Model Standardowy – teoria pola Mechanika klasyczna – równania

Model Standardowy – teoria pola
Mechanika klasyczna – równania na wielkości takie jak pęd, energia położenie
Mechanika kwantowa – wielkości klasyczne → operatory, które działaja na
funkcje falowe, interpretecja probabilistyczna
Teoria pola – funkcja falowa → operator pola
– niezmienniczość Lorentza (STW)
– niezachowanie liczby „cząstek"
Transformacja Lorentza
Czterowektory:
xµ = (ct, x, y, z), µ = 0, 1, 2, 3.
Transformacja Lorentza:
x0µ = Lµν xν
zachowuje interwał (xµ + ∆xµ) między zdarzeniami
(∆s)2 = (∆x0)2 − (∆x1)2 − (∆x2)2 − (∆x3)2 = (∆s0)2
1
Tensor metryczny

1
0
gµν = 
0
0
pomaga zapisać to w zwartej formie
0
−1
0
0
0
0
−1
0

0
0 

0 
−1
(∆s0)2 = gµν ∆x0µ∆x0ν = gµν Lµτ Lνρ∆xτ ∆xρ = gτ ρ∆xτ ∆xρ
Transformacja Lorentza zachowuje tensor metryczny
gµν Lµτ Lνρ = gτ ρ
Ponieważ tensor metryczny jest symetryczny jest to 10 równań. Lµν jest rzeczywistą macierzą 4 × 4 o 16 parametrach minus 10 warunków, co daje 6 niezależnych parametrów: 3 obroty i 3 „boosty".
3
X
1 = g00 = gµν Lµ0Lν0 = (L00)2 −
(Li0)2
i=1
co daje
(L00)2 > 1 → L00 > 1 lub L00 < −1
2
Klasyfikacja transformacji Lorentza:
signL00
+
−
+
−
detL
+1
właściwe
−1
odbicie czasowe
−1 odbicie przestrzenne
+1 odbicie całkowite
Można łatwo pokazać
LµρLνµ = LνµLµρ = δρν .
Czterowektor energii i pędu:
pµ = (E, cpx, cpy , cpz )
p2 = E 2 − c2p~ 2 = m2c4.
Stąd
p
E = ±c m2c2 + p~ 2 = ±mc2
r
1+
3
p~ 2
m2c2
µ
' ± mc2 +
2
p~
+ ...
2m
¶
Równanie Schrödingera
Nierelatywistyczna mechanika kwantowa:
∂
b
~
E → H = i~ , p~ → b
p~ = −i~∇
∂t
2
b
p
~
b
Hψ(x,
t) =
ψ(x, t)
↑ zależnie od reprezentacji
2m
wybieramy znak + i opuszczamy stałą.
p
E = ±c m2c2 + p~ 2 = ±mc2
r
p~ 2
µ
2
p~
1 + 2 2 ' ± mc +
+ ...
mc
2m
4
2
¶
Równanie Kleina-Gordona
Jak skonstruować równanie odpowiadające pierwiastkowi? Klein i Gordon:
³
´
2
2
2 2
2 4
2∂
2 2~ 2
2 4
E = c p~ + m c =⇒ −~ 2 ϕ(x, t) = −~ c ∇ + m c ϕ(x, t)
∂t
Są kłopoty interpretacyjne. W nierelatywistycznej mechanice kwantowej
P = ψ ∗ψ
gęstość prawdopodobieństwa (dodatnia !!!!)
~
~
~ − ψ ∇ψ
~ ∗) gęstość pradu prawdopodobieństwa
S=
(ψ ∗∇ψ
2im
spełniają równanie ciągłości
∂
~ ·S
~ = 0.
P +∇
∂t
5
W przypadku równania Kleina-Gordona:
µ
¶
2
2 4
mc
∗∂
∗
2~ 2
−ϕ 2 ϕ = ϕ −c ∇ + 2
ϕ
∂t
~
µ
¶
2 4
2
∂
~ 2 + m c ϕ∗
−ϕ 2 ϕ∗ = ϕ −c2∇
∂t
~2
odejmujemy stronami
µ
¶
µ
¶
2
2
∂
∂
∂
∂
∂
Lewa strona = − ϕ∗ 2 ϕ − ϕ 2 ϕ∗ = −
ϕ∗ ϕ − ϕ ϕ∗
∂t
∂t ³∂t
∂t
³ ∂t
´
´
~ 2ϕ∗ = −c2∇
~ ∗
~ 2ϕ − ϕ∇
~ · ϕ∗∇ϕ
~ − ϕ∇ϕ
Prawa strona = −c2 ϕ∗∇
Mnożąc stronami przez
~
2imc2
dostajemy równanie ciągłości z gęstością prawdopodobieństwa
µ
¶
~
∂
∂
P =−
ϕ∗ ϕ − ϕ ϕ∗ ,
2imc
∂t
∂t
która nie jest odatnio określona (po pomnożeniu przez e można intepretować
jako gęstość ładunku). Otrzymuje się złe spektrum atomu wodoru (Schrödinger).
−
6
Równania klasyczne można otrzymać z zasady wariacyjnej.
ZT
S=
dtL(x, ẋ)
0
Dokonajmy przesuniecia
x0 = x + y, ẋ0 = ẋ + ẏ, gdzie y(0) = y(T ) = 0.
Wtedy
ZT
ZT
S0 =
dt L(x0, ẋ0) =
0
0
µ
ZT
dt
=
0
dt L(x + y, ẋ0 = ẋ + ẏ)
¶
L(x, ẋ) +
∂L
∂L
y+
ẏ + . . . .
∂x
∂ ẋ
7
Stąd
µ
ZT
δS = S 0 − S =
dt
0
ZT
=
0
∂L
∂L
y+
ẏ
∂x
∂ ẋ
¶
¯T
∂L
∂ ∂L
∂L ¯¯
dt
−
y+
y¯ .
∂x ∂t ∂ ẋ
∂ ẋ 0
µ
¶
Stąd równania ruchu:
∂ ∂L
∂L
δS = 0 =⇒
−
= 0.
∂x ∂t ∂ ẋ
8
Zasada wariacyjna dla pola skalarnego
Dla funkcji skalarnej ϕ wprowadzamy gęstość lagrangianu L(ϕ, ∂µϕ), gdzie
ϕ(t, ~r) (lokalność).
Z
dx
S = d4x L(ϕ, ∂µϕ).
x → ϕ,
→ ∂µϕ.
dt
∂L
∂L
δS = 0 =⇒
− ∂µ
= 0.
∂ϕ
∂(∂µϕ)
Jak wygląda L (przyjmujemy ~ = 1 i c = 1)?
¢ 1 ¡ µν
¢
1¡
µ
2 2
2 2
L(ϕ, ∂µϕ) = ∂µϕ ∂ ϕ − m ϕ = g ∂µϕ ∂ν ϕ − m ϕ .
2
2
Zadanie: przeprowadzić jawnie rachunek wariacyjny dla pola ϕ i wstawić do ~
i c do L.
9
Rozwiązania równania Kleina-Gordona.
µ
¶
2
∂
~ 2 − m2 ϕ(t, ~r) = 0.
− 2 +∇
∂t
Rozwiązanie falowe:
´
³
ϕk (t, ~r) = ak cos ~k · ~r − ωk t + θk
ωk2 = ~k 2 + m2.
Zamykając układ w pudle o długości l i objętości V = l3 narzucając periodyczne
warunki brzegowe mamy
µ
¶
~k = 2πn1 , 2πn2 , 2πn3 ,
n1,2,3 = 0, ±1, ±2, . . .
l
l
l
Ogólne rozwiązanie jest superpozycją takich fal
µ
¶
ak i(~k·~r−ωk t)
1 X
a∗k −i(~k·~r−ωk t)
√
ϕ(t, ~r) = √
e
+√
e
.
2ωk
2ωk
V ~
k
10
√
Czynnik 2ωk jest konwencją (uwaga, ωk może być dodatnie lub ujemne, wtedy
trzeba wziąć moduł). Pole ϕ jest rzeczywiste.
Pole ϕ opisuje cząstkę skalarną (np. bozon Higsa lub mezon π 0).
11
Tensor energii-pędu.
W mechanice klasycznej energia (hamiltonian) dane są przez transformację
Legendre’a
H = p q̇ − L
Zachowanie energii-pędu jest konsekwencją symetrii względem translacji (także
czasowych):
xµ → xµ + δaµ δaµ nie zależy od t i od x
wtedy
ϕ (xµ + δaµ) = ϕ(x) + (∂ν ϕ(x)) δaν
→ δϕ = (∂ν ϕ(x)) δaν
i dalej
∂L
∂L
δL(ϕ, ∂ϕ) =
δϕ +
δ(∂µϕ).
∂ϕ
∂(∂µϕ)
Używając r. ruchu
∂L
∂L
= ∂µ
oraz δ(∂µϕ) = ∂µ(δϕ)
∂ϕ
∂(∂µϕ)
12
mamy
·
¸
∂L
∂L
δL = ∂µ
δϕ +
∂µ(δϕ)
∂(∂µϕ)
∂(∂µϕ)
¸
·
¸
·
∂L
∂L
= ∂µ
δϕ = ∂µ
∂ν ϕ δaν .
∂(∂µϕ)
∂(∂µϕ)
Z kolei
δL = ∂µL δaµ = (∂µL) δaν δνµ
i w konsekwencji
·
¸
∂L
∂µ
∂ν ϕ − δνµL δaν = 0.
∂(∂µϕ)
Ponieważ δaν są dowolne, mamy zachowanie wielkości
∂L
∂ν ϕ − δνµL
∂µTνµ = 0, gdzie Tνµ =
∂(∂µϕ)
jest tensorem energii-pędu. Podobnie jak w mechanice klasycznej energia (gęstość energii):
∂L
0
T0 =
∂ ϕ̇ − L.
∂ ϕ̇
13
Równanie ∂µTνµ = 0 przyjmuje postać dla ν = 0:
∂ 0 ~ ~
T0 + ∇ · T = 0,
∂t
gdzie
T~ = (T01, T02, T03).
Całkując po całej przestrzeni:
µ
¶
Z
Z
Z
∂
∂
~ · T~ =
0 = d3x
T00 + ∇
d3xT00 +
∂t
∂t
∂
~
d~s · T =
∂t
Z
d3xT00
∂V →∞
dostaliśmy prawo zachowania całkowitej energii pola skalarnego.
Składowe Ti0 mają interpretację gęstości pędu. podobnie mozna pokazać
zachowanie pędu.
W przypadku pola Kleina-Gordona
¢
1¡
µ
2 2
L = ∂µϕ ∂ ϕ − m ϕ
2
mamy
³
´
1
~ 2 + m2ϕ2 .
ϕ̇2 + (∇ϕ)
T00 =
2
14
Podstawiając rozwiązania r. Kleina-Gordona mamy
µ
¶
∗
X
1
ak i(~k·~r−ωk t)
ak −i(~k·~r−ωk t)
ϕ̇ = −i √
e
− ωk √
e
ωk √
2ω
2ω
V ~
k
k
kµ
¶
∗
X
1
a
a
~k √ k ei(~k·~r−ωk t) − ~k √ k e−i(~k·~r−ωk t)
~ = i√
∇ϕ
2ωk
2ωk
V ~
k
i używając wzoru
1
V
otrzymujemy
Z
3
d xe
i(~k−~k 0 )·~r
Z
3
H=
d
Z
P~ =
xT00
= δ~k~k0
X
=
ωk a∗k ak ,
~k
X
~ka∗ ak .
d xT =
k
3
~0
~k
15
Wyprowadzenie (weźmy rozwiązanie z dodatnimi ωk = ω):
Z
X√ 0 Z
1
d3xϕ̇2 = −
ωω d3x×
2V
~k,~k 0
i((~k+~k 0 )·~r−(ω+ω 0 )t)
∗ ∗ −i((~k+~k 0 )·~r−(ω+ω 0 )t)
ak ak 0 e
+ ak ak 0 e
~ ~0
~ ~0
− ak a∗k0 ei((k−k )·~r−(ω−ω)t) − a∗k ak0 e−i((k−k )·~r−(ω−ω)t)
¢
1X ¡
−2iωt
∗ ∗
+2iωt
∗
ω ak a−k e
+ ak a−k e
− 2ak ak .
=−
2
~k
Podobnie:
Z
0Z
X
~
~
k·k
~ 2=− 1
√ 0 d3x×
d3x(∇ϕ)
2V
ωω
~ ~0
k,k
i((~k+~k 0 )·~r−(ω+ω 0 )t)
ak ak 0 e
−
=
~ ~0
0
+ a∗k a∗k0 e−i((k+k )·~r−(ω+ω )t)
∗ i((~k−~k 0 )·~r−(ω−ω)t)
∗
−i((~k−~k 0 )·~r−(ω−ω)t)
0
ak ak0 e
− ak ak e
¢
1 X k2 ¡
−2iωt
∗ ∗
+2iωt
∗
ak a−k e
+ ak a−k e
+ 2ak ak ,
2
~k
ω
16
gdzie ~k · ~k = k 2. A także
Z
X 1 Z
1
√ 0 d3x×
d3x ϕ2 =
2V
ωω
~k,~k 0
i((~k+~k 0 )·~r−(ω+ω 0 )t)
∗ ∗ −i((~k+~k 0 )·~r−(ω+ω 0 )t)
ak ak0 e
+ ak ak0 e
~ ~0
~ ~0
+ ak a∗k0 ei((k−k )·~r−(ω−ω)t) + a∗k ak0 e−i((k−k )·~r−(ω−ω)t)
¢
1X 1 ¡
+2iωt
∗
−2iωt
∗ ∗
+ 2ak ak .
=
ak a−k e
+ ak a−k e
2
ω
~k
17
Zatem
Z
Z
3
d
xT00
´
³
1
3
2
2
2
2
~
=
d x ϕ̇ + (∇ϕ)
+m ϕ
2
¢
1 X −ω 2 + k 2 + m2 ¡
−2iωt
∗ ∗
+2iωt
=
ak a−k e
+ ak a−k e
2
4
ω
~k
1 X ω 2 + k 2 + m2
+
ak a∗k
2
ω
~k
X
=
ωk a∗k ak ,
~k
gdzie skorzystaliśmy z faktu, że ω 2 = k 2 + m2 (warunek on shell ) i wróciliśmy
do oznaczenia ω = ωk . Ważne, że skorzystaliśmy dwa razy z warunku on shell,
raz żeby dostać zero i raz, żeby dostać czynik 2. Jak to będzie dla ujemnych
energii?
18
Skalarne pole zespolone
1
Φ = √ (φ1 + i φ2)
2
Przekonamy się, że Φ ma ładunek q, a Φ∗ ładunek −q. Gęstość lagrangianu
(rzeczywista)
L = ∂µΦ∗∂ µΦ − m2Φ∗Φ
prowadzi do r. ruchu, gdzie pola Φ i Φ∗ traktujemy jako niezależne:
−∂µ∂ µΦ − m2Φ = 0
i analogicznie dla Φ∗. Zatem rozwiązania
µ
¶
∗
X
a
1
b
~
~
√ k ei(k·~r−ωk t) + √ k e−i(k·~r−ωk t) ,
Φ(t, ~r) = √
2ωk
2ωk
V ~
k
gdzie ak i bk są niezależnymi liczbami zespolonymi. Można pokazać, że energia
X
H=
ωk (a∗k ak + b∗k bk )
~k
(suma energii dwóch rzeczywistych pól skalarnych).
19