n sygnał

CPS
1
2006/2007
SYGNAŁY DYSKRETNE
Definicje:
Sygnały dyskretne w czasie reprezentowane są przez ciągi liczb i oznaczane
jako {x[n]}
U
U
Elementy tych ciągów nazywa się próbkami , wartości próbek sygnałów oznacza
się jako x[n] dla n całkowitych w zakresie −∞ < n < ∞
U
U
Sygnały dyskretne w czasie mogą być zapisane:
1. jako zależności pozwalające obliczyć n-tą wartość ciągu. Na przykład:
()
⎧ 1
x ⎡⎣ n ⎤⎦ = ⎪⎨ 3
⎪⎩ 0
lub
{x ⎡⎣n⎤⎦} = ⎧⎨⎩1,
n
n≥0
<0
, ,…, ( 13 ) ,…⎫⎬
1 1
3 9
n
⎭
2. jako listy wartości ciągów. Na przykład:
−1.2,…}
{x ⎡⎣n⎤⎦} = {…,1.1, −0.2,2.1,3.0,
↑
gdzie strzałka oznacza próbkę o indeksie n=0,
lub
… x ⎡⎣ −1⎤⎦ = −0.2, x ⎡⎣0⎤⎦ = 2.1, x ⎡⎣1⎤⎦ = 3.0 …
Graficzna reprezentacja sygnału dyskretnego w czasie :
U
U
MATLAB
clear;
n=-8:1:27;
x=0.2+sin(0.13*n);
plot(n,x);
grid
CPS
2
2006/2007
1.5
1
0.5
n
0
T
-0.5
x[-3]=xa(-3T)
-1
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
Sygnał dyskretny najczęściej otrzymuje się w wyniku próbkowania w równych
odstępach czasu sygnału ciągłego w czasie (analogowego).
U
U
Wtedy n-tą próbkę opisuje zależność:
x ⎡⎣ n ⎤⎦ = xa ( t ) t =nT = xa ( nTp ) , n = …, −2, −1,0,1,2,…
p
Odległość między kolejnymi próbkami
próbkowania lub okresem próbkowania .
U
U
( Tp )
B
B
nazywa się przedziałem
U
U
Odwrotność okresu próbkowania nosi nazwę częstotliwości próbkowania i
oznacza się jako f p
U
B
U
B
fp =
1
Tp
Klasyfikacja:
Rzeczywiste i zespolone sygnały:
U
Ze względu na typ wartości próbek sygnały dzielimy rzeczywiste i zespolone.
W wielu aplikacjach cyfrowego przetwarzania sygnały zespolone mają duże
zastosowanie. Sygnały zespolone wyraża się jako sumę części rzeczywistej i
urojonej:
z ⎡⎣ n ⎤⎦ = x ⎡⎣ n ⎤⎦ + jy ⎡⎣ n ⎤⎦
CPS
3
2006/2007
lub w postaci wykładniczej:
z ⎡⎣n⎤⎦ = z ⎡⎣n⎤⎦ e j arg( z n )
⎡⎣ ⎤⎦
Deterministyczne i przypadkowe
U
Sygnały deterministyczne są sygnałami, których wartości są znane dla każdej
chwili czasu. Sygnały takie można zamodelować jako funkcje czasu. Sygnały
przypadkowe posiadają przypadkowe wartości i muszą być opisywane
statystycznie. Program wykładu nie obejmuje klasy sygnałów przypadkowych.
U
U
U
U
Parzyste i nieparzyste
U
Sygnał x[n] nazywa się parzystym jeżeli:
U
U
x ⎡⎣ −n ⎤⎦ = x ⎡⎣ n ⎤⎦
x[n]
n
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Sygnał x[n] nazywa się nieparzystym jeżeli:
U
U
x ⎡⎣ −n ⎤⎦ = − x ⎡⎣ n ⎤⎦
x[n]
n
-4 -3 -2 -1
0 1 2 3 4
CPS
4
2006/2007
Okresowe i nieokresowe
U
Sygnał dyskretny x[n] nazywa się okresowym z okresem N (N jest dodatnią
liczbą całkowitą) jeżeli:
U
U
x ⎣⎡ n + N ⎦⎤ = x ⎡⎣ n ⎤⎦ dla wszystkich n
x[n]
n
-N
0
2N
N
Sygnały o skończonej energii i skończonej mocy:
U
Jeżeli prąd „i” płynący przez rezystor o wartości „R” wywołuje spadek napięcia
„u” to chwilowa moc na jednostkę rezystancji jest definiowana jako:
p (t ) =
i (t ) ⋅ u (t ) 2
= i (t )
R
Wtedy energia całkowita na jednostkę rezystancji wynosi:
E=
∞
2
∫−∞ i (t ) dt
oraz średnia moc na jednostkę rezystancji wynosi:
T /2
1
P = Tlim
i 2 ( t ) dt
→∞ T ∫
−T / 2
Analogicznie, dla sygnału dyskretnego x[n] definiuje się znormalizowaną
energię sygnału jako:
U
U
E=
∞
∑
n =−∞
x ⎡⎣ n ⎤⎦
2
CPS
5
2006/2007
oraz znormalizowaną moc średnią sygnału dyskretnego:
N
2
1
P = lim
x ⎡⎣ n ⎤⎦
∑
2 N + 1 n=− N
N →−∞
Bazując na tych definicjach sygnały dzieli się na:
-
sygnały o skończonej energii , jeżeli 0 < E < ∞ oraz P=0;
U
U
sygnały o skończonej mocy 0 < P < ∞ oraz E = ∞
U
U
Podstawowe przebiegi dyskretne:
Skok jednostkowy:
U
⎧1, n ≥ 0
1[ n ] = ⎨
⎩0, n < 0
1[n]
1
...
n
0 1 2 3 4
1[-n+1]
1[n-2]
1
1
...
n
0 1 2 3 4 5 6
...
n
-2 -1 0 1 2
CPS
6
2006/2007
Impuls jednostkowy:
U
⎧1, n = 0
⎩0, n ≠ 0
δ [ n] = ⎨
δ [n]
n
-1 0 1 2 3
δ [n-2]
δ [n+1]
n
n
0 1 2 3 4 5 6
-2 -1 0 1 2
Z definicji skoku jednostkowego i impulsu jednostkowego wynikają następujące
zależności:
x ⎡⎣ n ⎤⎦ δ ⎡⎣ n ⎤⎦ = x ⎡⎣0⎤⎦ δ ⎡⎣ n ⎤⎦
x ⎡⎣ n ⎤⎦ δ ⎡⎣ n − k ⎤⎦ = x ⎡⎣ k ⎤⎦ δ ⎡⎣ n − k ⎤⎦
oraz:
δ ⎡⎣n ⎤⎦ = 1 ⎡⎣ n ⎤⎦ − 1 ⎡⎣ n −1⎤⎦
1 ⎡⎣ n ⎤⎦ =
n
∑ δ ⎡⎣k ⎤⎦
k =−∞
CPS
7
2006/2007
Rzeczywisty sygnał wykładniczy:
U
x ⎡⎣n ⎤⎦ = a n
dla −∞ < n < ∞
Często analizowane są sygnały wykładnicze jednostronne:
x [ n] = a n ⋅1[ n]
1
x[n]=(0.8)n1[n]
0.5
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
1
x[n]=(0.8)n1[n-3]
0.5
x[n]=(0.8)(n-3)1[n-3]
0.5
n
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Zespolony sygnał wykładniczy:
U
x ⎡⎣n ⎤⎦ = e jω n
0
dla −∞ < n < ∞
Tak opisany sygnał jest okresowy z okresem N jeżeli spełniony jest warunek:
ω0
2π
gdzie m jest liczbą całkowitą dodatnią
=m
N
CPS
8
2006/2007
Konwersja analogowo-cyfrowa:
Proces próbkowania opisuje się jako mnożenie sygnału analogowego f(t) i
nieskończonego szeregu impulsów (delt) Diraca d(t). Impulsy w takim szeregu
powtarzają się z okresem próbkowania T p .
B
B
Szereg impulsów Diraca opisuje zależność:
∞
d ( t ) = ∑ δ ( t − nTp )
−∞
Na wykresie przedstawia się taki szereg w postaci strzałek o jednostkowej
długości ( jest to miara pola powierzchni delty), oddalonych od siebie o stały
przedział czasu równy Tp (okres próbkowania).
d(t)
δ (t − nTp )
1
t
0
t0 = nT p
Tp
Oznaczając sygnał spróbkowany jako:
f * (t ) = f (t ) ⋅ d (t )
∞
f * ( t ) = f ( t ) ⋅ ∑ δ ( t − nTp )
−∞
i wykorzystując własność filtracyjną delty Diraca otrzymujemy
opisujące sygnał dyskretny:
∞
f * ( t ) = ∑ f ( nTp ) ⋅ δ ( t − nTp )
−∞
wyrażenie
CPS
9
2006/2007
Zapis ten należy interpretować jako szereg impulsów Diraca o polach równych
wartościom próbkowanej funkcji analogowej w punktach, w których znajdują
się impulsy szeregu d(t).
f (nTp )⋅ δ (t − nTp )
f*(t)
t
0
t0 = nTp
Widmo delty Diraca zgodnie z definicją przekształcenia Fouriera wynosi:
U
U
∞
F {δ ( t )} = ∫ δ ( t ) e − jωt dt = 1
−∞
F →1
δ ( t ) ⎯⎯
Inne pary transformat Fouriera:
F → e − jωT
δ ( t − T ) ⎯⎯
F → 2πδ ω
1 ⎯⎯
( )
F → 2πδ ω − ω
e jω t ⎯⎯
(
0)
0
Widmo przebiegu okresowego. Do wyznaczenia wykorzystamy zespolony
szereg Fouriera
Przebieg okresowy f(t) w postaci zespolonego szeregu Fouriera ma postać
U
U
f (t ) =
∞
∑ce
k =−∞
k
jkω0t
CPS
10
2006/2007
Jego transformata Fouriera
F ( jω ) = F
F ( jω ) =
{
∞
∑ce
k =−∞
jkω0t
k
∞
}
∑ c F{e ω }
jk
k =−∞
0t
k
ostatecznie:
F ( jω ) = 2π
∞
∑ c δ (ω + kω )
k
k =−∞
(**)
0
gdzie
1T
c k = ∫ f ( t ) e − jkω t dt
T0 0
0
0
ω0 =
2π
T0
współczynniki szeregu Fouriera
odstęp między impulsami widma
ω
t
t
ω
Wniosek: Widmo dowolnego sygnału okresowego, opisuje szereg impulsów
Diraca oddalonych od siebie o stałą wartość ω 0 i o polach równych odpowiednio
2π c k . Sygnał okresowy posiada dyskretne widmo.
Wykorzystując właściwość symetrii przekształcenia Fouriera można stwierdzić,
że sygnał dyskretny posiada okresowe widmo.
B
B
Ta właściwość charakterystyki widmowej sygnału dyskretnego, ma swoje
ważne konsekwencje w teorii próbkowania.
CPS
11
2006/2007
Szereg impulsów Diraca rozpatrzymy jako szczególny przypadek przebiegu
okresowego
U
U
d (t ) =
∞
∑ δ ( t − kT )
p
k =−∞
Po przedstawieniu d(t) w postaci szeregu Fouriera
d (t ) =
∞
∑ce
k =−∞
jkω p t
k
współczynniki tego szeregu wynoszą
Tp / 2
1
1
− jω kt
ck =
δ (t ) e
dt =
∫
Tp − T / 2
Tp
p
p
Stąd charakterystyka widmowa szeregu impulsów Diraca przyjmuje postać (**)
D ( jω ) =
2π
Tp
∞
⎛
k =−∞
⎝
∑ δ ⎜⎜ ω + k
2π
Tp
⎞
⎟⎟
⎠
Transformata Fouriera szeregu impulsów powtarzających się z okresem
T p (w dziedzinie czasu) jest również szeregiem impulsów powtarzających się z
okresem 2π / Tp (w dziedzinie częstotliwości).
B
B
Zmniejszając odstępy między impulsami w dziedzinie czasu ( większa
częstotliwość próbkowania ) zwiększają się odstępy miedzy impulsami w
dziedzinie częstotliwości (i odwrotnie). Ta prosta zależność ma fundamentalne
znaczenie podczas realizacji zadania próbkowania przebiegów analogowych.
Obliczenia widma sygnału dyskretnego F { f * ( t )}
U
U
Analiza sygnałów w dziedzinie częstotliwości pozwala lepiej rozumieć
zagadnienia przetwarzania sygnałów.
Transformata Fouriera iloczynu dwóch przebiegów ( twierdzenie o splocie z
dziedzinie częstotliwości ):
1
F { f ( t ) ⋅ d ( t )} =
F { f ( t )} ∗ F {d ( t )}
2π
1
F { f * ( t )} =
F { f ( t )} ∗ F {d ( t )}
2π
CPS
12
2006/2007
W uproszczonej postaci zapiszemy transformatę Fouriera sygnału dyskretnego
jako
1
F * ( jω ) =
F ( jω ) ∗ D ( jω )
2π
oraz znając transformatę szeregu impulsów Diraca otrzymamy:
F * ( jω ) = F ( jω ) ∗
1 ∞ ⎛
2π
δ ⎜⎜ ω + k
∑
Tp k =−∞ ⎝
Tp
⎞
⎟⎟
⎠
Pamiętamy, że splot funkcji z impulsem Diraca powoduje przesunięcie tej
funkcji do punktu, w którym znajduje się delta.
f T ( t ) ∗ δ ( t − t 0 ) = f T ( t − t0 )
δ (t − t 0 )
f T (t )
A
0
f T (t − t 0 )
t0
T
t
przesunięcie
Dodatkowo jeżeli funkcja splatana jest z szeregiem impulsów, to następuje
powielanie tej funkcji i przesuwanie powieleń do miejsc, w których znajdują się
impulsy Diraca.
f T (t ) ∗ (δ (t − t 0 ) + δ (t − t1 )) = f T (t − t 0 ) + f T (t − t1 )
δ (t − t 0 )
f T (t − t 0 )
f T (t )
A
0
t0
T
δ (t − t1 )
f T (t − t1 )
t1
t
przesunięcie i powielenie
Wnioskujemy zatem, że widmo sygnału dyskretnego powstaje w wyniku
powielania widma sygnału analogowego nieskończoną ilość razy i przesuwania
tych powieleń o wielokrotności ω p.
B
CPS
13
2006/2007
2π
Tp
ωp =
Transformata Fouriera sygnału dyskretnego ma zatem następującą postać:
F * ( jω ) =
1 ∞ ⎛
2π ⎞
F ⎜ jω + jk
⎟
∑
Tp k =−∞ ⎜⎝
Tp ⎟⎠
Operację próbkowania sygnału analogowego f(t) można przedstawić graficznie
w postaci wykresów w dziedzinie czasu i częstotliwości.
f(t)
F(ω )
ω
t
0
0
D( ω )
d(t)
2π
1
ω
t
0
ωp
Tp
0
f*(t)
F*(ω )
ω
t
0
0
ωp
Jak wynika z wyprowadzeń postać widma sygnału dyskretnego zależy od
częstotliwości próbkowania.
W niektórych wypadkach w wyniku powieleń i przesunięć widma sygnału
analogowego, może występować nakładanie się powieleń.
CPS
14
2006/2007
SYSTEMY DYSKRETNE
Definicja:
W systemie dyskretnym, przetwarzanie obejmuje operacje arytmetyczne
przeprowadzane na sygnale wejściowym x[n], w wyniku, których na wyjściu
systemu otrzymuje się sygnał wyjściowy y[n] w postaci ciągu liczb.
W większości przypadków systemy czasu dyskretnego są systemami o jednym
wejściu i jednym wyjściu.
x[n]
y[n]
Sygnał
wejściowy
System dyskretny
Sygnał
wyjściowy
Systemy dyskretne można opisywać, podobnie jak układy analogowe, w
konwencji wejście-wyjście, do opisu stosuje się w tym przypadku równania
różnicowe , stanowiące algebraiczną zależność między ciągiem wejściowym i
wyjściowym.
U
U
Klasyfikacja:
Systemy dyskretne można klasyfikować ze względu następujących własności:
Liniowość
Stacjonarność
Pamięć
Przyczynowość
Stabilność
Pasywność
CPS
Liniowość:
U
15
2006/2007
U
Definicja: Jeżeli y1 [ n ] jest sygnałem wyjściowym systemu zależnym od sygnału
wejściowego x1 [ n ] oraz y2 [ n ] jest sygnałem wyjściowym dla sygnału
wejściowego x2 [ n ] to dla sygnału wejściowego:
x ⎡⎣ n ⎤⎦ = α x1 ⎡⎣ n ⎤⎦ + β x2 ⎡⎣ n ⎤⎦
na wyjściu systemu otrzymamy
y [ n ] = α y1 [ n ] + β y2 [ n ]
Zależność powyższa zachodzi dla dowolnie wybranych stałych α , β oraz
dowolnych sygnałów wejściowych x1 [ n ] , x2 [ n ]
Przykład systemu liniowego:
y [ n] = −
x [ n]
2
x1 [ n ] = sin(ω nTp ) o częstotliwości f=1Hz próbkowany z f p =20Hz
B
B
x2 [ n ] = sin(3ω nTp ) o częstotliwości f=3Hz próbkowany z f p =20Hz
B
B
Superpozycja sygnałów wejściowych
x [ n ] = x1 [ n ] + x2 [ n ] = sin(ω nTp ) + sin(3ω nTp )
Na wyjściu systemu dla kolejnych sygnałów wejściowych otrzymamy:
y1 [ n ] = − 12 sin(ω nTp )
y2 [ n ] = − 12 sin(3ω nTp )
y [ n ] = y1 [ n ] + y2 [ n ] = − 12 sin(ω nTp ) − 12 sin(3ω nTp )
oraz inaczej
y0 [ n ] = − 12 ( x1 [ n ] + x2 [ n ]) = − 12 ( sin(ω nTp ) + sin(3ω nTp ) )
CPS
16
2006/2007
Dla sygnału liniowego zachodzi równość:
y [ n ] = y0 [ n ]
MATLAB
clear;
fp=20; T=1/fp; f=1;
omega=2*pi*f;
t=0:T:1-T;
x1=sin(omega*t); figure(1); stem(t,x1); grid
y1=-x1/2; figure(2); stem(t,y1); grid
x2=sin(3*omega*t); figure(3); stem(t,x2); grid
y2=-x2/2; figure(4); stem(t,y2); grid
x=x1+x2; figure(5); stem(t,x); grid
y=y1+y2; figure(6); stem(t,y); grid
yy=-x/2; figure(7); stem(t,yy,'-r'); grid
x1[n]
1
0.5
0.8
0.4
0.6
0.3
0.4
0.2
0.2
0.1
0
system
-0.2
0
-0.1
-0.4
-0.2
-0.6
-0.3
-0.8
-1
-0.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
-0.5
1
x2[n]
1
0
0.4
0.6
0.3
0.4
0.2
system
0.2
0
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.1
0
-0.2
-0.1
-0.4
-0.2
-0.6
-0.3
-0.8
0.1
y2[n]
0.5
0.8
-1
y1[n]
-0.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
-0.5
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
y1[n]+y2[n]
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
x[n]=x1[n]+x2[n]
y[n]
2
0.8
1.5
0.6
1
0.4
0.5
0.2
0
system
-0.5
-1
0
-0.2
-0.4
-1.5
-2
0
-0.6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-0.8
0
0.1
0.2
CPS
17
2006/2007
Przykład systemu nieliniowego:
y [ n ] = ( x [ n ])
2
x1 [ n ] = sin(ω nTp ) o częstotliwości f=1Hz próbkowany z f p =20Hz
B
B
x2 [ n ] = sin(3ω nTp ) o częstotliwości f=3Hz próbkowany z f p =20Hz
B
Superpozycja sygnałów wejściowych
x [ n ] = x1 [ n ] + x2 [ n ] = sin(ω nTp ) + sin(3ω nTp )
Na wyjściu systemu otrzymamy:
1
y1 [ n ] = ⎡⎣1 − cos(2ω nTp ) ⎤⎦
2
1
y2 [ n ] = ⎡⎣1 − cos(6ω nTp ) ⎤⎦
2
Sygnał jako suma sygnałów wyjściowych
y [ n ] = 1 − 12 cos(2ω nTp ) − 12 cos(6ω nTp )
oraz jako sygnał wyjściowy sumy sygnałów wejściowych
y0 [ n ] = 1 + 12 cos(2ω nTp ) − cos(4ω nTp ) − 12 cos(6ω nTp )
Nierówność
y [ n ] ≠ y0 [ n ]
wskazuje na nieliniowość systemu
MATLAB
clear;
fp=20; T=1/fp; f=1;
omega=2*pi*f;
B
CPS
18
2006/2007
t=0:T:1-T;
x1=sin(omega*t); figure(1); stem(t,x1); grid
y1=x1.^2; figure(2); stem(t,y1); grid
x2=sin(3*omega*t); figure(3); stem(t,x2); grid
y2=x2.^2; figure(4); stem(t,y2); grid
x=x1+x2; figure(5); stem(t,x); grid
y=y1+y2; figure(6); stem(t,y); grid
yy=x.^2; figure(7); stem(t,yy,'-r'); grid
x1[n]
y1[n]
1
1
0.9
0.8
0.8
0.6
0.7
0.4
0.6
0.2
0
system
-0.2
0.4
0.3
-0.4
0.2
-0.6
0.1
-0.8
-1
0.5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x2[n]
1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
0.8
0.9
0.6
0.8
0.4
0.7
system
0.2
0
0.6
0.5
-0.2
0.4
-0.4
0.3
-0.6
0.2
0.1
-0.8
-1
0
y2[n]
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
y1[n]+y2[n]
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
x[n]=x1[n]+x2[n]
y[n]
2
2.5
1.5
2
1
0.5
1.5
0
system
-0.5
1
-1
0.5
-1.5
-2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
CPS
19
2006/2007
Stacjonarność
W systemie stacjonarnym przesunięcie w czasie w ciągu wejściowym powoduje
równoważne przesunięcie w ciągu wyjściowym
Jeżeli na wymuszenie x odpowiedź wynosi y
system
x [ n ] ⎯⎯⎯
→ y [ n]
to na wymuszenie x przesunięte w czasie o k próbek układ odpowie sygnałem y
tak samo przesuniętym
system
x [ n − k ] ⎯⎯⎯
→ y [n − k ]
Przykład systemu stacjonarnego
y [ n] = −
x [ n]
2
system
x2 [ n ] = x [ n + 4] ⎯⎯⎯
→ y2 [ n ] = y [ n + 4 ]
MATLAB
clear;
fp=20; T=1/fp; f=1;
omega=2*pi*f;
t=0:T:1-T;
x1=sin(omega*t); figure(1); stem(x1); grid
y1=-x1/2; figure(2); stem(y1); grid
x2=x1(5:20);figure(3); stem(x2); grid
y2=-x2/2; figure(4); stem(y2); grid
CPS
20
2006/2007
x1[n]
y1[n]
1
0.5
0.8
0.4
0.6
0.3
0.4
0.2
0.2
0.1
0
0
system
-0.2
-0.1
-0.4
-0.2
-0.6
-0.3
-0.8
-1
-0.4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-0.5
x2[n]
0
y2[n]
1
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0.5
0.8
0.4
0.6
0.3
0.4
0.2
0.2
system
0
0.1
0
-0.2
-0.1
-0.4
-0.2
-0.6
-0.3
-0.8
-1
0
2
4
6
8
10
12
14
-0.4
16
-0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Pamięć:
W układach bez pamięci odpowiedź systemu y[n] zależy tylko od teraźniejszych
wartości wymuszenia x[n].
Przyczynowość:
Odpowiedź systemu przyczynowego y[n] zależy tylko od przeszłych i
teraźniejszych wartości sygnału wymuszenia x[n].
Stabilność:
Układ jest stabilny w sensie BIBO (bounded input, bounded output), jeżeli przy
ograniczonym sygnale wejściowym x[n] sygnał wyjściowy y[n] jest także
ograniczony. Formalnie można warunek zapisać:
x [ n] ≤ M x < ∞ ⇒ y [ n] ≤ M y < ∞
Pasywność:
System dyskretny jest pasywny jeżeli dla każdego sygnału wejściowego x[n] o
skończonej energii sygnał wyjściowy y[n] posiada energię mniejszą lub równą
energii x[n].
∞
∑
k =−∞
2
y [k ] ≤
∞
∑
k =−∞
2
x[k ] < ∞