Symetria w mechanice klasycznej Równanie ruchu dla funkcji r(t
Transkrypt
Symetria w mechanice klasycznej Równanie ruchu dla funkcji r(t
Symetria w mechanice klasycznej Równanie ruchu dla funkcji r(t) d2r ∂U (r) m 2 =− dt ∂r (1) • Jeśli U (r) = 0 ⇒ równanie (1) jest niezmiennicze przy r → r + a (jednorodność przestrzeni) ⇒ zasada zachowania pędu p • Jeśli U (r) = U (r) (sferycznie symetryczny potencjał), układ współrzednych wybieramy dowolnie (izotropowość przestrzeni) ⇒ zasada zachowania momentu pędu ℓ = r × p • Translacja w czasie, t → t + C ⇒ równanie (1) jest niezmiennicze (jednorodność czasu) ⇒ zasada zachowania energii E • Inversja czasu, t → −t W mechanice Lagrange’a: niezmienniczośc Lagrangianu L = przekształceniach symetrii. 1 ( ) m dr 2 2 dt − U (r) przy Symetria w mechanice kwantowej Równanie Schrödingera dla funkcji falowej ψ(r, t) h̄2 Ĥ = − ∆ + U (r) 2m ∂ψ ih̄ = Ĥψ, ∂t gdzie ∆ - operator Laplace’a. We współrzędnych karteziańskich ∆ = ∂2 ∂x2 2 (2) 2 ∂ ∂ + ∂y 2 + ∂z 2 Równanie Schrödingera dla stanów stacjonarnych ψ(r) Ĥψ = Eψ (3) Operator transformacji T̂ : ψ → T̂ ψ. Operator T̂ – unitarny, T̂ −1T̂ = T̂ T̂ −1 = 1. Przykład: Operacja translacji w przestrzeni, T̂a ψ(r) = ψ(r + a). 2 Jeśli T̂ - operator symetrii, to funkcja T̂ ψ także powinna być rozwiązaniem równania Schrödinger (3) dla tej samej energii E: Ĥ (T̂ ψ) = E (T̂ ψ) (4) T̂ −1Ĥ T̂ ψ = Eψ (5) ⇒ T̂ −1Ĥ T̂ = Ĥ (6) ⇒ Ĥ T̂ = T̂ Ĥ (7) tzn. Hamiltonian Ĥ komutuje z operatorem przekształcena symetrii . Funkcji własne operatora T̂ są także funkcjami własnymi Hamiltonianu Ĥ. 3 Przykład 1: Translacja w przestrzeni na dowolny wektor a h̄2∆ Ĥ = − , T̂a ⇒ ψk(r) = eik·r 2m T̂a eik·r = eik·a eik·r (8) (9) Funkcja ψk(r) = eik·r – funkcja własna elektronu swobodnego Przykład 2: Translacja w przestrzeni na pewny wektor a h̄2∆ Ĥ = − + U (r), U (r) = U (r + a) 2m T̂a ⇒ ψk(r) = eik·r uk(r), uk(r) = uk(r + a) T̂a eik·ruk(r) = eik·a eik·r uk(r) (10) (11) (12) Funkcja ψk(r) = eik·r uk(r) jest funkcją własną elektronu w pole okresowym (twierdzenie Blocha) 4