Oryginalny przykład modelu Arrowa–Hurwicza

Podstawowe pojęcia teorii równowagi
6
Przykład 1.1 (Oryginalny przykład modelu Arrowa–Hurwicza) Rozważmy rynek dwóch towarów o cenach p1 , p2 , na którym
działa pewna skończona liczba handlowców m > 1, którzy posługują się funkcjami użyteczności postaci
uk (x1 , x2 ) = αk ln x1 + (1 − αk ) ln x2 ,
gdzie
0 < αk < 1
dla
k = 1, . . . , m,
a ich początkowe alokacje są dane przez
ak = (ak1 , ak2 ),
dla
k = 1, . . . , m.
A zatem każdego z handlowców obowiązuje ograniczenie budżetowe postaci p · x ¬ I k = p · ak = p1 ak1 + p2 ak2 , przy którym szuka on optymalnego
koszyka. Rozwiązując zagadnienie optymalizacji
max uk (x),
p · x ¬ Ik
przy warunku
otrzymamy dla każdego handlowca jednoznacznie wyznaczony koszyk optymalny, który oznaczymy symbolem xk (p), zaznaczając w ten sposób
zależność tego koszyka od wektora cen p = (p1 , p2 ). Na podstawie znanych równań teorii zachowania konsumenta (Drugie Prawo Gossena) mamy
warunek konieczny
∂uk k
∂uk k
(x (p)) :
(x (p)) = p1 : p2
∂x1
∂x2
otrzymujemy
p1
αk x2
=
1 − αk x1
p2
skąd dla popytu k-tego handlowca otrzymujemy wyrażenie
xk (p) = (xk1 (p), xk2 (p)) =
αk
Ik
Ik
, (1 − αk )
.
p1
p2
A zatem popyt nadwyżkowy jest dany wzorem
Z(p) =
m
X
(xk (p) − ak ) =
m X
αk
k=1
k=1
m X
Ik
− ak1 ,
p1
(1 − αk )
k=1
Ik
− ak2
p2
.
Korzystając z równości
αk
(1 − αk )
p2 ak2
Ik
− ak1 = αk ak1 +
p1
p1
− ak1 = αk
p1 ak1
Ik
− ak2 = (1 − αk ) ak2 +
p2
p2
p2 ak2
p1
− (1 − αk )ak1 ;
− ak2 = αk
p1 ak1
p2
− αk ak2
otrzymujemy Z(p) = (Z1 (p), Z2 (p)), gdzie
Z1 (p) =
Z2 (p) =
Wprowadzając oznaczenia
A1 =
m
X
p2
p1
m
X
αk ak2 −
p1
p2
m
X
(1 − αk )ak1 −
k=1
m
X
(1 − αk )ak1 ,
k=1
k=1
m
X
αk ak2 .
k=1
(1 − αk )ak1 ,
A2 =
k=1
m
X
αk ak2
k=1
otrzymujemy ostatecznie
p2
p1
A2 − A1 ,
A1 − A2 .
p1
p2
Wprost z tego wzoru jest widoczne, że wektor nadwyżkowego popytu spełnia prawo Walrasa p·Z(p) = 0. Przyrównując do zera wektor nadwyżkowego
popytu widzimy, że wektor cen równowagi walrasowskiej jest określony jednym warunkiem
Z(p) = (Z1 (p), Z2 (p)) =
p2 A2 − p1 A1 = 0,
a więc jest wyznaczony z dokładnością do struktury (o równowadze decyduje stosunek cen towarów, a nie ich bezwzględny poziom).
(1.16)