A 1. Przekształcenie L : R2[x] → R2[x] dane jest wzorem L(f)(x) = x f
Transkrypt
A 1. Przekształcenie L : R2[x] → R2[x] dane jest wzorem L(f)(x) = x f
A 1. Przekształcenie L : R2[x] → R2[x] dane jest wzorem L(f )(x) = x 2 Z 1 0 f (x)dx + 3f (0) + xf 0(x). (a) Znaleźć jego macierz w bazie {1, x, x2}. (b) Wykorzystujac ˛ macierz przejścia oraz wynik punktu a), znaleźć jego macierz w bazie {x − 1, x + 1, x2 + x + 1}. ROZWI AZANIE ˛ a) Oznaczmy e1(x) = 1, e2(x) = x, e3(x) = x2. Dowolny wielomian f (x) = a + bx + cx2 b˛edzie w tej notacji miał postać f = ae1 + be2 + ce3. Mamy Z 1 0 e1(x)dx = Z 1 0 Z Z 1dx = 1, 1 0 e3(x)dx = e1(0) = 1, e01(x) = 0, 1 0 Z 1 0 e2(x)dx = Z 1 0 1 xdx = , 2 1 3 e3(0) = 0 e03(x) = 2x x2dx = e2(0) = 0, e02(x) = 1, Stad ˛ L(e1)(x) = x2 + 3 = 3e1(x) + e3(x) 1 1 L(e2)(x) = x2 + x = e2(x) + e3(x) 2 2 1 7 L(e3)(x) = x2 + 2x2 = e3(x) 3 3 Ponieważ w kolumnach macierzy przekształcenia stoja˛ współrz˛edne obrazów wektorów bazowych, wyglada ˛ ona tak: A= 3 0 0 0 1 0 1 1/2 7/3 b) Można skorzystać z faktu, że w nowej bazie macierz ma postać P −1AP , gdzie P jest macierza˛ przejścia ze starej bazy do nowej. Ta macierz ma w kolumnach współrz˛edne wektorów nowej bazy -1 1 1 wzgl˛edem starej bazy. P = 1 1 1 Pozostaje wi˛ec znaleźc 0 0 1 macierz odwrotna˛ i wykonać mnożenie. -1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 w2 +w1 −→ (−1)·w1 ,w2 :2 −→ -1 1 1 1 0 0 0 2 2 1 1 0 0 0 1 0 0 1 w1 +w2 ,w2 +w3 −→ P −1 AP = 1 -1 -1 -1 0 0 0 1 1 1/2 1/2 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 -1/2 1/2 0 0 1 0 1/2 1/2 -1 0 0 1 0 0 1 -1/2 1/2 0 3 0 0 -1 1 1 1/2 1/2 -1 · 0 1 0 · 1 1 1 1 1/2 7/3 0 0 1 0 0 1 = 3 -1/2 1/2 0 -3 3 1 1/2 1/2 -1 · 1 1 -1/2 3/2 23/6 0 0 1 = 2 -1 -1 -1/2 1/2 -11/6 -1/2 3/2 23/6 2. Podać przykład przekształcenia L : R4 → R4 (wzór analityczny i macierz w bazie standardowej), którego obrazem jest podprzestrzeń lin{(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)}. Znaleźć baz˛e i wymiar jadra ˛ tego przekształcenia. ROZWI AZANIE ˛ Wystarczy przypisać wektorom bazowym wektory rozpinajace ˛ obraz, np. L(1, 0, 0, 0) = (1, 0, 1, 0) L(0, 0, 1, 0) = (0, 0, 0, 0) L(0, 1, 0, 0) = (0, 1, 0, 1) L(0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 0) Wtedy macierza˛ przekształcenia jest: 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 a wzór analityczny ma postać: L(x, y, z, t) = (x, y, x, y) Jadro ˛ znajdujemy rozwiazuj ˛ ac ˛ L(x, y, z, t) = (0, 0, 0, 0) Otrzymujemy x = 0, y = 0, czyli ker L = {(x, y, z, t) : x = 0, y = 0} = lin{(0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} Ta rodzina rozpinajaca ˛ jadro ˛ jest jego baza,˛ a wymiar wynosi 2. 0 2 −1 3. Niech A = 1 1 −1 . −1 −2 0 (a) Znaleźć wartości własne tej macierzy. (b) Podać bazy przestrzeni własnych przekształcenia zadanego przez t˛e macierz (w bazie standardowej). −1 (c) Niech v = 1 . Wyznaczyć A151v. 1 ROZWI AZANIE ˛ a) −λ 2 −1 1 1 − λ −1 = (1 + λ)2(3 − λ) −1 −2 −λ wi˛ec wartościami własnymi sa˛ 3 i −1. b) Liczba 3 jest wartościa˛ własna˛ o krotności algebraicznej 1, wi˛ec jej przestrzeń własna jest jednowymiarowa. Znajdziemy wektor własny dla λ = 3. −3 2 −1 1 −2 −1 −1 −2 −3 x y z = 0 0 0 prowadzi do x = y = −z, wi˛ec przykładowym wektory własne sa˛ postaci (x, x, −x), a baza˛ V3 jest na przykład {(1, 1, −1)}. Dla λ = −1 otrzymujemy 1 2 −1 1 2 −1 −1 −2 1 x y z = 0 0 0 czyli x+2y−z = 0. To daje wektory własne postaci (x, y, x+2y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 2). Baza˛ V−1 jest {(1, 0, 1), (0, 1, 2)}. c) Zauważmy, że (−1, 1, 1) = (0, 1, 2) − (1, 0, 1). To oznacza, że (−1, 1, 1) jest wektorem własnym dla wartości własnej równej −1, czyli 1 −1 −1 A151 1 = (−1)151 1 = −1 1 −1 1 Alternatywnie, można zdiagonalizować A, czyli zamienić baz˛e na baz˛e wektorów własnych, wtedy podnieść A do pot˛egi i przemnożyć przez wektor, po czym wrócić do bazy standardowej, ale to wi˛ecej pracy. 4. Niech ϕ1 : R3 −→ R2 i ϕ2 : R2 −→ R2 b˛eda˛ przekształceniami liniowymi. Pokazać, że jeśli dim ker(ϕ2 ◦ ϕ1) = 1, to ϕ2 jest różnowartościowe. ROZWI AZANIE ˛ ϕ ϕ 1 2 Mamy R3 −→ R2 −→ R2. Zatem dim ker(ϕ2 ◦ ϕ1) + dim im(ϕ2 ◦ ϕ1) = 3, skad ˛ dim im(ϕ2 ◦ϕ1) = 2. Ponieważ dim im(ϕ2 ◦ϕ1) ¬ dim im(ϕ2) (np. bo im(ϕ2 ◦ ϕ1) ⊂ im(ϕ2)), również dim im(ϕ2) = 2. A jako że dim ker(ϕ2) + dim im(ϕ2) = 2, otrzymujemy dim ker(ϕ2) = 0, czyli ker(ϕ2) = {0}, co oznacza, że ϕ2 jest różnowartościowy. B Zadania 1,2,3 analogicznie jak w grupie A. 4. Niech ϕ1 : R3 −→ R2 i ϕ2 : R2 −→ R2 b˛eda˛ przekształceniami liniowymi. Pokazać, że jeśli dim ker(ϕ2 ◦ ϕ1) = 1, to ϕ1 jest surjekcja.˛ ROZWI AZANIE ˛ ϕ ϕ 1 2 Mamy R3 −→ R2 −→ R2. Zatem dim ker(ϕ2 ◦ ϕ1) + dim im(ϕ2 ◦ ϕ1) = 3, skad ˛ dim im(ϕ2 ◦ ϕ1) = 2. Zauważmy, że dim im(ϕ2 ◦ ϕ1) ¬ dim im(ϕ1). Istotnie, im(ϕ2 ◦ ϕ1) = {ϕ2(ϕ1v) : v ∈ R3} = {ϕ2(w) : w ∈ imϕ1} = im{ϕ2|imϕ1 }, wi˛ec dim im{ϕ2|imϕ1 } ¬ dim im{ϕ2|imϕ1 } + dim ker{ϕ2|imϕ1 } = dim im(ϕ1) Zatem również dim im(ϕ1) = 2. Ale jedyna˛ podprzestrzenia˛ dwuwymiarowa˛ przestrzeni R2 jest całe R2, wi˛ec im(ϕ1) = R2, czyli ϕ1 jest surjekcja.˛