu symulacji początkowego układu
różniczkowych równań gałęziowych w układ końcowy tak, aby układ równań w każdej
chwili opisywał aktualną strukturę przekształtnika.
128
Do rozwiązywania układu równań różniczkowych użyto procedury DIFSUB Geara [3],
korzystając z algorytmu Adamsa. W celu dokładnego trafiania w punkty czasowe zmiany
struktury układu zastosowano w trakcie rozwiązywania zewnętrzne sterowanie krokiem
procesu całkowania równań różniczkowych.
Do odwracania macierzy indukcyjności stosowano zmodyfikowaną procedurę MINV,
będącą implementacją algorytmu Gaussa–Jordana.
Wymagane w procesie symulacji pracy napędu z beztransformacyjnym modelem
silnika wartości indukcyjności i pochodnych indukcyjności w funkcji kąta obrotu wirnika
względem stojana obliczano na bieżąco, używając czteropunktowej interpolacji Newtona.
Korzystano przy tym ze stablicowanych wartości indukcyjności własnych i wzajemnych
uzwojeń silnika, wyznaczonych metodą permeancji międzyzębowych [4]. Wartości te
stablicowano dla 1056 kątów obrotu z zakresu 〈0–2π).
Przełączanie tranzystorów wykonano, stosując dwustronną modulację regularną. Ze
względu na znaczne koszty obliczeniowe przyjęto, że częstotliwość nośna fali modulującej
wynosi 600 Hz.
5. WYNIKI SYMULACJI
Dla przedstawionych modeli wykonano symulację napędu w trakcie rozruchu i pracy
w stanie ustalonym. Do modelowania wybrano silnik Sf80-4A o danych katalogowych: PN =
0,55 kW, UN = 220/380 V, IN = 2,52/1,47 A, TN = 3,75 N⋅m, nN = 1400 obr/min. Przyjęto
wentylatorową charakterystykę obciążenia, o tak dobranych parametrach, aby silnik w stanie
ustalonym pracował pod obciążeniem znamionowym.
Dla modelu beztransformacyjnego przyjęto maksymalny krok obliczeń równy 50 µs
i dokładność procesu numerycznego całkowania równań różniczkowych równą 10–5.
W procesie symulacji modelu uproszczonego zastosowano taką samą dokładność, jednakże
maksymalny krok procesu całkowania równań różniczkowych zwyczajnych był ograniczony
jedynie do 0,5 m⋅s.
W procesie symulacji napędów, która uwzględnia dyskretyzację czasu załączeń
tranzystorów przyjęto stały czas zwłoki ich przełączania równy 15 µs.
Analiza wyników obejmowała porównanie wpływu zastosowanej metody sterowania
na wartości chwilowe oraz widma: prądów fazowych, momentu elektromagnetycznego i
prędkości obrotowej silnika. Do uzyskania widm wykorzystano rezultaty symulacji
zachowania napędu w stanie ustalonym (od 2. do 12. sekundy pracy napędu).
Wybrane wyniki zaprezentowano na wykresach (rysunki 2–7). Wszystkie wykresy
przedstawiają porównania przebiegów uzyskane przy ciągłych i dyskretnych czasach
zmiany stanów sterowania. Na wykresach 2 i 3 cieńszą linią narysowano przebiegi
uzyskane dla dyskretnych czasów zmiany stanów sterowania, a grubszą dla ciągłych. Na
wykresach 4–7 składowe widma uzyskane dla dyskretnych czasów zmiany stanów
sterowania zaznaczono punktami, a uzyskane dla ciągłych czasów zmiany stanów
sterowania liniami.
129
Rys. 2. Przebieg prędkości kątowej ω
w trakcie rozruchu – model uproszczony
Fig. 2. Angular velocity curves of starting the motor
for the simplified model
Rys. 3. Przebieg prędkości kątowej ω
w trakcie rozruchu – model beztransformacyjny
Fig. 3. Angular velocity curves of starting the motor
for the non-transformed model
Rys. 4. Widmo prądu stojana (prąd fazowy)
– model uproszczony
Fig. 4. Spectrum of phase current
for the simplified model
Rys. 5. Widmo prądu stojana (prąd przewodowy)
– model beztransformacyjny
Fig. 5. Spectrum of line current
for the non-transformed model
Rys. 6. Widmo momentu elektromagnetycznego
– model uproszczony
Fig. 6. Spectrum of torque or the non-transformed
model
Rys. 7. Widmo momentu elektromagnetycznego
– model beztransformacyjny
Fig. 7. Spectrum of torque
for the non-transformed model
130
6. WNIOSKI
W stanie ustalonym brak wyraźnych różnic w przebiegach czasowych prądów.
Niewielkie różnice występują w prędkości kątowej (rzędu 0,8% dla modelu uproszczonego
i 0,4% dla beztransformacyjnego). Najwyraźniejsze różnice w przebiegach czasowych
występują w trakcie rozruchu (rys. 2 i 3). Wolniejszy wzrost prędkości kątowej występuje
dla modelu sterowania z dyskretnym czasem wyzwalania tranzystorów. Pewne różnice
można także zauważyć w wartościach momentu eletromagnetycznego, ale nie są one tak
widoczne, jak w przebiegach prędkości kątowej. Analizując widma prądów fazowych,
przewodowych
i momentu, stwierdzono, że znacznie większe różnice poziomów harmonicznych występują
w modelu
Zdaniem
beztransformacyjnym.
autorów, różnice występujące przy modelowaniu układu napędowego z ciągłą
albo zdyskretyzowaną w dziedzinie czasu funkcją sterującą nie powinny mieć znaczenia
przy modelowaniu silnika jako obciążenia falownika bądź rozwiązywaniu problemów
związanych z właściwościami ruchowymi napędu. Mogą one odgrywać pewną rolę w
modelowaniu stanów awaryjnych i uszkodzeniowych w celach diagnostycznych.
LITERATURA
[1] BENIAK R., WACH P., Modelowanie metodą zmiennej struktury silnika indukcyjnego zasilanego z
falownika napięcia, Materiały XXX Sympozjum Maszyn Elektrycznych, Kazimierz Dolny 1994, s. 55–62.
[2] BENIAK R., WITKOWSKI A., Wpływ modelu silnika na wyniki symulacji układu napędowego z
falownikiem MSI, Materiały VIII Sympozjum Podstawowe Problemy Energoelektroniki i
Elektromechaniki, Wisła 1999, s. 207–212.
[3] GEAR C.W., Numerical initial value problems in ordinary differential equations, Englewood Cliffs,
N.J., PrenticeHall Inc., 1971.
[4] WITKOWSKI A., Zalgorytmizowana metoda obliczania indukcyjności uzwojeń maszyn indukcyjnych
z uwzględnieniem nierównomierności szczeliny, Materiały XXX Sympozjum Maszyn Elektrycznych,
Kazimierz Dolny 1994, s. 524–531.
ON TESTING THE INFLUENCE OF DIGITALISATION OF TRANSISTOR TIME
SWITCHING ON RESULTS OF SIMULATION OF DRIVE
WITH PWM VOLTAGE INVERTER
The paper presents the results of comparison between two models of PWM wave generation. The investigated models of drive (fig. 1) include also different models of the induction machine. The first of them
is the mono-harmonic model with Park transformation of rotor equations the second one is non-transformed,
with all induction coefficients depending on rotor angle [3]. The main aim of the paper is to find the answer
for the question: what extent does the performance of the drive change to if either variable or constant delay
time of switching of connectors of the same phase of voltage inverter feeding the induction motor is used.
The drive is simulated by use of the formalised variable structure method [1]. The numerical solution of
differential equations system is obtained by use DIFSUB subroutine [2]. The conducted research (figs. 2–7)
support that the way of modelling of the control connections in the inverter bridge has a relevant influence
on the reflection of the real drive operation using simulations.