ĆWICZENIA nr 3

ĆWICZENIA nr 3
Cel zajęć: Obliczanie oraz interpretacja parametrów statystycznych charakteryzujących
populację.
Wprowadzenie teoretyczne
Każda populacja może być charakteryzowana odpowiednimi parametrami, takimi jak wartość
oczekiwana i wariancja. Wartości parametrów charakteryzujących populację z reguły nie są znane (z
powodu wielkości populacji i niemożności zmierzenia wszystkich jej elementów). Na podstawie próby
wylosowanej z badanej populacji można oszacować wartości parametrów, czyli wyznaczyć ich
estymatory. Estymatorem wartości oczekiwanej badanej cechy jest średnia arytmetyczna
elementów próby, dana wzorem:
x=
1 n
∑ xi
n i =1
gdzie n oznacza liczę elementów próby, xi są elementami próby.
Jeżeli mamy do czynienia z próbą, w której poszczególne wartości jej elementów występują
więcej, niż raz, wówczas obliczamy średnią ważoną:
1
= gdzie ni jest liczbą wystąpień pomiaru o wartości xi. Wzór ten stosujemy także w celu obliczenia
średniej ogólnej z już obliczonych średnich.
Średnią geometryczną obliczamy jako:
= Stosujemy ją np. do obliczania średniego tempa wzrostu populacji. Można ją stosować wyłącznie dla
liczb nieujemnych. Ta sama zasada obowiązuje w przypadku średniej harmonicznej. Stosuje się ją np.
do wyznaczania efektywnej wielkości populacji i oblicza z wzoru:
1
1
ℎ = =
1
Kolejną ważną statystyką charakteryzującą populację jest mediana, czyli wartość środkowa.
Jest to wartość, od której większa jest dokładnie połowa elementów próby i dokładnie połowa
elementów jest od niej mniejsza:
gdy nieparzyste,
= 1
gdy parzyste
+ 2 Jeżeli w rozważanej próbie są wartości powtarzające się, możemy obliczyć modę, czyli
wartość modalną lub inaczej dominantę. Jest najczęściej powtarzająca się wartość w próbie, nie
będąca jej wartością maksymalną albo minimalną.
∑
Zadania
1. W trzech wrocławskich szpitalach zmierzono długość dziesięciu losowo wybranych
noworodków. Pomiary z pierwszego szpitala (w centymetrach): 50, 58, 49, 54, 60, 51, 55, 56,
52,57. Pomiary z drugiego szpitala (w centymetrach): 55, 57, 60, 61, 55, 49, 58, 55, 60, 54.
Pomiary z trzeciego szpitala (w centymetrach): 52, 57, 50, 59, 49, 55, 49, 53, 60, 51. Obliczyć i
zinterpretować:
• średnią długość noworodka w każdym szpitalu,
• średnią długość wszystkich zmierzonych noworodków,
• medianę długości noworodka w każdym szpitalu,
• medianę długości wszystkich zmierzonych noworodków,
• modę długości noworodka w każdym szpitalu.
2. Roczny wskaźnik wzrostu liczby studentów (stosunek liczby studentów w danym roku do
liczby studentów w roku poprzednim) kierunku bioinformatyka w poszczególnych latach
czteroletniego okresu wyniósł: 1.13, 1.08, 1.23, 1. Wyznaczyć średni roczny wskaźnik wzrostu
liczby studentów w tym okresie. Zinterpretować otrzymany wynik.
3. Na trzynastu liściach zebrano następujące liczby mszyc: 4, 9, 16, 4, 1, 9, 4, 0, 1, 3, 8, 5, 3.
Obliczyć i zinterpretować średnią i medianę liczby mszyc.
4. Wyznaczyć średnią harmoniczną następującej próby: 1, 2, 1, 4.
Źródła:
Łomnicki A. „Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników”, PWN, Warszawa 2007
Żuk B. „Biometria stosowana”, PWN, Warszawa 1989
Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K., Wasilewski M. „Rachunek
prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach – część II: Statystyka
matematyczna”, PWN, Warszawa 2004