Zapisz jako PDF

Dynamika relatywistyczna
Wprowadzenie
Zagadnienia ruchu ciał w mechanice nierelatywistycznej (Newtona/Galileusza) rozwiązywaliśmy w
oparciu o równania ruchu. Ruch ciała jest zadany przez działające na nie siły zewnętrzne
do których znajomości trzeba jeszcze dołączyć warunki początkowe
Alternatywnie możemy korzystać z zasad zachowania. Dla układu izolowanego spełniona jest zasada
zachowania pędu
natomiast w ruchu pod wpływem sił zachowawczych korzystaliśmy z zasady zachowania energii
Czy podejścia te można też wykorzystać w przypadku relatywistycznym?
Granice podejścia klasycznego
Rozważmy elektron przyspieszany w kondensatorze płaskim (najprostszy 'akcelerator' cząstek).
Klasycznie przyspieszenie elektrony związane jest z natężeniem pola elektrycznego poprzez
równanie ruchu postaci:
Potrafimy współcześnie wytwarzać pola elektryczne sięgające
Dla elektronu masa i ładunek wynoszą odpowiednio:
Tym samym uzyskalibyśmy przyspieszenie elektronu rzędu
W podejściu klasycznym elektron powinien osiągnąć prędkość światła już po przebyciu
!!!
Widzimy, że równanie ruchu w klasycznej postaci nie może obowiązywać w przypadku
relatywistycznym, konieczna jest jego modyfikacja.
Pęd cząstki
Uogólnienie praw ruchu
Załóżmy, ze chcemy zachować klasyczną definicję siły opartą na II prawie Newtona
Oznacza to jednak, że musimy zmienić definicję pędu, bo Newtonowska definicja
ogranicza wartość pędu od góry (
), a przecież wciaż mogą działać siły...
Doświadczenie myślowe
Rozważmy nie centralne zderzenie dwóch kul o jednakowej masie
jednakowymi prędkościami V w układzie O:
poruszających się z
Z symetrii zagadnienia, zarówno przed jak i po zderzeniu pędy obu kul muszą być równe co do
wartości ale przeciwnie skierowane. Przejdźmy teraz do układu O' w którym jedna z kul porusza się
tylko wzdłuż osi Y:
W wyniku zderzenia prędkości kul wzdłuż osi Y nie zmieniają wartości a jedynie zwrot. Żeby
zachowany był pęd wzdłuż osi Y składowe pędu obu kul wzdłuż osi Y powinny być równe.
Prędności wzdłuż osi Y nie są równe. Wybór jednej z kul łamie symetrię zagadnienia !
Przesunięcia wzdłuż osi Y nie zmieniają się w transformacji Lorentza, ale zmienia się czas w jakim
nastęują. Prędkość wzdłuż osi Y pierwszej kuli w układzie O':
Prędkość wzdłuż osi Y drugiej kuli:
gdzie
,
to wartości współrzędnych prędkości w układzie O oraz
Widzimy więc, że klasyczne pędy obu kul nie są równe, czyli:
Z dodawania prędkości możemy wyznaczyć składową X prędkości drugiej kuli w układzie O':
Gdybyśmy przeszli do układu, w którym druga kula porusza się tylko wzdłuż osi Y to sytuacja
odwróciłaby się. Możemy więc związać prędkości obu kul zauważając, że prędkość wzdłuż osi Y
drugiej kuli jest zmniejszona na skutek dylatacji czasu:
gdzie
odpowiada transformacji między układami obu kul.
Przyjmijmy teraz, że prędkości wzdłuż osi Y są nierelatywistyczne,
X,
. Wtedy możemy zapisać:
gdzie dla kuli poruszającej się tylko wzgłuż osi Y
, ale prędkość wzdłuż osi
zaś dla drugiej kuli
Zasadę zachowania pędu możemy więc w naszym przypadku "uratować" modyfikując definicję pędu:
Czy tak zdefiniowany pęd jest zachowany w ogólnym przypadku?
Zasada względności
Wyrażenie na pęd dla cząstek relatywistycznych możemy też wyprowadzić z zasady względności (+
relatywistyczne składanie prędkości). Wyobraźmy sobie dwie identyczne kule lecące (w układzie O) z
prędkościami
i
wzdłuż osi X:
Przyjmijmy, że w którymś momencie ciało 1 dogania ciało 2 i zlepia się z nim. Jaka będzie prędkość
ciał po zlepieniu?
Klasycznie byłoby to
, co wynikało właśnie z zasady zachowania pędu! Jeśli odpowiemy
na to pytanie w przypadku relatywistycznym to powinniśmy móc wnioskować o postaci wyrażenia na
pęd...
Przejdźmy do układu odniesienia O' związanego z powstającym "zlepkiem".
Ponieważ kule są identyczne z symetrii zagadnienia oczekujemy, że w układzie tym będą miały
prędkości równe co do wartości, lecz przeciwnie skierowane. Wiemy już jednak jak składają się
prędkości! Prędkości w układzie O' wyrażają się przez
i , oraz prędkość O względem O' (
)
Ze wzoru na składanie prędkości:
(wartość ujemna prędkości odpowiada zwrotowi przeciwnemu do osi X)
Dla uproszczenia wprowadźmy prędkości względne:
,
i
Rozwiązujemy ten układ równań i ostatecznie otrzymujemy wyrażenie na prędkość zlepionych kul
(poruszających się początkowo z prędkościami
i ; pomijam dość żmudne przekształcenia)
Dla symetrii pomnóżmy licznik i mianownik po lewej stronie przez
:
Wartość ułamka nie zmienia się też jeśli licznik i mianownik pomnożymy przez tą samą liczbę (
lewej i
dla prawej strony):
dla
Ale
i
są dowolne! Możemy zawsze tak dobrać stosunek ich wartości, żeby także liczniki i
mianowniki po obu stronach równania były sobie równe:
Wychodząc z bardzo ogólnych założeń otrzymaliśmy dwa prawa zachowania!
Wykorzystaliśmy symetrię zagadnienia i zasadę względności oraz właściwy dobór współczynników
i
.
Możemy uogólnić wprowadzone relacje na dowolną liczbę cząstek w stanie początkowym (
końcowym (
):
)i
Ale jaki sens fizyczny mają przedstawione wyrażenia, czy możemy zidentyfikować poszczególne
człony?
Relatywistyczna definicja pędu
W granicy małych prędkości (
,
) przedstawione równania sprowadzają sie do
- zasada zachowania pędu
- zasada zachowania masy
Jak poprzednio dochodzimy do wniosku, że relatywistyczne wyrażenie na pęd cząstki to
Wprowadzone współczynniki
są miarą bezwładności ciał i nazywamy je masą.
Jedną z mas mogliśmy ustalić dowolnie - odpowiada to wyborowi wzorca masy.
Masy pozostałych cząstek można następnie wyznaczyć w oddziaływaniu ze wzorcem (z
wyprowadzonych praw zachowania).
Ruch pod wpływem stałej siły
Równanie ruchu
Jak już wspominaliśmy, chcemy zachować klasyczną definicję siły opartą na II prawie Newtona:
gdzie jednak pęd definiujemy teraz jako
współczynnik Lorentza
W przypadku ruchu prostoliniowego otrzymujemy w wyniku różniczkowania
Widzimy, że w przypadku relatywistycznym przyspieszenie maleje jak
!
Wróćmy do zagadnienia eletronu w jednorodnym polu elektrycznym. Możemy rozwiązać teraz
zagadnienie ruchu pod wpływem stałej siły elektrycznej
. Przekształcając otrzymane
równanie
możemy rozdzielić zmienne
Całkujemy podstawiając
:
i otrzymujemy rozwiązanie postaci
przyjmując, że cząstka spoczywała w
.
Korzystając teraz z tożsamości trygonometrycznej:
otrzymujemy rozwiązanie w postaci:
gdzie:
W naszym przykładzie (
w polu
) otrzymujemy
skala czasowa po jakiej prędkość stanie się porównywalna z prędkością światła dana jest przez
Zależność prędkości od czasu
Rysunek poniżej pokazuje zależność uzyskanej przez elektron prędkości od czasu. Do czasów rzędu
ruch można opisywać klasycznie (zielona przerywana linia):
Pokazana jest również różnica między prędkościa światła a prędkością uzyskaną przez elektron po
czasie t. Prędkość elektronu nigdy nie osiągnie prędkości światła. W granicy
:
(zależność ta została przedstawiona na rysunku czerwoną przerywaną linią).
Mimo, że nigdy nie osiągniemy
pęd elektronu będzie rósł liniowo z czasem
Zależność położenia od czasu
Wyrażenie na prędkość możemy zapisać w postaci:
Całkując otrzymujemy
Uzyskane rozwiązanie przedstawione jest na rysunku poniżej.
Tak jak poprzednio zielona przerywana linia odpowiada rozwiązaniu klasycznemu, zaś czerwona
przerywana - rozwiązaniu asymptotycznemu. W granicy
:
czyli elektron porusza się ruchem jednostajnym z prędkościa praktycznie równą prędkości światła
(cząstka ultrarelatywistyczna).
Czynnik odpowiada odległości o jaką impuls światła wysłany w chwili
elektron. W naszym przykładzie to tylko o 5 cm !!!
wyprzedzi rozpędzany
Energia relatywistyczna
Dla ruchu ciała pod wpływem stałej siły otrzymaliśmy wyrażenia:
gdzie
Można zauważyć, że czynnik Lorentza:
wstawiając do wyrażenia na
otrzymujemy
Uzyskana przez przyspieszaną cząstkę energia kinetyczna jest równa pracy wykonanej przez siłę F
na drodze
. Otrzymujemy:
Uzyskaną poprzednio zasadę zachowania:
możemy więc przepisać w postaci:
Gdzie:
- energia kinetyczna
- energia spoczynkowa ciała
Konieczność wprowadzenia energii spoczynkowej wynika z otrzymanej postaci zasady zachowania
energii!
Energia całkowita:
Granica klasyczna
Wyrażenie na energię kinetyczną można zapisać w postaci
W granicy małych prędkości (
) korzystamy ze wzorów na rozwinięcie w szereg:
W szczególności dla czynnika Lorentza
Wyrażenie na energię kinetyczną w granicy
przyjmuje więc postać
Odtwarzamy klasyczne wyrażenie na energię kinetyczną!
Zasada zachowania energii i pędu
Zdefiniowaliśmy energię całkowitą ciała:
oraz jego pęd:
gdzie
Wychodząc z reguły składania prędkości (która z kolei wynikała z zasady bezwładności i zasady
względności), wykorzystując symetrię rozważanego zagadnienia (zasada względności) oraz
możliwość doboru współczynników opisujących bezwładność ciała (masę) otrzymaliśmy:
zasadę zachowania enegrii
zasadę zachowania pędu
Zasady te wyprowadziliśmy dla procesu zderzenia, ale okazuje się, że są one dużo bardziej ogólne.
Zasady te obowiązują we wszystkich znanych nam procesach!!!
Zasada zachowania energii ma jednak swoją "cenę". W procesie zderzenia nieelastycznego:
Z zasady zachowania energii otrzymujemy:
Widzimy, że masa "zlepka" jest zawsze większa niż suma mas cząstek!
W świecie relatywistycznym przestaje obowiązywać zasada zachowania masy!
Energia kinetyczna zderzających się cząstek została zamieniona na energię wewnętrzną, co jest
równoważne ze wzrostem masy (energii spoczynkowej) "zlepka".
Jednostki
Energia jaką zyskuje ładunek
przy przejściu różnicy potencjały
wynosi
Dlatego jako naturalną jednostką energii w fizyce cząstek przyjęto 1 elektronowolt (1 eV). Jest to
energia jaką zyskuje cząstka o ładunku 1 e (ładunek elementarny) przy przejściu różnicy potencjału 1
V.
W jednostkach układu SI
Najczęściej wykorzystkujemy jednostki pochodne:
,
,
.
Ponieważ masa jest równoważna energii spoczynkowej, jednostkę energii możemy też przyjąć za
jednostkę masy (
;
)
Przykładowe masy (energie spoczynkowe) cząstek wynoszą
cząstka
symbol
masa
elektron
e
511 keV
(9.1
kg)
proton
p
938 MeV (1.7
kg)
neutron
n
940 MeV
kwark top
t
bozony pośredniczące
173 GeV
80.4 GeV
91.2 GeV
Transformacja
Energia spoczynkowa cząstki wynosi:
Energia całkowita:
Pęd cząstki dany jest przez wyrażenie:
W układzie własnym cząstki pęd
zgodnie z definicją układu środka masy.
Możemy zauważyć, że:
Jeśli cząstka porusza się wzdłuż osi
Formalnie możemy więc zapisać (
:
)
Okazuje się, że energia i pęd podlegają, przy zmianie układu odniesienia, transformacji Lorentza
identycznej z transformacją czasu i położenia.
Masa niezmiennicza
Z definicji czynnika Lorentza
otrzymujemy tożsamość
Mnożąc obie strony przez energię spoczynkową
Czyli:
Związek ten jest słuszny niezależnie od prędkości cząstki, czyli niezależnie od układu odniesienia.
Wyrażenie:
jest niezmiennikiem transformacji Lorentza (nie zależy od wyboru układu odniesienia) dla dowolnego
układu fizycznego. Wartość
nazywamy masą niezmieniczą układu (masą inwariantną). Jest to kluczowa wielkość w opisie zderzeń
relatywistycznych.
Transformacja Lorentza
Transformacja Lorentza ma zastosowanie do wszystkich czterowektorów:
czterowektora położenia (w czasoprzestrzeni):
czterowektora energii-pędu ("czteropęd"):
czteropotencjału pola elektromagnetycznego:
gdzie pola elektryczne i magnetyczne zdefiniowane są jako
i
różnicy dwóch czterowektorów (np. odstęp między zdarzeniami, przekaz czteropędu...)
Niezmiennikiem transformacji Lorentza jest "kwadrat" każdego czterowektora
W przypadku wektora różnicy współrzędnych jest to interwał:
w przypadku wektora energi-pędu jest to masa niezmiennicza:
Foton
Zjawisko fotoelektryczne
Zjawisko fotoelektryczne zostało odkryte (podobno przypadkowo) przez Hertza w 1887 r. Polega ono
na tym, że światło padając na metalową płytkę powoduje uwalnianie elektronów i umożliwia
przepływ prądu pomiędzy dwoma elektrodami
Doświadczenia wskazały, że energia uwalnianych elektronów zależy wyłącznie od częstości światła
(długości fali) i materiału katody. Powyżej pewnej długości światła elektrony nie były wybijane - prąd
nie płynął. Nie można tego było wytłumaczyć w ramach falowego opisu rozchodzenia się światła,
który przewidywał, że prąd zależy wyłącznie od natężenia światła, a nie zależy od częstości !
Zjawisko fotoelektryczne wyjaśnił Einstein (1905) wprowadzając pojęcie kwantu światła dziś
nazywanego fotonem.
Energia foto-elektronów wybijanych z katody
gdzie
to "praca wyjścia", minimalna energia potrzebna do uwolnienia elektronu z metalu (zależy
od materiału katody) zaś to częstość fali światła. Energia jaką niesie pojedynczy foton (i przekazuje
elektronowi)
Natura światła
Fotony to kwanty promieniowania elektromagnetycznego. Przenoszą oddziaływania między
cząstkami naładowanymi. Mają naturę korpuskularno-falową, czyli są jednocześnie
falą elektromagnetyczną, opisaną równaniami Maxwella
rozchodzącą się z prędkością
podlegającą interferencji, dyfrakcji, załamaniu
cząstką o ustalonej energii i pędzie, ale zerowej masie,
mogą zderzać się z innymi cząstkami, być pochłaniane lub rozpraszane
Im wyższa częstość (mniejsza długość fali) promieniowania, tym wyższa energia pojedyńczego fotonu
i wyraźniejsze efekty korpuskularne
przy czym częstość i długość fali związane są relacją
W zjawisku fotoelektrycznym, foton "zderza się" z elektronem,
i przekazuje mu energię konieczną do opuszczenia metalu (tzw. proces typu
)
Efekt Dopplera
Klasycznie mamy dwa różne przypadki:
źródło o częstości poruszające się z prędkością względem ośrodka. Częstość dźwięku
mierzona przez nieruchomego obserwatora
obserwator porusza się z prędkością względem ośrodka i źródła dżwięku
Jak już pokazaliśmy na poprzednim wykładzie w przypadku światła sytuacja jest symetryczna (brak
ośrodka) i mierzona częstość wyraża się wzorem
W przypadku ogólnym (dowolny kierunek ruchu źródła względem obserwatora) mierzone
przesunięcie długości fali:
gdzie
to rejestrowany przez obserwatora kierunek lotu fotonu (a
to kierunek z którego jest
obserwowany).
Alternatywne podejście
Wyrażenia na relatywistyczny efekt Dopplera (dla światła) wynikają wprost z transformacji Lorentza
dla energii i pędu fotonu.
Przyjmijmy, że foton o energii
tego fotonu dane są przez
emitowany jest pod kątem
w układzie O'. Składowe pędu
W układzie O z transformacji Lorentza uzyskujemy:
Dla
mamy:
, czyli emisji fotonu zgodnie z kierunkiem ruchu (źródło przybliża się do obserwatora)
częstość (energia) fotonu rośnie
Dla
, czyli gdy foton emitowany jest przeciwnie do kierunku ruchu źródła (źródło oddala się od
obserwatora) otrzymujemy:
czyli częstość (energia) fotonu maleje (zgodnie z wynikiem uzyskanym poprzednio w podejściu
kinematycznym.
Rozkłady kątowe
Zależność obserwowanej częstości od kąta emisji fotonu przedstawiona jest na rysunku poniżej
Dla fotonów emitowanych prostopadle do kierunku ruchu,
, obserwujemy wzrost częstości,
(poprzeczny efekt Dopplera).
Obserwowany kąt lotu fotonu (kąt w jakim foton porusza się w układzie obserwatora) jest związany z
kątem emisji zależnością:
która jest pokazana (dla wybranych wartości prędkości źródła) poniżej
W szczególności dla fotonu emitowanego pod kątem prostym,
fotonu dany jest przez
, obserwowany kąt propagacji
, czyli jest mniejszy od kąta prostego (
).
Zauważmy, że izotropowe promieniowanie szybko poruszającego się ciała będzie skolimowane w
kierunku ruchu. Im szybciej ciało się porusza w tym węższym stożku będzie emitować większość
promieniowania.
Do tej pory rozważaliśmy obserwowaną częstość w funkcji kąta emisji fotonu (kąt mierzony w
układzie źródła)
Możemy jednak zastosować odwrotną transformację Lorentza i przedstawi energię w funkcji kąta
detekcji (kąta propagacji fotonu mierzonego w układzie obserwatora):
Fotony rejestrowane pod kątem
mają częstość niższą niż częstość źródła,
.
Zależność częstości od kąta detekcji
Efekt Comptona
Efekt Comptona
W wyniku rozpraszania w materii, promieniowanie X stawało się mniej przenikliwe, zmieniało
długości fali. Opis tego zjawiska, na gruncie teorii Einsteina (korpuskularnej teorii światła),
zaproponował w 1923 roku A.H.Compton.
Fotony promieniowania X rozpraszają się na elektronach w atomie oddając im część swojej energii.
Relatywistyczne zderzenie dwóch ciał, tak samo jak w przypadku cząstek, możemy rozważyć z
punktu widzenia zasad zachowania.
Zmienne opisujące efekt
Comptona
Możemy wypisać następujące relacje:
zachowanie energii
zachowanie pędu wzdłuż kierunku ruchu fotonu
zachowanie prostopadłej składowej pędu
Przekształcając otrzymujemy:
Podnosząc stronami do kwadratu i zestawiając do masy elektronu:
Widzimy, że człony kwadratowe w częstości upraszczają się. Otrzymujemy
Energia rozproszonego fotonu będzie więc równa
zaś jego długość fali
Widzimy, że przesunięcie długości fali zależy tylko od kąta rozproszenia, nie zależy od początkowej
długości fali. Wielkość przesunięcia zależy od wartości
zwanej Comptonowską długością fali.
Małe energie fotonów
W granicy małych energii fotonu
czyli foton rozprasza się bez straty energii. Odpowiada to klasycznemu zderzeniu "pocisku",
,z
dużo cięższą "tarczą",
. Foton zachowuje energię, ale zmienia się wektor pędu (kierunek !)
Przykładem jest odbicie światła widzialnego,
(700 nm - 400 nm)
Z kolei energia rozproszonego elektronu wynosi:
W granicy małych energii padającego fotonu,
energia elektronu:
:
pęd rozproszonego elektronu:
Duże energie fotonów
W granicy dużych energii padającego fotonu
otrzymujemy
(przyjmując
, czyli
)
czyli foton przekazuje spoczywającemu elektronowi praktycznie całą swoją energię.
Odpowiada to klasycznemy zderzeniu ciał o równych masach (zakładając zderzenie centralne i
elastyczne). Dla
masę elektronu można pominąć, elektron, tak jak foton, można traktować
jako cząstkę bezmasową.
Rozpraszanie na wiązce elektronów
W rozpraszaniu na spoczywającym elektronie najniższą energię będzie miał foton rozproszony "do
tyłu" (
):
To, że foton zawsze traci energię zwiazane jest jednak z wyborem układu odniesienia! (układ
związany z elektronem)
Możemy jednak rozważyć rozpraszanie fotonów o energii
energii
.
na przeciwbieżnej wiązce elektronów o
Współczynniki transformacji Lorentza do układu elektronu:
Energia fotonu w układzie elektronu wyniesie więc:
Jeśli teraz w układzie elektronu foton rozprasza się "do tyłu" (
rozproszeniu:
) to jego energia po
Wracając teraz do układu laboratoryjnego: (transformacja odwrotna, ale i pęd foton zmienił
kierunek)
Otrzymujemy:
W przypadku wysokiej energii wiązki,
swojej energii.
, elektron może przekazać fotonowi większość
Przykład: dla
(planowana energia przyszłego akceleratora ILC) i
(podczerwień) możemy otrzymać wiązkę fotonów o energii
.