Znajdź długości boków prostokąta, których stosunek wynosi 3:4, a

Znajdź długości boków prostokąta, których stosunek wynosi 3:4, a pole jest równe
48 cm2.
1. Analizujemy zdania – czytając zastanawiamy się, o jakich (abstrakcyjnych) przedmiotach
jest mowa i oznaczamy je jakoś symbolicznie literkami.
Znajdź długości boków prostokąta …
Jest mowa o prostokącie, a konkretnie to o jego bokach, więc oznaczmy je sobie przez a i b:
a – pierwszy bok prostokąta
b – drugi bok prostokąta
… których stosunek wynosi 3:4…
To oznacza: „stosunek długości boków prostokąta wynosi 3:4”. Mamy tu następną „rzecz” –
„stosunek”. Oznaczmy go sobie przez s.
s – stosunek (długości boków prostokąta).
Mamy podane, że stosunek ten jest równy pewnej liczbie:
s = ¾.
a pole jest równe 48 cm2.
Teraz jest mowa o polu (to się odnosi do prostokąta). Oznaczmy pole przez p:
p – pole prostokąta.
Tu też mamy podaną wartość liczbową:
p = 48
(możemy tu pominąć jednostkę, jeśli zapamiętamy, żeby w odpowiedzi ją uwzględnić).
2. Zapisujemy wszystkie możliwe równania wiążące wielkości podane – zastanawiamy się,
czym są dla siebie nawzajem te wielkości.
Stosunek długości boków to oczywiście iloraz a i b:
a
a 3
= s , więc =
(dalej nie musimy już w takim razie pisać literki s, możemy sobie
b
b 4
poradzić bez niej).
Pole prostokąta ma się do długości boków prostokąta tak, że jest ich iloczynem:
p = ab , więc ab = 48 .
3. Czytamy jeszcze raz treść zadania i zastanawiamy się, o co nas w ogóle pytają – czego
mamy szukać.
Znajdź długości boków prostokąta …
4. A skoro już to wiemy, to zastanawiamy się jak możemy to obliczyć z tego, co już mamy:
a 3
=
ab = 48 .
oraz
b 4
Jeśli w otrzymanych równaniach powtarza się jakaś wielkość (a tu powtarzają się aż dwie:
a i b), to możemy równania te przekształcić tak, żeby w obydwu (czy ogólnie jakichś dwóch,
jeśli mamy ich więcej) dostać wyrażenie na tę wielkość.
Tutaj możemy przekształcić równania tak, żeby dostać wyrażenia na a.
3
48
Mamy: a = b oraz a =
.
4
b
Skoro i jedno i drugi równanie jest wyrażeniem na a, to możemy je ze sobą porównać:
3
48
b=
,
4
b
3 2
a więc: b = 48 ,
4
4 48
2
⋅ 4 = 16 ⋅ 4 = 64 .
a więc: b = 48 ⋅ =
3 3
Skoro b podniesione do kwadratu jest równe 64, to samo b jest równe 8 (wiadomo, że b jest
liczbą dodatnią).
5. Obliczyliśmy jedną z wielkości. Teraz szukamy takiego równania, z którego łatwo będzie
obliczyć drugą na podstawie tej pierwszej, już znanej.
Weźmy np. ab = 48 . Mamy stąd, że:
48 48
a=
=
= 6.
b
8
a 3
6. Sprawdzamy, czy to się zgadza z drugim równaniem: = .
b 4
Jeśli podstawimy za lewą stronę długości boków, czyli 6/8, i skrócimy ułamek przez 2, to
istotnie otrzymujemy 3/4, co upewnia nas, że dobrze rozwiązaliśmy zadanie.
7. Dajemy odpowiedź (pamiętając o jednostce).
Odp.: Boki prostokąta mają długość 6 cm i 8 cm.
Zadanie pochodzi ze zbioru W. Łęska, S. Łęski, I ty zostaniesz Pitagorasem, Warszawa 1997
(zad. 4 str. 56).