badanie skuteczności działania wybranych układów sterowania

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 57, ISSN 1896-771X
BADANIE SKUTECZNOŚCI DZIAŁANIA
WYBRANYCH UKŁADÓW STEROWANIA
REDUKCJI DRGAŃ
W TRAKCIE SKRAWANIA
Z ZASTOSOWANIEM AKTYWNEGO
NARZĘDZIA
Mateusz Kasprowiak1a, Arkadiusz Parus1b
1
a
Instytut Technologii Mechanicznej, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
[email protected], [email protected]
Streszczenie
Artykuł stanowi krótki przegląd rozwiązań dostępnych na rynku, pozwalających tłumić drgania w trakcie obróbki
skrawaniem. W opisie można również znaleźć informacje dotyczące istoty drgań samowzbudnych. Kolejną cześć
artykułu stanowi model aktywnego narzędzia na bazie piezoelektrycznego siłownika wraz z przedmiotem obrabianym oraz modelem procesu skrawania. Następnie zaprezentowane zostały wyniki badań symulacyjnych dla dwóch
układów sterowania (LQG, LMS). Całość symulacji przeprowadzona została w środowisku MatlabSimulink.
Słowa kluczowe: drgania, tłumienie drgań, aktywne narzędzie, LMS, LQG, piezosiłownik, regeneracja śladu
STUDY OF EFFICIENCY OF WORKING CHOSEN
CONTROLS IN VIBRATIONS DAMPING
DURING MACHINING PROCESS WITH APPLICATION
OF ACTIVE TOOL
Summary
The article account for short overview of solutions which are available on the market, which let dumping the vibrations during machining process. In the description it is also possible to find information about essence of chatter vibrations. The next part of this paper include model of active machine tool based on piezoelectric actuator
with work piece and model of machining process. In the next step the results of simulation research were presented for two control systems. All of the simulations were made in Matlab Simulink Softwere.
Keywords: vibrations, vibrations damping, active tool, LMS, LQG, piezoactuator, external modulation
1. WSTĘP
Dzisiejsza technologia, nauka oraz jej zastosowanie kładzie coraz większy nacisk na jakość i dokładność wykonywanych detali, podzespołów oraz całych urządzeń.
Dotyczy to niemalże każdej dziedziny życia i nauki,
począwszy od przemysłu lotniczego, motoryzacyjnego,
a skończywszy na elektronicznym, czy optycznym. Ściśle
związany z zagadnieniem dokładności obróbki jest problem wibracji, gdzie dużą rolę w ich tłumieniu odgrywa
13
BADANIE SKUTECZNOŚCI DZIAŁANIA WYBRANYCH UKŁADÓW STEROWANIA ...
aktywna kontrola drgań. Do budowy aktywnych układów tłumienia drgań często stosowane są siłowniki piezoelektryczne, a ich dużą zaletą jest: mała waga, małe
wymiary, a także praca w szerokim paśmie częstotliwości. Do budowy aktywnych narzędzi najczęściej wykorzystuje się wielowarstwowe ceramiczne piezoelektryczne
siłowniki. Dzięki zlokalizowaniu piezosiłownika [1]
w narzędziu, które jest specjalnie do tego celu zaprojektowane możliwy jest stosunkowo prosty i szybki montaż
w obrabiarce, ponieważ nie trzeba ingerować w strukturę
kinematyczną, układ nośny oraz układ sterowania obrabiarki.
z dokładnością obrabianych detali) można również
przedstawić za pomocą graficznej interpretacji w postaci
tzw. krzywych workowych lub, innymi słowy, wykresu
stabilności. Przedstawia ona zależność głębokości skrawania od prędkości obrotowej narzędzia. Charakterystyka workowa poniższego wykresu wynika z mechanizmu
samowzbudzenia, jakim jest wyżej wymienione zjawisko
modulacji zewnętrznej [5].
2. DRGANIA SAMOWZBUDNE TYPU CHATTER
Drgania typu „chatter” zainteresowały badaczy już
ponad 100 lat temu. W latach 40. XX wieku wyprowadzono już pierwsze hipotezy oraz udowodniono przyczyny ich powstawania. Przeprowadzając badania odnośnie
do drgań oraz ich genezy, zaczęto się również zastanawiać, w jaki sposób skutecznie można je tłumić. Pierwsze badania doświadczalne oraz matematyczny opis
drgań samowzbudnych typu chatter zapoczątkował R.N.
Arnold, który jako jeden z prekursorów tej dziedziny
opisał zjawisko „chatteru” w prostych układach narzędziowych. Swoich odkryć dokonał w 1946 roku [2].
Drgania samowzbudne typu chatter wywołane są zjawiskiem modulacji zewnętrznej, zwanej także zjawiskiem
regeneracji śladu. Powstają one na skutek działania sił
skrawania, których częstotliwości są zbliżone do częstotliwościami drgań własnych narzędzia oraz przedmiotu
obrabianego. Powoduje to pogorszenie jakości obrabianej
powierzchni, szybsze zużycie narzędzia, zmniejszenie
wydajności obróbki, a także zwiększenie emitowanego
hałasu. W skrajnym przypadku może nawet dojść do
zniszczenia narzędzia lub powierzchni obrabianej [3], [4].
Tak zwana obróbka po śladzie jest bardzo niekorzystnym zjawiskiem występującym podczas obróbki skrawaniem. Zjawisko to polega na tym, że narzędzie po pierwszej obróbce natrafia w kolejnym przejściu na nierówności powstałe w wyniku wcześniejszej obróbki.
Rys. 2. Wykres stabilności dla stolika przy obróbce frezem DIN
845-B-K-N [4]
Z wykresu przedstawionego na rys. 2. wynika, że
proces obróbki będzie miał charakter stabilny (nie będą
powstawały drgania samowzbudne) dla głębokości skrawania oraz obrotów poniżej krzywych workowych. Natomiast w wypadku wystąpienia punktu pracy na granicy krzywych spowoduje przejście układu do pracy na
granicy stabilności, poprzez co każde niekontrolowane
zakłócenie może spowodować przejście układu w stan
nieustalony, co spowoduje rozwój drgań samowzbudnych[6].
3. SPOSOBY TŁUMIENIA DRGAŃ
W OBRABIARKACH
Dzisiejsze osiągnięcia naukowe w dziedzinie redukcji
drgań w procesie skrawania dotyczą kilku sfer. Mianowicie oscylacje można niwelować poprzez ingerencję
w układ konstrukcyjny obrabiarki, ingerując w proces
obróbki oraz stosując aktywne układy mechatroniczne
w sterowaniu obrabiarki. Wybór określonej metody
wiąże się z oszacowaniem stopnia trudności wdrożenia
i zastosowania, potrzebami, żądanej jakości, zakresem
stosowalności, a także z możliwościami finansowymi.
Ingerencja w układ konstrukcyjny (strukturę dynamiczną) obrabiarki polega na przekonstruowaniu obrabiarki, czyli ingerencji np. w jej układ nośny poprzez
zwiększenie jego sztywności [7]. Metoda ta nie cieszy się
dużą popularnością z powodu wysokich kosztów, które
trzeba ponieść, aby wprowadzić powyższe zmiany. Natomiast zastosowanie dodatkowych tłumików pasywnych
nie zawsze daje dobre rezultaty, a zmiana geometrii
ostrza jest bardzo trudna w technicznej realizowalności
[7]. Do innych metod tłumienia drgań samowzbudnych
Rys. 1. Zjawisko obróbki po śladzie
Rys. 1. przedstawia graficzną interpretację tego zjawiska. Stabilność procesu skrawania (co wiąże się
14
MATEUSZ KASPROWIAK, ARKADIUSZ PARUS
należy zaliczyć sterowanie chwilowym położeniem narzędzia względem przedmiotu. Ten sposób polega na połączeniu narzędzia z napędem elektrycznym krokowym,
pracującym w pętli sprzężenia zwrotnego. W wypadku
pojawienia się drgań następuje bardzo mała zmiana
aktualnej pozycji narzędzia w celu zmiany kąta natarcia
i przyłożenia narzędzia względem przedmiotu. Jest to
stosunkowo droga metoda i wymaga dużej ingerencji
w konstrukcję uchwytu narzędzia [7].Aktywne tłumienie
drgań można zrealizować poprzez zastosowanie w układzie narzędzia lub przedmiotu obrabianego (stołu obrabiarkowego) dodatkowych elementów w postaci siłowników piezoelektrycznych, łożysk magnetostatycznych lub
cieczy reologicznych. Poprzez zastosowanie elementu
aktywnego możliwe jest wprowadzenie do układu dodatkowego oddziaływania za pomocą siły e f (pochodzącej od piezoelementu lub innej aktywnej struktury). Siła
ta może być kontrolowana poprzez sterowanie napięciem
u(t) [3]. Takie aktywne struktury w połączeniu z odpowiednimi układami regulacji (PID, LQR czy LMS) dają
stosunkowo wysoki współczynnik poprawy, jakości obrabianej powierzchni, redukcji drgań do stopnia ingerencji
w konstrukcję maszyny. Na chwilę obecną mają wysublimowany charakter oraz duży potencjał rozwojowy.
Redukcja drgań samowzbudnych może odbywać się
poprzez regulację prędkości obrotowej wrzeciona. Metoda ta polega na dopasowaniu prędkości obrotowej narzędzia np. do częstotliwości drgań własnych lub kąta przesunięcia fazowego pomiędzy dwoma kolejnymi przejściami narzędzia [7]. Do realizacji tej metody stosowane
są układy sterowania adaptacyjnego, sztucznych sieci
neuronowych oraz logiki rozmytej. Można również programowo dokonać zmiany prędkości wrzeciona po wcześniejszej obserwacji procesu, co jest łatwiejsze, ponieważ
nie zachodzi potrzeba ingerowania w układ sterowania
obrabiarki[7].
Rys. 3. Model układu narzędzie - siła skrawania - przedmiot
obrabiany
Tab. 1. Parametry modelu
Ilość warstw piezosiłownika
Stała piezoelektryczna
Sztywność piezosiłownika
n=228
gEE =625e-12
hi =300e6 N/m
Masa narzędzia
Sztywność narzędzia
Tłumienie narzędzia
Masa przedmiotu obrabianego
Sztywność przedmiotu obrabianego
Tłumienie narzędzia
j
=1 kg
h
=15e6 N/m
k
=100 kg/s
j
=10 kg
hD =8e6 N/m
k
=1000 kg/s
Model narzędzia składa się z szeregowo połączonych
elementów sprężystych l
(współczynnik sprężystości
materiału narzędzia) oraz l (współczynnik sprężystości
piezoelementu). W modelu narzędzia uwzględniono
występowanie tłumienia m
, masy n
oraz siły generowanej przez piezosiłownik e . Zmienna o
i oD określa
chwilowe położenie narzędzia i przedmiotu obrabianego.
Znając powyższe założenia, można zapisać równania
różniczkowe pod postacią 1 i 2 opisujące dynamikę procesu.
pq pr
_
pq Npr k
_
j
_
s ti tuvw
hD _D kD _D jD _Ds tuvw
(1)
(2)
_
a
|

d
a
{
~
_ a
{ ~
dD a
y{
Wektor stanu obiektu: x
~
dE a
{_D a~
dF a
{
~
z_D a}
4. MODEL AKTYWNEGO NARZĘDZIA
W celu przeprowadzenia badań symulacyjnych oraz
analizy zachowania się modelu obiektu konieczne jest
wykonanie modelu symulacyjnego np. opartego o zbiór
równań różniczkowych. Na model badanego obiektu
składają się trzy podstawowe układy, którymi są: model
narzędzia, model siły skrawania oraz model przedmiotu
obrabianego. Rys. 3. zawiera wszystkie trzy wspominane składowe. Na podstawie poniższego modelu wyprowadzone zostały równania różniczkowe opisujące dynamiczne zachowanie się układu.
(3)
gdzie d
- przemieszczenie narzędzia, dD - prędkość narzędzia, dE - przemieszczenie przedmiotu obrabianego, dF
- prędkość przedmiotu obrabianego.
ƒ

„…† ‡
„w
p
„…q
„w
pq pr
u
q Npr ˆq
‚


€
15
‰ d
a ˆq dD a „w
Š„‹‹ pŒ Ž‘’
ˆq
q
„…‹
„…“
dD a
„w
p
dF a
u
ˆ† dE a ˆ† dF a †
†
‘’
ˆ†
=
(4)
BADANIE SKUTECZNOŚCI DZIAŁANIA WYBRANYCH UKŁADÓW STEROWANIA ...
Wspomniana już siła generowana przez piezosiłownik ti
w równaniu 4, zależna jest od ilości warstw piezoelementu, stałej piezoelektrycznej, sztywności oraz przyłożonego napięcia i wynosi odpowiednio [1]:
ti ”gEE h• –
gdzie,
tuvw - siła skrawania
– - to napięcie zasilania piezosiłownika
Mając w ten sposób zdeklarowany model narzędzia,
pozostaje jeszcze zamodelować ostatni z brakujących
elementów, czyli model siły skrawania. Model siły skrawania opisany jest równaniem 10.
(5)
gdzie,
— – ilość warstw piezosiłownika
˜EE – stała piezoelektryczna
l ™ – sztywność piezoelementu
š – napięcie na przetworniku
tuvw W3¤¥ d
dD :¦i ^ §
W celu syntezy układu sterowania dogodnie jest przestawić model układu pod postacią równań stanu:
gdzie
d ›d œ
(6)
_ žd Ÿ
(7)
¡
|
pq pr
uq
{ ‡pq Npr ˆq ‰ ˆq
A= {
{
z
| { ˆq
B={
{ z ˆ†
¡
C=x
¡
p
†
ˆ†
gdzie,
¨# <OnnV – wartość posuwu
© <OnnV – szerokość warstwy skrawanej
ª<O

~
¡ ~
u ~
†}
ˆ†
Š„‹‹ pŒ 
¡
V– współczynnik oporu właściwego skrawania
5. STEROWANIE
~
~
~
}
ˆq
¡
5.1 UKŁAD REGULACJI LQG
Rodzaj regulowanego obiektu, jego zachowanie, dynamika oraz możliwość jego opisu matematycznego pozwalają
określić klasę układów sterowania obiektem. Drgania
mogą mieć charakter stochastyczny i daje się je opisać
statystycznie. Właściwości te można wykorzystać przy
doborze układów sterowania. Przykładem może być
układ LQG (ang. Linear – Quadratic – Gaussiancontrol). Jest sterowaniem realizowanym w warunkach
niepewności, narażonym na działanie addytywnych
białych szumów Gaussa oraz posiadającym niekompletne
informacje o stanie (np. nie wszystkie zmienne stanu są
mierzone i dostępne dla sprzężenia zwrotnego). Regulator LQG jest kombinacją filtru Kalmana i regulatora
liniowo-kwadratowego LQR [10].Aby syntezować układ
regulacji LQR, należy kierować się wskaźnikiem minimalizacji kosztów zgodnym z równaniem 10.
y
¡
¡
|
pq pr
uq
{ ‡pq Npr ˆq ‰ ˆq
d {
{
z
| Š„‹‹ pŒ 
{ ˆq
ˆq ~
t
9 uvw >
{ ~
–
{ ~
z ˆ†
}
¡
«
¬¬†
Siła skrawania zależna jest od posuwu, szerokości warstwy skrawanej, przemieszczenia narzędzia i przedmiotu
obrabianego. Szczególną uwagę należy poświęcić oporowi
właściwemu K, ponieważ wyznaczany jest doświadczalnie i zależy, między innymi od takich parametrów jak:
rodzaj narzędzia, kąt natarcia, kąt przyłożenia, rodzaj
obrabianego materiału oraz parametrów obróbki.
D=0
¡
_x
(10)
p
†
ˆ†

d
~
dD
¢d £ E
¡ ~
~
u†
dF
ˆ }
(8)
∞
­® ¯ °´ ¯ ± ²¯ ± ³ga
<
d
dD
t
y ¢d £ 9 uvw >
E
–
dF
¡
Wektor wejściowy  9
†
(10)
Innymi słowy, celem sterowania jest utrzymanie układu
w stanie równowagi bądź w punkcie pracy, a realizowane
jest to poprzez wyznaczenie takiego sygnału sterującego
u(t), który będzie minimalizować kwadratowy wskaźnik,
jakości. Ponadto Q oraz R są półdodatnio określonymi
macierzami wag wskaźników kosztów.
(9)
tuvw
>
–
16
MATEUSZ KASPROWIAK, ARKADIUSZ PARUS
Rys. 5. prezentuje regulator wykorzystujący filtrację
LMS oraz pętlę sprzężenia zwrotnego, gdzie E – oznacza
dynamiczny układ pierwotny (ang. dynamic forward
path) ponad sterowaniem, estymacją tej wartości jest
µ¶.
6. WYNIKI SYMULACJI
Na potrzeby symulacji zostały przyjęte następujące
parametry obróbki skrawaniem:
prędkość obrotowa wrzeciona - 800 [
6·.
¬?¸
Rys. 4. Schemat blokowy regulatora LQG
posuw - 0,5 [
5.2 UKŁAD REGULACJI ADAPTACYJNEJ LMS
¬¬
6·.
V,
V,
szerokość warstwy skrawanej - 0,6 [nnV.
Dodatkowo założono, iż sztywność przedmiotu obrabianego jest większa od narzędzia, w związku z tym elementem wzbudzającym drgania jest narzędzie. Skrawanym materiałem podczas symulacji jest stal ST 45,
natomiast kąt pomiędzy powierzchnią przyłożenia
a powierzchnią pomocniczą wynosi 45 stopni.
Regulator LQG jest ściśle oparty na modelu obiektu.
W trakcie sterowania obiekt ulega zmianie (masa,
sztywność, tłumienie), z tego względu skuteczność LQG
może się zmniejszyć. Rozwiązaniem są układy adaptacyjne, które są w stanie dopasować się do zmieniających
się warunków. Przykładem jest LMS. Wykorzystując
sygnał błędu jako sygnał wejściowy do filtra adaptacyjnego FIR (ang. FiniteImpulseResponse), czyli filtru
o skończonej odpowiedzi impulsowej, może skutecznie
redukować poziom drgań. Filtr adaptacyjny FIR, jest
podstawowym elementem filtracji adaptacyjnej, oddziałuje na pętle sprzężenia zwrotnego. Na rys. 5. zaznaczony jest schemat blokowy adaptacyjnego sprzężenia
zwrotnego układu, który oparty jest na filtrze FIR. Blok
z jednostką opóźnienia q-1 na wejściu do regulatora jest
nieodzowną częścią tego filtra, zaangażowaną do adaptacyjnej cyfrowej filtracji pętli sprzężenia zwrotnego. Celem filtracji jest znalezienie minimum średniego błędu
kwadratowego, co można np. wykonać poprzez algorytm
oparty na metodzie najmniejszego spadku [9]. Można
również zastosować metodę Newtona w celu poszukiwania minimum funkcji, lecz ze względu na dużą trudność
implementacji tego algorytmu metoda ta praktycznie nie
jest stosowana. Niemniej jednak idea obu metod jest ta
sama, czyli wykorzystanie gradientu średniego błędu
kwadratowego do znalezienia minimum.
Poniżej przedstawione zostały wyniki symulacji obróbki
toczeniem, które zostały przeprowadzone dla układu bez
sterowania oraz układu ze sterowaniem LQG i LMS.
Rys. 6. Wyniki symulacji - przemieszczenie narzędzia bez układu sterowania, z układem sterowania LMS oraz układem sterowania LQG
Rys. 7. Wyniki symulacji - przemieszczenie przedmiotu obrabianego bez układu sterowania, z układem sterowania LMS
oraz układem sterowania LQG
Rys. 5. Schemat blokowy regulatora LMS
17
BADANIE SKUTECZNOŚCI DZIAŁANIA WYBRANYCH UKŁADÓW STEROWANIA ...
wzrostowi amplitudy drgań narzędzia skrawającego. Na
rys. 8 przedstawiono wykres siły skrawania w czasie dla
trzech wariantów symulacji. Analogicznie: bez układu
sterowania, z układem sterowania LMS oraz LQG. Jak
wynika z powyższego rysunku, siła skrawania również
uległa zmniejszeniu oraz przede wszystkim stabilizuje się
poprzez co obróbka skrawaniem ma charakter stabilny,
co z kolei skutkuje zmniejszeniem zużycia się ostrza oraz
elementów obrabiarki.
7. WNIOSKI
Rys. 8. Wyniki symulacji - siła skrawania bez układu sterowania, z układem sterowania LMS oraz układem sterowania LQG
Dzięki wykorzystaniu aktywnych struktur, takich jak
np. piezosiłowniki w konstrukcji narzędzia skrawającego,
wraz z odpowiednim układem sterowania można
w skuteczny sposób zredukować poziom drgań wynikających z procesu obróbki skrawaniem. Na podstawie zaprezentowanych wyników można stwierdzić, iż weryfikacja skuteczności działania takich układów sterowania jak
LQG oraz LMS w czasie obróbki skrawaniem aktywnym
narzędziem jest pozytywna. Mniejsza amplituda drgań
przedmiotu obrabianego oraz narzędzia skutkuje zmniejszeniem się siły skrawania, a co się z tym wiąże wydłuża się żywotność narzędzia, jak i wszystkich podzespołów obrabiarki. Ponadto obróbka ma charakter
stabilny oraz można uzyskać większe dokładności, co jest
z kolei najważniejszym aspektem.
Analizując rys. 6 oraz 7, zauważono zmniejszenie się
amplitudy drgań narzędzia przy jednocześnie minimalnie
zmniejszonej amplitudzie drgań przedmiotu obrabianego,
co jest efektem jednego z założeń symulacji - czyli
przedmiot obrabiany został potraktowany jako element
znacznie sztywniejszy od narzędzia, a czynnikiem wzbudzającym drgania jest smukłe i podatne narzędzie. Stosując układ sterowania LMS, uzyskano mniejszą amplitudę drgań o 10 µm w porównaniu do symulacji bez
układu sterowania. Z kolei wykorzystując układ sterowania LQG, uzyskano zmniejszenie się amplitudy
o 7,5µm. Ponadto ważnym spostrzeżeniem, jest również
fakt, iż nie stosując żadnego układu sterowania, amplituda drgań narzędzia sukcesywnie wzrasta. Zarówno
układ sterowania LQG, jak i LMS powodują zmniejszenie amplitudy drgań narzędzia, a także zapobiegają
Literatura
1. Preumont A.: Mechatronics dynamics of electromechanical and piezoelectric systems. Springer 2006.
2. Chodnicki M.: Nadzorowanie drgań podczas frezowania przedmiotów podatnych z wykorzystaniem aktywnego
sterowania optymalnego. Gdańsk: Pol. Gd., Wydz. Mech..,Kat. Mechaniki i Mechatroniki, 2011. Rozprawa doktorska.
3. Kecik K., Rusinek R., Warminski J., Weremczuk A. Chatter control in the milling process of composite materials. “Journal of Physics” Conference Series 2012, 382(1), p. 1-6.
4. Weremczuk A.: Analiza drgań typu chatter w obróbce skrawaniem oraz metody ich eliminacji. Lublin: Pol.
Lubelska, Wydz. Mech., Kat. Mech. Stos., 2004. Rozprawa doktorska.
5. Marchelek K.: Projektowanie systemu obrabiarka - proces skrawania odpornego na drgania samowzbudne. „Inżynier” - pismo Politechniki Szczecińskiej 2007 nr 4(27), s. 12-16.
6. Pajor M., Hoffman M., Marchelek K.: Identyfikacja parametrów modeli procesu skrawania dla wieloostrzowych
narzędzi obrotowych. „Modelowanie Inżynierskie” 2011, nr 41, 307-314.
7. Galewski M.: Nadzorowanie drgań podczas frezowania szybkościowego smukłym narzędziem z wykorzystaniem
zmiennej prędkości obrotowej wrzeciona. Gdańsk: Pol. Gd., Wydz. Mech., Kat. Mech. i Wytrz. Mat. 2007.
Rozprawa doktorska.
8. Pettersson L.: Vibrations in metal cutting. Ronneby, Dep. of Telecommunications and Signal Processing,
Bleking Institute of Technology, 2002.
9. Claesson I., Hakansson L.:Adaptive active control of machine tool vibration in a lathe. “International Journal of
Acoustics and Vibration” 1998, Vol. 3, No. 4, p. 1826-1831.
10. Brian D.O. Anderson, John B. Moore: Optimal control linear quadratic methods. Prentice-Hall 1989.
18