Wykład 3 Miara zewnętrzna

Wykład 3
Miara zewnętrzna
Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ∗ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę µ∗ (A) ∈ [0, +∞] (a więc określoną na rodzinie wszystkich
podzbiorów przestrzeni X) nazywamy miarą zewnętrzną jeśli:
(i) µ∗ (∅) = 0,
(ii) dla dowolnych zbiorów A ⊂ X, An ⊂ X, n ∈ N zachodzi
A⊂
∞
[
∗
An ⇒ µ (A) ¬
∞
X
µ∗ (An ).
n=1
n=1
Twierdzenie 3.1 (własności miary zewnętrznej) Jeśli µ∗ jest miarą zewnętrzną określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni X, to
m
S
(i) A ⊂
n=1
(ii) µ∗ (
∞
S
n=1
(iii) µ∗ (
m
S
n=1
An ⇒ µ∗ (A) ¬
An ) ¬
An ) ¬
∞
P
n=1
m
P
n=1
m
P
n=1
µ∗ (An ),
µ∗ (An ),
µ∗ (An ),
(iv) A ⊂ B ⇒ µ∗ (A) ¬ µ∗ (B),
dla dowolnych zbiorów A, B ⊂ X i An ⊂ X, n ∈ N.
Dowód Wykażemy wszystkie warunki po kolei.
(i) Wynika z Definicji 3.1 (i) i (ii) jeśli przyjmiemy Am+1 = Am+2 = . . . = ∅.
1
(ii) Wynika z Definicji 3.1 (ii) jeśli przyjmiemy A =
∞
S
n=1
(iii) Wynika z (i) jeśli przyjmiemy A =
m
S
n=1
An .
An .
(iv) Wynika z (i) jeśli przyjmiemy A1 = B i m = 1.
Twierdzenie 3.2 (Carathéodory’ego) Niech µ∗ będzie miarą zewnętrzną określoną na
rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni X. Oznaczmy przez M rodzinę wszystkich
podzbiorów A przestrzeni X spełniających warunek:
^
(car)
µ∗ (Z) = µ∗ (Z ∩ A) + µ∗ (Z \ A).
Z⊂X
Wówczas zachodzą warunki:
(i) M jest σ-ciałem w X,
(ii)
V
(µ∗ (A) = 0 ⇒ A ∈ M),
A⊂X
(iii) funkcja µ = µ∗ |M, tj. funkcja µ∗ ograniczona do rodziny M, jest miarą określoną na
σ-ciele M i dodatkowo jest to miara zupełna.
Miarę µ będziemy nazywali miarą wyznaczoną przez miarę zewnętrzną µ∗ .
Dowód Zanim przejdziemy do głównej części dowodu zauważmy, że warunek (car) jest
równoważny warunkowi
^
(CAR)
µ∗ (Z) ­ µ∗ (Z ∩ A) + µ∗ (Z \ A).
Z⊂X
Istotnie, ponieważ
Z = (Z ∩ A) ∪ (Z \ A),
więc wykorzystując Twierdzenie 3.1 (iii) dostajemy
∩ A}) + µ∗ (Z \ A),
µ∗ (Z) = µ∗ ((Z
∩ A}) ∪ (Z \ A)) ¬ µ∗ (Z
| {z
| {z
A1
| {z }
A2
2
A1
| {z }
A2
przy każdym Z ⊂ X. Otrzymana nierówność pokazuje, że warunek (car) jest równy warunkowi (CAR).
(i) Aby pokazać, że M jest σ-ciałem musimy wykazać, że warunki (i), (ii) i (iii) Definicji
2.2 zachodzą.
Biorąc dowolny zbiór Z ⊂ X dostajemy
µ∗ (Z) = µ∗ (Z ∩ X) = µ∗ (Z ∩ (∅ ∪ ∅0 )) =
= µ∗ (Z ∩ ∅) + µ∗ (Z ∩ ∅0 ) = µ∗ (Z ∩ ∅) + µ∗ (Z \ ∅).
A zatem
µ∗ (Z) = µ∗ (Z ∩ ∅) + µ∗ (Z \ ∅),
tj. ∅ ∈ M i warunek (i) Definicji 2.2 zachodzi.
Załóżmy teraz, że A ∈ M. Biorąc dowolny zbiór Z ⊂ X dostajemy
µ∗ (Z) = µ∗ (Z ∩ (A ∪ A0 )) = µ∗ (Z ∩ A) + µ∗ (Z ∩ A0 ) =
= µ∗ (Z ∩ A) + µ∗ (Z ∩ (X \ A)) = µ∗ (Z ∩ (A0 )0 ) + µ∗ (Z ∩ (X \ A)) =
= µ∗ (Z \ (X \ A)) + µ∗ (Z ∩ (X \ A)) = µ∗ (Z ∩ (X \ A)) + µ∗ (Z \ (X \ A)),
tj.
µ∗ (Z) = µ∗ (Z ∩ (X \ A)) + µ∗ (Z \ (X \ A)),
a to oznacza, że zbiór X \ A spełnia warunek (car), czyli X \ A ∈ M (warunek (ii) Definicji
2.2 zachodzi).
Zostało pokazać, że biorąc dowolny ciąg zbiorów A1 , A2 , A3 , . . . ∈ M również zbiór
∞
S
n=1
An ∈ M.
Dowód przeprowadzimy w czterech krokach.
1) Pokażemy najpierw, że zachodzi warunek
B1 , B2 ∈ M ⇒ B1 ∪ B2 ∈ M.
Załóżmy zatem, że B1 ∈ M, tj. że
(*)
^
µ∗ (Z) = µ∗ (Z ∩ B1 ) + µ∗ (Z \ B1 )
Z⊂X
3
i, że B2 ∈ M, tj. że
µ∗ (Z) = µ∗ (Z ∩ B2 ) + µ∗ (Z \ B2 ).
^
(**)
Z⊂X
Przyjmując teraz we wzorze (**) za zbiór Z zbiór Z ∩B1 i za zbiór Z zbiór Z \B1 dostajemy
odpowiednio
µ∗ (Z ∩ B1 ) = µ∗ ((Z ∩ B1 ) ∩ B2 ) + µ∗ ((Z ∩ B1 ) \ B2 )
i
µ∗ (Z \ B1 ) = µ∗ ((Z \ B1 ) ∩ B2 ) + µ∗ ((Z \ B2 ) \ B2 ).
Uwzględniając powyższe związki w (*), korzystając z równości
Z ∩ (B1 ∪ B2 ) = (Z ∩ B1 ∩ B2 ) ∪ (Z ∩ B1 ∩ B20 ) ∪ (Z ∩ B10 ∩ B2 )
oraz z Twierdzenia 3.1 (iii) dostajemy
µ∗ (Z) = µ∗ (Z ∩ B1 ) + µ∗ (Z \ B1 ) =
= µ∗ ((Z ∩ B1 ) ∩ B2 ) + µ∗ ((Z ∩ B1 ) \ B2 ) + µ∗ ((Z \ B1 ) ∩ B2 ) + µ∗ ((Z \ B1 ) \ B2 ) =
= µ∗ (Z ∩ B1 ∩ B2 ) + µ∗ (Z ∩ B1 ∩ B20 ) + µ∗ (Z ∩ B10 ∩ B2 ) + µ∗ (Z ∩ B10 ∩ B20 ) ­
­ µ∗ (Z ∩ (B1 ∪ B2 )) + µ∗ (Z \ (B1 ∪ B2 )),
tj.
µ∗ (Z) ­ µ∗ (Z ∩ (B1 ∪ B2 )) + µ∗ (Z \ (B1 ∪ B2 )),
co pokazuje, że zbiór B1 ∪ B2 spełnia warunek (CAR) i tym samym, że B1 ∪ B2 ∈ M.
Stosując teraz zasadę indukcji matematycznej łatwo pokazać, że dla dowolnego m ∈ N
(∆)
B1 , B2 , . . . , Bm ∈ M ⇒
m
[
Bn ∈ M.
n=1
2) Pokażemy też, że jeśli zbiory B1 , B2 , . . . , Bm ∈ M i Bi ∩ Bj = ∅, i, j = 1, 2, . . . , m,
i 6= j, to
(∆∆)
^
Z⊂X
µ
∗
Z∩
m
[
!
Bn =
n=1
m
X
n=1
4
µ∗ (Z ∩ Bn ) .
Dowód jest przez indukcję względem m. Dla m = 1 warunek (∆∆) oczywiście zachodzi.
Załóżmy zatem prawdziwość warunku dla m − 1, gdzie m ­ 2. Przyjmując w warunku
(car) za zbiór B zbiór Bm i za zbiór Z zbiór Z ∩
µ
∗
Z∩
m
[
m
[
!
Bn = µ
∗
Z∩
n=1
!
Bn otrzymujemy
= µ (Z ∩ Bm ) + µ
∗
Z∩
m−1
[
m
[
!
Bn ∩ Bm + µ
∗
Z∩
!
!
Bn \ Bm =
n=1
n=1
n=1
∗
m
S
!
Bn = µ∗ (Z ∩ Bm ) +
m−1
X
n=1
µ∗ (Z ∩ Bn ) =
n=1
m
X
µ∗ (Z ∩ Bn ),
n=1
tj.
µ
∗
m
[
Z∩
!
Bn =
n=1
m
X
µ∗ (Z ∩ Bn ),
n=1
co pokazuje, że warunek (∆∆) zachodzi.
3) Weźmy dowolny ciąg zborów B1 , B2 , B3 , . . . ∈ M parami rozłącznych. Biorąc dowolny zbiór Z ⊂ X oraz korzystając z (∆) i (∆∆) dostajemy
∗
µ (Z) = µ
∗
Z∩
m
[
!
Bn + µ ∗ Z \
n=1
=
m
X
m
[
!
Bn =
n=1
∗
µ (Z ∩ Bn ) + µ
∗
Z\
m
[
!
Bn .
n=1
n=1
Biorąc teraz pod uwagę nierówność
∞
[
µ∗ Z \
!
Bn ¬ µ∗ Z \
m
[
!
Bn ,
n=1
n=1
(zob. Twierdzenie 3.1 (iv)) dostajemy
µ∗ (Z) ­
m
X
µ∗ (Z ∩ Bn ) + µ∗ Z \
n=1
∞
[
!
Bn .
n=1
Przykładając do obu stron powyższej nierówności granicę przy n → ∞ otrzymujemy
∗
µ (Z) ­
∞
X
∗
∗
µ (Z ∩ Bn ) + µ
Z\
n=1
∞
[
!
Bn .
n=1
A ponieważ na mocy Twierdzenia 3.1 (ii)
∞
X
n=1
∗
µ (Z ∩ Bn ) ­ µ
∗
∞
[
!
∗
(Z ∩ Bn ) = µ
n=1
Z∩
∞
[
n=1
5
!
Bn ,
więc ostatecznie dostajemy
^
∗
µ (Z) ­ µ
∗
Z∩
∞
S
n=1
!
Bn + µ
∗
Z\
∞
[
!
Bn ,
n=1
n=1
Z⊂X
tj. zbiór
∞
[
Bn spełnia warunek (CAR) i tym samym
∞
S
n=1
Bn ∈ M.
4) Rozważmy w końcu dowolny ciąg zbiorów A1 , A2 , A3 , . . . ∈ M. Połóżmy
B1 = A1 , Bn = An \ (A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ Am−1 ), m = 2, 3, 4, . . . .
Łatwo teraz zauważyć, że dla wszystkich n ∈ N, zbiory Bn są w M, są parami rozłączne i
ponadto
∞
[
Bn =
∞
[
An .
n=1
n=1
Na mocy wyników uzyskanych w 3) dostajemy zatem
∞
[
Bn ∈ M,
n=1
a stąd
∞
[
An ∈ M,
n=1
tj. M jest σ-ciałem.
(ii) Weźmy teraz dowolny zbiór A ⊂ X i załóżmy, że µ∗ (A) = 0. Korzystając z monotoniczności miary zewnętrznej (zob. Twierdzenie 3.1 (iv)) i biorąc dowolnym zbiór Z ⊂ X
dostajemy
µ∗ (Z) ­ µ∗ (Z \ A) + µ∗ (A) ­ µ∗ (Z \ A) + µ∗ (Z ∩ A),
co pokazuje, że zbiór A spełnia warunek (CAR) i tym samym, że A ∈ M.
(iii) Musimy na koniec wykazać, że µ = µ∗ |M jest miarą. Oczywiście µ(∅) = µ∗ (∅) = 0.
Weźmy teraz dowolny ciąg zbiorów A1 , A2 , A3 , . . . ∈ M parami rozłącznych.
Korzystając z Twierdzenia 3.1 (ii) otrzymujemy
()
µ
∞
[
n=1
!
An = µ∗
∞
[
!
An ¬
n=1
∞
X
n=1
6
µ∗ (An ) =
∞
X
n=1
µ(An ).
Wykorzystując monotoniczność miary zewnętrznej (zobacz Twierdzenie 3.1 (iv)) oraz
kładąc w warunku (∆∆) Z = X dla n = 1, 2, 3, . . . otrzymujemy
µ
∗
∞
[
!
An ­ µ
∗
m
[
!
An = µ
∗
X∩
=
m
X
!
An =
n=1
n=1
n=1
m
[
m
X
µ∗ (X ∩ An ) =
n=1
µ∗ (An ),
n=1
tj.
µ
∞
[
∗
!
An ­
n=1
m
X
µ∗ (An ).
n=1
Przykładając do obu stron powyższej nierówności granicę przy n → ∞ dostajemy
∞
[
µ∗
!
An ­
n=1
∞
X
µ∗ (An ),
n=1
skąd
∞
[
µ
( )
!
An ­
∞
X
µ(An ).
n=1
n=1
Z () i ( ) dostajemy
µ(
∞
[
An ) =
∞
X
µ(An ),
n=1
n=1
tj. µ jest miarą.
Jeśli teraz założymy, że µ(A) = 0 i weźmiemy dowolny zbiór B ⊂ A, to
0 ¬ µ∗ (B) ¬ µ∗ (A) = µ(A) = 0,
skąd µ∗ (B) = 0 i na mocy (ii) dostajemy, że B ∈ M. Funkcja µ jest miarą zupełną.
Uwaga 3.1 (równoważna definicji miary zewnętrznej) Funkcję µ∗ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę µ∗ (A) ∈ [0, +∞] (a więc określoną
na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni X) nazywamy miarą zewnętrzną jeśli:
(i) µ∗ (∅) = 0,
(ii)
(A ⊂ B ⇒ µ∗ (A) ¬ µ∗ (B)),
V
A,B⊂X
(iii)
V
A1 ,A2 ,A3 ,...⊂X
µ∗ (
∞
S
n=1
An ) ¬
∞
P
n=1
µ∗ (An ).
7