Modelowanie przepływów cieczy z wykorzystaniem metody

Please cite this article as:
Ewa Węgrzyn-Skrzypczak, Tomasz Skrzypczak, Modelowanie przepływów cieczy z wykorzystaniem metody
elementów skończonych, Scientific Research of the Institute of Mathematics and Computer Science, 2002, Volume 1,
Issue 1, pages 227-233.
The website: http://www.amcm.pcz.pl/
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
MODELOWANIE PRZEPŁYWÓW CIECZY
Z WYKORZYSTANIEM METODY ELEMENTÓW
SKOŃCZONYCH
Ewa Węgrzyn-Skrzypczak1, Tomasz Skrzypczak2
1
2
Instytut Matematyki i Informatyki, Politechnika Częstochowska
Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska
Streszczenie. W pracy zajęto się jednym z aspektów rozwiązania równań Naviera-Stokesa.
Jak wiadomo, rozwiązanie numeryczne tych równań stwarza wiele problemów związanych
ze stabilnością procesu obliczeniowego. W celu pokonania tych trudności zastosowano
metodę elementów skończonych z wykorzystaniem elementów Taylora-Hooda, które
dzięki mieszanym funkcjom aproksymacyjnym, innym dla prędkości i ciśnienia, pozwalają
na osiągnięcie zbieżności rozwiązania. Zaprezentowano przykład obliczeniowy potwierdzający skuteczność analizowanej metody.
1. Matematyczne podstawy zagadnienia
Przepływ dowolnej cieczy można zamodelować, opierając się na równaniach
Naviera-Stokesa (1) i równaniu ciągłości (2) [1, 2]. Rozpatrywany będzie przepływ
lepkiej cieczy nieściśliwej w obszarze dwuwymiarowym
 ∂ 2u ∂ 2u   ∂u
∂u  1 ∂P
ν  2 + 2  −  u
+ υ  −
+ X =0
∂y   ∂x
∂y  ρ ∂x
 ∂x
 ∂ 2 v ∂ 2 v   ∂v
∂v  1 ∂P
ν  2 + 2  −  u + υ  −
+Y = 0
∂y   ∂x
∂y  ρ ∂y
 ∂x
(1)
∂u ∂v
+
=0
∂x ∂y
(2)
Powyższe równania uzupełniają warunki brzegowe (3):
u Γ = g1
(3)
v Γ = g2
gdzie u, v oznaczają składowe prędkości w kierunkach x, y, P jest ciśnieniem,
ρ gęstością cieczy, ν współczynnikiem lepkości kinematycznej, X, Y siłami masowymi, a g1, g2 danymi funkcjami opisującymi prędkość na brzegu.
227
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
Algorytm metody elementów skończonych wyprowadzono z tzw. kryterium
metody odchyłek ważonych, które dla równań (1) i (2) ma następującą postać:
∫∫
Ω
  ∂ 2u ∂ 2u   ∂u

∂u  1 ∂P
+ υ  −
+ X dΩ = 0
wν  2 + 2  −  u
∂y  ρ ∂x
∂y   ∂x

  ∂x
∫∫
Ω
  ∂ 2v ∂ 2 v   ∂v

∂v  1 ∂P
+ Y dΩ = 0
wν  2 + 2  −  u + υ  −
∂y  ρ ∂y
∂y   ∂x
  ∂x

(4)
∂v 
 ∂u
∫∫ w ∂x + ∂y dΩ = 0
Ω
gdzie w jest pewną funkcją wagi.
W celu obniżenia rzędu pochodnej w równaniach (4) można skorzystać z twierdzenia Greena
∂B
∂A
∫∫ A ∂x dΩ = −∫∫ ∂x BdΩ + ∫ ABn dΓ
x
Ω
∫∫
Ω
Ω
Γ
(5)
∂A
∂B
BdΩ + ABn y dΓ
A dΩ = −
∂y
∂y
Ω
Γ
∫∫
∫
Prowadzi to do następującej postaci równań
  ∂ w ∂u
∂w ∂ u 
 ∂u
1 ∂w
∂u  
+ v   dΩ =
P + w u
∂y  
∂x
 ∂x
∫∫ ν  ∂x ∂x + ∂y ∂y  − ρ
Ω
=
 ∂u

∫∫ wXdΩ + ∫ wν ∂x − P n
Ω
Γ
  ∂w ∂ v
∂w ∂ v 
1 ∂w
x
 ∂u  
n y dΓ
+ ν
 ∂y  
 ∂v
∂v  
∫∫ ν ∂x ∂x + ∂y ∂y  − ρ ∂y P + w u ∂x + v ∂y  dΩ =
Ω
=
∫∫
Ω
 ∂v 
 
 ∂v
wYdΩ + w ν nx +  ν − P  n y dΓ
∂x 
 
 ∂y
Γ 
∫
 ∂u
∂v 
∫∫ w ∂x + ∂y dΩ = 0
Ω
228
(6)
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
Przyjmując, że:
 ∂u 
 ∂u

− P nx + ν ny
t1 = ν
 ∂x

 ∂y 
 ∂v

 ∂v 
t2 =  ν nx +  ν − P ny
 ∂x 
 ∂y

równania (6) można zapisać w krótszej postaci:
  ∂w ∂u
∂w ∂u 
 ∂u
1 ∂w
∂u  
P + w u
+ v   dΩ =
∂x
∂y  
 ∂x
∫∫ ν  ∂x ∂x + ∂y ∂y  − ρ
Ω
= ∫∫ wXd Ω + ∫ wt1dΓ
Ω
  ∂w ∂v
Γ
∂w ∂v 
 ∂v
1 ∂w
∂v  
∫∫ ν ∂x ∂x + ∂y ∂y  − ρ ∂y P + w u ∂x + v ∂y  dΩ =
Ω
(7)
= ∫∫ wYdΩ + ∫ wt 2 dΓ
Ω
Γ
 ∂u
∂v 
∫∫ w ∂x + ∂y dΩ = 0
Ω
2. Algorytm MES
W celu rozwiązania równań (7) należy dokonać dyskretyzacji wnętrza Ω i brzegu obszaru Γ rozważanego obszaru płaskiego. Proces dyskretyzacji polega na zastąpieniu całej przestrzeni obszaru zbiorem prostych figur geometrycznych, najczęściej trójkątów lub czworokątów [3]. W przypadku równania przewodnictwa
ciepła wystarczy zastosować tzw. elementy skończone I rzędu, czyli posiadające
węzły tylko w wierzchołkach. Rozkład dowolnej wielkości wewnątrz takiego elementu określa się za pomocą liniowych funkcji aproksymacyjnych. Równanie
Naviera-Stokesa wymaga zastosowania elementów skończonych II rzędu, tzn. posiadających dodatkowe węzły w środku każdego boku. Dodatkowym wymogiem
jest zastosowanie mieszanych funkcji aproksymacyjnych. Podejście takie zapewnia
stabilność rozwiązania końcowego układu równań. Dla ułatwienia dalszych rozważań zastosowano trójkątne elementy skończone II rzędu z mieszanymi funkcjami
aproksymującymi, liniowymi i kwadratowymi. Tego typu elementy określa się
mianem elementów Taylora-Hooda.
Poniżej zaprezentowano postać równań (7) rozpisanych jako suma po wszystkich elementach skończonych
229
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
  ∂w ∂u
∂w ∂u 
 ∂u
1 ∂w
∂u 
∑ ∫∫ ν  ∂x ∂x + ∂y ∂y  − ρ ∂x P + w u ∂x + v ∂y  dΩ =
(e) Ω e


=
∑ ∫∫ wXdΩ + ∑ ∫ wt dΓ
1
( e) Ω e
  ∂w ∂v
( e ) Γe
∂w ∂v 
 ∂v
1 ∂w
∂v 
∑ ∫∫ ν  ∂x ∂x + ∂y ∂y  − ρ ∂y P + w u ∂x + v ∂y  dΩ =
(e) Ω e


=
∑ ∫∫
wYdΩ +
(e) Ω e
∑∫
(8)
wt2 dΓ
( e ) Γe
 ∂u
∂v 
∑ ∫∫ w ∂x + ∂y dΩ = 0
(e) Ωe
Do dalszych rozważań wprowadzono dwa rodzaje funkcji aproksymacyjnych
(funkcji kształtu elementów):
- w = L - liniowe funkcje kształtu;
∂w ∂N ∂w ∂N
=
,
=
- pochodne kwadratowych funkcji kształtu.
∂x ∂x ∂y ∂y
Dodatkowo zastosowano tzw. wielkości węzłowe:
u = N I u I , v = N I vI , u = N I u I
(9)
gdzie: i = 1,...,3, I = 1,...,6.
Stosując powyższe podstawienia, można zapisać dla pojedynczego elementu
skończonego:
  ∂N I ∂N J ∂N I ∂N J 
 ∂N I
∂N J  
1 ∂N I
{u} −
{u} dΩ =
+
+ vI
L j {P} + Li  u I
∂x ∂x
∂y ∂y 
∂x
∂y  
ρ ∂x

Ωe
∫∫ ν 
=
∫∫ N
I
  ∂N I ∂N J ∂N I ∂N J
+
∂x ∂x
∂y ∂y
∫∫ ν 
Ωe
∫
X I dΩ + N I t1dΓ
Ωe
Γe

 ∂N I
∂N J
1 ∂N I
{v} −
+ vI
L j {P} + Li  u I
ρ ∂y
∂x
∂y


=
∫∫ N Y dΩ + ∫ N t dΓ
I 2
I I
Ωe
Γe

 ∂N
∂N
∫∫ L  ∂x {u}+ ∂y {v}dΩ = 0
J
i
Ωe
gdzie: i, j = 1,...,3, I, J = 1,...,6.
230
J
 
{v} dΩ =
 
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
Wyprowadzając podstawienia:
 ∂N ∂N J ∂N I ∂N J 
 ∂N I
∂N J 
 + Li  uI

K11 = K 22 = ν  I
+
+ vI
∂y ∂y 
∂y 
 ∂x ∂x
 ∂x
K12 = K 21 = K 33 = 0
K13 = −
1 ∂N I
Lj
ρ ∂x
K 23 = −
1 ∂N I
Lj
ρ ∂y
K 31 = Li
∂N J
∂x
K 32 = Li
∂N J
∂y
(10)
oraz:
B1 = N I X I
B2 = N I YI
(11)
B3 = 0
można zapisać dla pojedynczego elementu skończonego
 K11
 0
∫∫

Ωe
 K31
0
K 22
K 32
K13  u I 
 B1 



K 23 dΩ  vI  = ∫∫  B2 dΩ
0   Pi  Ω e  0 
(12)
Dokonując agregacji modelu dyskretnego, otrzymuje się standardową postać
układu równań
(13)
Kx = B
3. Przykład symulacji numerycznej
Na rysunku 1 przedstawiono symulację przepływu pomiędzy dwoma nieruchomymi równoległymi ścianami. Na lewej krawędzi zadano stałą prędkość u = 0.05.
Gęstość ρ = 1. Lepkość kinematyczna dla rysunków a, c, e wynosi ν = 1, dla b, d, f
231
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
lepkość ν = 0.001. Obliczenia wykonano dla obszaru pokrytego siatką złożoną
z 1214 6-węzłowych trójkątnych elementów skończonych.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Rys. 1. Prędkość u (a, b), v (c, d) i ciśnienie p (e, f) dla stanu ustalonego
Wnioski
Rozwiązanie numeryczne równań N-S nastręcza kilka problemów. Należy zaznaczyć, że macierz K jest źle uwarunkowana, co powoduje niedogodności w rozwiązaniu układu równań. Zastosowanie nieodpowiedniego preconditionera dla
metod iteracyjnych może powodować wolne zbieganie się rozwiązania lub wręcz
brak zbieżności. Stosunkowo szybko uzyskuje się rozwiązania, stosując metodę
SuperLU. Kolejnym problemem są silnie nieliniowe człony bezwładnościowe występujące w równaniach N-S. Jeżeli są one niezerowe, należy do ostatecznego wyniku dochodzić poprzez ciąg rozwiązań iteracyjnych. Można tego dokonać, stosując metodę iteracji bezpośredniej lub też metodę Newtona-Raphsona. Poza tym,
gdy w rozważanym ośrodku ciekłym konwekcja zaczyna dominować nad dyfuzją,
może się okazać, że standardowe sformułowanie Galerkina może nie wystarczyć
232
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
do osiągnięcia poprawnego rozwiązania. Należy wówczas uciec się do innego
sformułowania MES, np. metody Petrova-Galerkina [4].
Literatura
[1]
[2]
[3]
[4]
Bathe K.J., Finite Element Procedures, Prentice Hall, New Jersey 1996.
Gryboś R., Podstawy mechaniki płynów, PWN, Warszawa 1989.
Zienkiewicz O.C., Metoda elementów skończonych, Arkady, Warszawa 1972.
Onate E., Manzan M., Stabilization Techniques for Finite Element Analysis of ConvectionDiffusion Problems, Computational Analysis of Convection Heat Transfer, WitPress Southhampton, Boston 2000.
233