docAspekty losowości w modelach symulacyjnych
download 
Reklamacja Transkrypt
Aspekty losowości w modelach symulacyjnych
Nr 77 Prace Naukowe Instytutu Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Studia i Materiały Nr 77 Nr 19 2005 Bożena MIELCZAREK* ss. 29–44 ASPEKTY LOSOWOŚCI W MODELACH SYMULACYJNYCH „Nigdy nie uwierzę, że Bóg gra ze światem w kości”. Taki pogląd wyrażał Albert Einstein nie mogąc pogodzić się z interpretacją zjawisk oferowaną przez fizykę kwantową. Według tej najlepiej chyba potwierdzonej empirycznie teorii wszechświata, w prawa przyrody wbudowana jest przypadkowość na poziomie fundamentalnym. Oznacza to ni mniej ni więcej, że naszym światem rządzi losowość i w kategoriach prawdopodobieństwa należy rozpatrywać zaistnienie bądź nie zjawisk fizycznych. W artykule pokazano jak losowość świata rzeczywistego rzutuje na proces tworzenia i uruchamiania modelu symulacyjnego. Omówiono wpływ losowego charakteru odwzorowywanych zjawisk na przebieg procesu modelowania. 1. WPROWADZENIE Żadna chyba teoria fizyczna nie odniosła tak spektakularnych sukcesów jak fizyka kwantowa. Zastąpiła wszystkie wcześniejsze teorie klasyczne (z wyjątkiem ogólnej teorii względności), a większość fizyków wierzy, że jej ostateczne zwycięstwo to tylko kwestia czasu. Ocenia się [Tegmark i Wheeler 2001], że obecnie aż 30% amerykańskiego produktu krajowego brutto zawdzięcza się wynalazkom, które nie powstałyby bez mechaniki kwantowej, jak półprzewodnikowe procesory komputerowe, lasery w odtwarzaczach kompaktowych, szpitalna aparatura diagnostyczna wykorzystująca zjawisko rezonansu magnetycznego i wiele, wiele innych. Według teorii kwantów [Carson 2000], obiekt istnieje jednocześnie w kombinacji wielu stanów (tzw. superpozycji), a to w jakim stanie zaobserwują go eksperymentatorzy należy interpretować w kategoriach prawdopodobieństwa. Osławionym przykładem jest tu tzw. kot (myślowy na szczęście) Schrődingera [1935]. Fizyk opisał dość drastyczne doświadczenie myślowe, w którym jakieś złośliwe urządzenie zabije kota, gdy nastąpi rozpad atomu pierwiastka promieniotwórczego. Z uwagi na to, że taki radioaktywny atom przechodzi w stan, który jest superpozycją __________ * Politechnika Wrocławska, Instytut Organizacji i Zarządzania; [email protected] 30 Bożena Mielczarek stanu z rozpadem i bez rozpadu, oznaczałoby to, że kot jest równocześnie i żywy i martwy. Akt obserwacji kota powoduje natomiast, że widzimy go w określonym stanie klasycznym (żywy lub martwy). Przyjmujemy, że natura wybiera jeden z dwóch stanów przypadkowo z prawdopodobieństwem wyznaczonym przez funkcję falową. Prostszy wariant tego doświadczenia przedstawia rys. 1. Ustawiona idealnie pionowo karta powinna, zgodnie z fizyką klasyczną, pozostać w tym stanie równowagi na zawsze, natomiast zgodnie z teorią kwantów karta przewróci się w ciągu kilku sekund i to jednocześnie w obu kierunkach, gdyż stan końcowy jest superpozycją obu ewentualności. To, że widzimy ją albo licem do góry albo na dół jest ciągle wielką zagadką mechaniki kwantowej, którą wyjaśnia się korzystając właśnie z pojęcia prawdopodobieństwa. Rys. 1. Kwantowe karty. Źródło: [Tegmark i Wheeler 2001] Interpretacja probabilistyczna i stworzone modele matematyczne pozwalają formułować bardzo dokładne przewidywania. Według mechaniki kwantowej, wszechświat ewoluuje zgodnie z regułami systemu matematycznego, ale określa on tylko prawdopodobieństwo nastąpienia jakiejś wersji przyszłości, nie stwierdza natomiast, która z możliwych rzeczywistości zostanie zrealizowana. Wniosków wynikających z teorii kwantów nie akceptuje wielu uczonych (wśród nich był Albert Einstein). Wszyscy zgadzają się jak stosować równania teorii, aby otrzymać dokładne przewidywania. Wątpliwości budzą natomiast same fale prawdopodobieństwa i sposób dokonywania przez cząstkę wyboru swojej przyszłości. Budując modele symulacyjne wybranych systemów rzeczywistych nie musimy tak głęboko wnikać w naturę wszechświata. Wystarczy, że akceptując probabilistyczny charakter otaczającego nas świata będziemy potrafili przenieść go do budowanych przez nas modeli i – stosując odpowiednie procedury i techniki – uzyskamy wiarygodne wyniki, które poddamy poprawnej interpretacji. Podstawową zaletą symulacji jest przecież możliwość uwzględniania, praktycznie bez ograniczeń, niepewności i niestacjonarności systemów rzeczywistych, i to w odniesieniu zarówno do liczby uwzględnianych zjawisk losowych, jak i sposobów ich przedstawienia w modelu – niekoniecznie za pomocą standardowych (teoretycznie opisanych) rozkładów. Po- Aspekty losowości w modelach symulacyjnych 31 ważne niebezpieczeństwo tkwi jednak w niewłaściwym operowaniu losowością, co może prowadzić do katastrofalnej w swoich skutkach interpretacji wyników. Wydaje się, że to właśnie nieumiejętność radzenia sobie z szeroko rozumianą niepewnością zjawisk jest jedną z przyczyn ostrożnego stosowania modeli symulacyjnych w praktyce. W artykule próbuję przyjrzeć się procesowi budowy i stosowania stochastycznych modeli symulacyjnych. Przyjmując, że otaczające nas zjawiska rzeczywiste mają naturę probabilistyczną pokazuję jak niepewność wpleść do modelu symulacyjnego, jak upewnić się, że losowy charakter uzyskiwanych wyników oddaje istotę systemu, którego model zbudowaliśmy, a nie wynika z błędów, które popełniliśmy w trakcie prac nad modelem. Wreszcie, zastanawiam się jak gromadzić wyniki symulacji i w jaki sposób je interpretować, aby pogłębić naszą wiedzę o badanym systemie. W trakcie budowy modelu symulacyjnego wyróżnić można cztery fazy, w których szczególnie silnie uwidacznia się wpływ losowości zjawisk rzeczywistych na proces modelowania. Są to etapy: (1) gromadzenia i przygotowania danych źródłowych, (2) uzyskania losowych charakterystyk zmiennych w modelu symulacyjnym, (3) weryfikacji i walidacji modelu, (4) planowania eksperymentów symulacyjnych i analizy wyników symulacji. W dalszej części artykułu próbuję przyjrzeć się trzem spośród czterech wymienionych etapów z perspektywy wymagań narzucanych przez losowy charakter modelowanej rzeczywistości. Nieomówienie zagadnienia walidacji modelu symulacyjnego nie oznacza, że na tym właśnie etapie badania symulacyjnego losowość nie odgrywa ważnej roli. Wręcz przeciwnie – przebieg procesu walidacji stochastycznego modelu symulacyjnego jest zagadnieniem na tyle obszernym, że wymaga poświęcenia mu odrębnego artykułu. 2. GROMADZENIE I PRZYGOTOWANIE DANYCH ŹRÓDŁOWYCH Proces zbierania danych źródłowych jest zwykle procesem długim i nużącym, ale odgrywa kluczową rolę w procesie symulacji. Niewłaściwe dane wejściowe mogą całkowicie zdyskredytować model poprzez doprowadzenie do błędnych wyników badania symulacyjnego. Po zidentyfikowaniu źródeł niepewności należy podjąć decyzję czy będą one reprezentowane przez wielkości uśrednione, czy przez rozkłady losowe. Próba włączenia do modelu wszystkich rozpoznanych elementów losowych może znacząco utrudnić późniejsze planowanie i wykonanie eksperymentów symulacyjnych. Z drugiej strony, zastąpienie źródeł niepewności danymi na temat wielkości średnich może drastycznie wpłynąć na dokładność modelu. Czasami sam system wymusza przyjęcie upraszczających założeń – dzieje się tak w przypadku braku możliwości pozyskania danych, które pozwoliłyby na oszacowanie losowości. Jeżeli jednak możliwe jest ze- 32 Bożena Mielczarek branie danych na temat losowego charakteru zmiennych, mamy do wyboru trzy sposoby ich wykorzystania w modelu (por. [Law i Kelton 1991]). 1. Dane są bezpośrednio wykorzystane w trakcie symulacji. Na przykład, jeżeli zebrane dane wejściowe opisują czas obsługi klienta na stanowisku obsługi, to poszczególne wartości są pobierane (np. z zewnętrznej bazy danych) za każdym razem, kiedy model symulacyjny wykorzystuje w obliczeniach czas obsługi klienta. 2. Zebrane dane wykorzystuje się do sformułowania rozkładu empirycznego, z którego pobiera się wartości zawsze wtedy, kiedy proces symulacji tego wymaga. 3. Za pomocą metod statystycznych dopasowuje się teoretyczne rozkłady zmiennych losowych do zebranych danych a następnie testami statystycznymi sprawdza się poprawność postawionych hipotez. Jeżeli rozkład teoretyczny dostatecznie dobrze opisuje zebrane dane, w procesie symulacji wykorzystuje się wartości naliczane za pomocą tych rozkładów. Wadą podejścia pierwszego jest, że symulacja może jedynie odtwarzać to, co miało już miejsce w przeszłości historycznej, a zatem nie jesteśmy w stanie prognozować zachowania się systemu. Ponadto, dysponujemy zwykle zbyt małą ilością danych, aby w pełni przeprowadzić proces symulacji. Podejście drugie nie ma wad pierwszego, ale rozkład empiryczny może zawierać w sobie pewne nieregularności, które zaburzą proces symulacji. Nie możemy generować danych spoza zakresu rozkładu empirycznego, co stanowi znaczące utrudnienie, jako że modele symulacyjne budowane są najczęściej w celu badania zachowania się systemu w warunkach ekstremalnych. Wreszcie, rozkład empiryczny wymaga dużych zasobów pamięci, ponieważ - jeżeli niezbędnych będzie nam n wartości w trakcie symulacji – musimy wprowadzić do pamięci 2n pozycji. Zdecydowanie najlepsze jest podejście trzecie, ponieważ rozkład teoretyczny „wygładza” nierówności rozkładu empirycznego oraz umożliwia generowanie wartości ekstremalnych; takie rozwiązanie wymaga ponadto minimum pamięci komputera. Oczywiście zdarzają się sytuacje, kiedy nie jesteśmy w stanie dopasować rozkładu teoretycznego do zebranych danych. W takim przypadku zaleca się budowę rozkładu empirycznego (por. [Law i Kelton 1991]). Dopasowywanie rozkładów Decydując się na dopasowanie teoretycznych rozkładów losowych musimy pamiętać, że większość technik statystycznych opiera się na założeniu niezależności obserwacji. Jeżeli na przykład chcemy zbudować model symulacyjny systemu sterowania zapasami i zbieramy dane określające dzienną liczbę zamówionych produktów powinniśmy najpierw sprawdzić, czy dzienna liczba zamówień zależy od dnia tygodnia. Jeżeli tak rzeczywiście jest, należy podjąć próbę określenia rozkładu prawdopodobieństwa zamawianych produktów dla każdego dnia tygodnia oddzielnie. Po upewnieniu się, że poszczególne obserwacje próby są niezależne, stawiamy hipotezę odnośnie do typu rozkładu. Możemy w tym celu wykorzystać posiadaną wie- Aspekty losowości w modelach symulacyjnych 33 dzę na temat opisywanego zjawiska. Możemy również stosować wnioskowanie heurystyczne poprzez, na przykład: • szacowanie - na podstawie danych z próbki - podstawowych parametrów statystycznych takich jak: średnia, mediana, wariancja i inne. Wartości i wzajemne relacje pomiędzy tymi parametrami mogą zasugerować typ rozkładu. (Np. dla rozkładów symetrycznych wartości średniej i mediany są prawie identyczne), • wyznaczanie histogramów (dla rozkładów ciągłych) i wykresów liniowych (dla rozkładów dyskretnych) i dopasowanie do nich (wg kształtu) znanych wykresów funkcji gęstości (dla rozkładów ciągłych) i funkcji prawdopodobieństwa (dla rozkładów dyskretnych). Przyjęcie lub odrzucenie hipotezy w teście statystycznym nie jest równoznaczne z logicznym udowodnieniem jej prawdziwości lub fałszywości. Należy bowiem pamiętać, że odrzucając sprawdzaną hipotezę kierujemy się jedynie tym, że dane liczbowe wynikające z badania rzeczywistości dają nam małą szansę prawdziwości tej hipotezy, nie zgadzają się z nią. Możliwe jednak, że jest na odwrót, tzn. hipoteza jest prawdziwa, a tylko nasze dane liczbowe z próby są złe lub po prostu mało prawdopodobne przy tej hipotezie. Modele przybywania zgłoszeń W wielu modelach symulacyjnych niezbędne jest zdefiniowanie mechanizmów generujących strumienie napływających zgłoszeń. Strumienie takie opisuje się zazwyczaj za pomocą tzw. interwału, czyli odstępu czasu między nadejściem kolejnych zgłoszeń (por. [Law i Kelton 1991]). Jeśli strumień zgłoszeń nie wykazuje zmienności, to interwał jest oczywiście stały. W przypadku, gdy zgłoszenia są losowe, interwał jest również zmienną losową i należy określić jego funkcję prawdopodobieństwa. Zgłoszenia bywają najczęściej całkowicie przypadkowe. Oznacza to przyjęcie założenia, że czas nadejścia zgłoszenia jest niezależny od poprzednich zgłoszeń, a prawdopodobieństwo zgłoszenia w przedziale dt jest proporcjonalne do długości tego przedziału. Przy tych założeniach można wykazać, że rozkład interwałów jest wykładniczy i funkcja gęstości prawdopodobieństwa interwału dana jest wzorem: f (t ) = λ e − λt , t≥0 (1) Przy wykładniczym rozkładzie interwałów, prawdopodobieństwo nadejścia n zgłoszeń w przedziale o długości t dane jest z kolei wzorem (rozkład Poissona): P ( n) = (λ t ) n e − λt n! n = 0,1,2,.... (2) gdzie λ to średnia liczba zgłoszeń w danym przedziale czasu. Rozkład Poissona ma duże znaczenie praktyczne, gdyż opisuje on strumienie zgłoszeń (klientów, wyrobów, wniosków kredytowych, pacjentów, ...) w wielu rodzajach 34 Bożena Mielczarek Lambda [liczba zgł/godz] systemów. Sięga się po niego zawsze wtedy, gdy zgłoszenia przybywają do systemu pojedynczo, momenty ich pojawiania się są od siebie niezależne, zachowane jest przy tym pewne średnie tempo napływania. Rozkład ten jest również stosowany do opisu procesów obsługi. Jeżeli czas obsługi jest traktowany jako całkowicie przypadkowy, to można go przedstawić za pomocą rozkładu wykładniczego. Związany z nim rozkład Poissona określa liczbę zgłoszeń obsłużonych w danym przedziale czasu. W wielu systemach rzeczywistych tempo pojawiania się zgłoszeń zmienia się jednak w czasie (pora obiadowa w barach, godziny korków ulicznych, itd.; por. rys.2) i zaniedbanie niestacjonarności może doprowadzić do znacznych błędów. Symulacja oferuje bardzo istotną (i raczej rzadką) możliwość uwzględniania niestacjonarności poprzez wprowadzenie funkcji parametru przybywania zgłoszeń λ = f(t), która podaje różne wartości parametru λ dla różnych momentów czasu t. W trakcie trwania symulacji kolejne zgłoszenia generowane są według parametru natężenia zgłoszeń właściwego dla danego okresu, co pozwala na dynamiczne dopasowanie liczby pojawiających się w modelu obiektów do rzeczywistego strumienia zgłoszeń. Czas [godz] Rys. 2. Zmiana tempa przybywania zgłoszeń w ciągu doby. Źródło: opracowanie własne. 3. UZYSKANIE LOSOWYCH CHARAKTERYSTYK ZMIENNYCH Ustalenie postaci rozkładu losowego, który będzie poprawnie opisywał badane zjawisko jest znaczącym osiągnięciem modelującego, ale nie zapewni mu uzyskania w modelu zmienności o postulowanym charakterze. Dostępne obecnie narzędzia do prowadzenia symulacji pozwalają stosunkowo prosto otrzymać pożądany rozkład losowy (najczęściej wystarczy wywołać odpowiednią funkcję), jednakże znajomość mechanizmów generowania zmiennych losowych może okazać się niezwykle użyteczna przy realizacji eksperymentów symulacyjnych. Uzyskanie w modelu losowych zmian zgodnych z wybranym rozkładem obejmuje w zasadzie dwa etapy: generowanie liczb losowych o rozkładzie równomiernym z Aspekty losowości w modelach symulacyjnych 35 przedziału [0,1] a następnie przekształcanie uzyskanych liczb losowych w dowolny rozkład zmiennej losowej czy w dowolny proces stochastyczny (np. niestacjonarny rozkład Poissona). Metodologia generowania liczb losowych ma niezwykle długą i interesującą historię. Pierwsze metody proponowały rzuty monetą, wyciąganie żetonów z kapelusza czy wybór kart z talii. Począwszy od lat dwudziestych XX wieku również i w tę dziedzinę zaczęła wkraczać mechanizacja. Pojawiły się pierwsze maszyny losujące, które w sposób mechaniczny wybierały liczby losowe. Urządzenia takie istnieją zresztą do dzisiaj i mają się całkiem dobrze (np. maszyny losujące wykorzystywane w Totalizatorze Sportowym). Wraz z rozwojem komputeryzacji wzrastało jednak zapotrzebowanie na szybko i łatwo dostępne liczby losowe i to w dużych ilościach. Początkowo stosowano tablice liczb losowych (np. te przygotowane przez Rand Corporation), ale coraz bardziej złożone modele symulacyjne potrzebowały coraz obfitszych strumieni liczb losowych i tablice (konsumujące znaczne zasoby pamięciowe) przestały satysfakcjonować użytkowników. Na przełomie lat czterdziestych i pięćdziesiątych XX wieku opracowano algorytmy umożliwiające pozyskanie liczb „losowych”. Algorytmy te, nazwane generatorami liczb pseudolosowych dostarczają ciągów liczb, które spełniają statystyczne własności liczb rzeczywiście losowych jednakże są całkowicie deterministyczne, tj. każda z liczb jest zdeterminowana przez poprzednią, zaś wszystkie te liczby są uzależnione od liczby początkowej. Znając konstrukcję generatora oraz jego parametry możemy bezbłędnie przewidzieć cały ciąg liczb. Takie rozwiązanie zadowala statystyków natomiast symulogom oferuje dodatkowo niezwykle użyteczną w badaniach symulacyjnych cechę. Pozwala bowiem na wielokrotne powtarzanie eksperymentu symulacyjnego w identycznych warunkach, co nie byłoby możliwe przy rezygnacji z determinizmu liczb produkowanych przez generatory. Badania nad poszukiwaniem doskonałego generatora liczb losowych ciągle trwają (por. [Hellekalek 1998], [Proykova 2000]). Jak jednak pokazuje praktyka, nawet bardzo dobry generator napotyka kiedyś w końcu na taki model, w którym działa jak antybiotyk: leczy ale powoduje efekty uboczne. Użytkownicy języków symulacyjnych korzystają najczęściej z generatorów oferowanych wraz z pakietami. Ich jakość może być jednak różna i warto to wziąć pod uwagę przed podjęciem decyzji o wyborze oprogramowania. Przekształcenie liczb losowych w pożądany rozkład zmiennej losowej odbywa się najczęściej bez udziału użytkowników pakietów symulacyjnych. Nie jest im w zasadzie potrzebna wiedza o tym, którą z metod matematycznych (transformacji odwrotnej, kompozycji, skrętu czy inną) zastosowano. Modelujący musi być natomiast świadomy tego, że pobieranie wartości z rozkładów losowych skutkuje losowym charakterem wyników symulacji i automatycznie wprowadza wariancję do pozyskiwanego na wyjściu zbioru wartości. Im wyższa wariancja, tym mniej precyzyjne będą wyniki, tym szersze przedziały ufności, tym większa niepewność rezultatów symulacji. 36 Bożena Mielczarek Bardzo pomocne w częściowym przynajmniej niwelowaniu wariancji są metody redukcji wariancji1, z których na szczególną uwagę zasługuje metoda jednakowych ciągów losowych2. CRN poprawnie zastosowana, pozwala na uzyskanie precyzyjniejszych rezultatów symulacji niejako „przy okazji”, bez dodatkowego inwestowania w proces modelowania. Jest to możliwe dzięki kontroli, którą za pomocą wspomnianych wcześniej generatorów sprawujemy nad losowością odwzorowywanych zjawisk. Świadome i umiejętne manipulowanie mechanizmem procesu generowania zmiennych losowych na etapie budowy modelu może być silnym narzędziem ułatwiającym późniejsze zmniejszanie wariancji w wynikach symulacji. Ta niezwykle cenna, chociaż nie zawsze doceniania własność stanowi jedną z istotniejszych zalet symulacji stochastycznej. Nie chcemy przecież pozbyć się losowości z budowanego modelu, skoro model ten ma poprawnie opisać zjawisko fizyczne, będące w samej swojej naturze losowym. Wysoka wariancja może nam jednak zaburzyć właściwą ocenę. Wysiłek, jaki wkładamy w projektowanie eksperymentów symulacyjnych (por. pkt. 4) ma na celu właśnie zmniejszenie wariancji. Metody redukcji wariancji pozwalają dodatkowo, poprzez umiejętne korzystanie z generatorów liczb losowych poprawić jakość danych wynikowych. Celem stosowania techniki CRN jest upewnienie się, że badamy alternatywne konfiguracje systemu w podobnych warunkach eksperymentalnych [Kelton i in. 2002]. W przypadku zaobserwowania istotnych różnic w wartościach wskaźników będziemy wtedy mieli pewność, że zmiany te wynikają z różnic w konfiguracji systemu, nie są natomiast rezultatem fluktuacji w „warunkach eksperymentu”. Metoda CRN zakłada stosowanie jednakowych ciągów liczb losowych do generowania tych samych wielkości w różnych eksperymentach. Technicznie oznacza to konieczność synchronizacji, czyli wykorzystania tych samych liczb losowych do nadania wartości tym samym atrybutom w obu badanych konfiguracjach. Metodę CRN zastosowano w prostym modelu systemu produkcyjnego (por. rys. 3). Wyroby, po wprowadzeniu na halę produkcyjną poddawane są dwóm procesom obróbki, po których następuje kontrola jakości. Większość wyrobów, tzn. te, u których nie stwierdzono usterek, opuszcza halę. Wyroby które nie spełniają wymogów, ale możliwa jest ich korekta, są ponownie podawane obróbce w ramach drugiego procesu. Natomiast niewielki procent braków opuszcza halę w postaci osobnego potoku. Zastosowanie metody CRN wymaga określenia wszystkich losowych elementów modelu a następnie uzależnienia ich losowego charakteru od odrębnych ciągów liczb losowych. W tabeli 1 zebrano losowe elementy modelu z rys. 3 (wersja A modelu) i przypisano im te same (model A1) oraz różne (model A2) ciągi liczb losowych. Następnie model z rys. 3 zmodyfikowano (wersja B modelu) wprowadzając założenie, że __________ 1 2 ang. VRT: variance-reduction technique ang. CRN: common random numbers Aspekty losowości w modelach symulacyjnych 37 wyroby poddane korekcie nie podlegają ponownej kontroli jakości i automatycznie uznane zostają za wyroby bez usterek. Przy zmienionej konfiguracji modelu również zdefiniowano wersję B1 (jeden ciąg losowy dla wszystkich zmiennych losowych) oraz wersję B2 (różne ciągi dla różnych elementów losowych). Badania symulacyjne miały na celu porównanie wersji A i B modelu poprzez określenie średniego czasu pobytu w systemie wyrobów uznanych ostatecznie jako braki. Eksperyment przeprowadzono dwuetapowo porównując (1) wersje A1 oraz B1, czyli dwie alternatywne konfiguracje modelu, w których wszystkie elementy losowe są generowane z wykorzystaniem jednego ciągu liczb losowych oraz (2) wersje A2 oraz B2, w których za każdy losowy element modelu odpowiedzialny jest inny (ale ten sam w obu konfiguracjach) ciąg liczb losowych. W przypadku etapu numer 2 zadbano o to, aby te same atrybuty w modelach A2 i B2 były generowane z wykorzystaniem tego samego ciągu liczb losowych. Rys. 3. Model prostego systemu produkcyjnego. Źródło: opracowanie własne za pomocą pakietu Arena v.5.0. Wyniki eksperymentu przedstawia tabela 2. W celu wyraźniejszego zademonstrowania wpływu synchronizacji ciągów liczb losowych na wariancję wyników symulacji, oba etapy eksperymentu powtórzono zwiększając liczbę powtórzeń symulacyjnych (wykonano 10, 20, 30 i 50 powtórzeń). Badanym miernikiem był średni czas pobytu w systemie wyrobów uznanych ostatecznie jako braki. Skuteczność metody CRN obserwowano za pomocą 95% przedziału ufności wyliczanego dla różnicy pomiędzy wartością oczekiwaną średniego czasu pobytu w systemie braków w konfiguracji A oraz wartością oczekiwaną średniego czasu pobytu w systemie braków w konfiguracji B. Uzyskane wyniki wyraźnie pokazują, że w kategoriach precyzji oszacowania wielkości wynikowych symulacji, zastosowanie metody CRN zmniejsza przedział ufności przy porównywaniu różnicy pomiędzy dwiema konfiguracjami tego samego modelu. Należy podkreślić, że zwiększoną dokładność uzyskano bez ponosze- 38 Bożena Mielczarek nia żadnych dodatkowych nakładów ani w trakcie budowy modelu ani w trakcie wykonywania eksperymentów symulacyjnych. Tab. 1. Wykaz losowych elementów modelu z rys. 3 wraz z przyporządkowanymi strumieniami liczb losowych dla badanych konfiguracji (A i B). Indeks 1 przy literach określających konfigurację modelu oznacza wersję z jednym ciągiem liczb losowych. Indeks 2 oznacza wersję z oddzielnymi ciągami liczb losowych dla poszczególnych atrybutów. Element losowy modelu Wprowadzanie wyrobów Czas obsługi w pierwszym procesie Czas obsługi w drugim procesie Czas kontroli jakości Wynik kontroli jakości Rozkład losowy Strumień liczb losowych dla wersji A1 i B1 Strumień liczb losowych dla wersji A2 i B2 POISSON(5) 10 10 TRÓJKĄTNY(1,3,6) 10 1 TRÓJKĄTNY(1,3,6) 10 2 JEDNOSTAJNY(1,2,3) 10 3 Podział procentowy 10 4 Tab. 2. Zestawienie wielkości 95% przedziałów ufności wyliczanych dla różnicy pomiędzy wartością oczekiwaną średniego czasu pobytu w systemie wyrobów uznanych jako braki w konfiguracji A minus ta sama wielkość w konfiguracji B. Indeks 1 oznacza wersję z jednym ciągiem liczb losowych. Indeks 2 oznacza wersję z oddzielnymi ciągami liczb losowych dla poszczególnych atrybutów. Liczba powtórzeń symulacyjnych Długość 95% przedziału ufności przy porównaniu czasu pobytu braków w konfiguracji A1 i B1 Długość 95% przedziału ufności przy porównaniu czasu pobytu braków w konfiguracji A2 i B2 10 20 30 50 6,46 3,97 3,11 2,55 5,18 3,87 3,08 2,48 4. PLANOWANIE EKSPERYMENTÓW SYMULACYJNYCH I ANALIZA WYNIKÓW SYMULACJI Badania symulacyjne prowadzone na modelach stochastycznych nie odsłaniają jednoznacznie przed badaczem przyszłości. Za pomocą symulacji nie pozyskamy wiedzy o tym jak dokładnie zachowa się system (wtedy wszyscy symulogowie dawno już byliby milionerami a wszelkie gry losowe zostałyby zakazane w trosce o budżet państwa). Za pomocą symulacji możemy jedynie określić typowe zachowanie systemu, czyli takie zachowanie, które ma największą szansę zaistnienia. Równie często jeste- Aspekty losowości w modelach symulacyjnych 39 śmy nie tyle zainteresowani poznaniem najbardziej prawdopodobnego scenariusza, ale chcielibyśmy określić prawdopodobieństwo zajścia najbardziej niekorzystnego przypadku. Bez względu jednak na to, jaki cel badań stawiamy przed sobą, za pomocą symulacji nie uzyskamy dokładnej odpowiedzi na postawione pytania, ale będziemy mogli oszacować wartości średnie, prawdopodobieństwo zajścia lub nie danego zdarzenia, długości przedziałów ufności. Losowe wejście oznacza równie losowe wyjście a to z kolei wymusza zaplanowanie i przeprowadzenie eksperymentów symulacyjnych w odpowiedni sposób. Z punktu widzenia strategii prowadzenia badań, większość symulacji można zaklasyfikować jako symulacje pulsacyjne3, czyli takie w których to model wskazuje warunki rozpoczynania i kończenia eksperymentu jako naturalne odzwierciedlenie sposobu działania systemu, (np. każda instytucja czynna dla klientów w określonych godzinach doby), oraz symulacje niezmiennicze4 badające systemy pracujące bez przerwy przez (teoretycznie) nieskończony czas (przykładem może być pogotowie ratunkowe, które odbiera wezwania przez całą dobę czy system produkcyjny pracujący w systemie trzyzmianowym). Rozróżnienie obu typów symulacji ma kluczowe znaczenie przy planowaniu strategii dla eksperymentów symulacyjnych. Zdecydowanie lepiej (dla badacza oczywiście, symulacji nikt nie pyta o opinię) jest mieć do czynienia z symulacjami pulsacyjnymi. Cechą charakterystyczną systemów działających w taki sposób jest bowiem naturalne niewypełnienie w momencie rozpoczynania pracy, tj. brak zgłoszeń w chwili startu, niezajęte i dostępne stanowiska obsługi, brak kolejek. Dokładnie taki stan odzwierciedla model symulacyjny wprawiony w ruch bez uprzedniego definiowania warunków początkowych. Pozyskanie statystycznie poprawnej próby z wynikami symulacji jest stosunkowo proste – wystarczy wykonać n niezależnych powtórzeń, zebrać wyniki z każdego powtórzenia i traktując uzyskane wartości badanego miernika (np. czasu pobytu w systemie, czy całkowitego kosztu obsługi) jako realizacje zmiennej losowej, wyznaczyć wartości oczekiwane. Kluczowe znaczenie ma tutaj ustalenie właściwej liczby powtórzeń symulacyjnych. Przedział ufności, często wyliczany automatycznie w pakietach symulacyjnych, może nas poinformować o jakości próby losowej. Dla przyjętego poziomu ufności (najczęściej 95%) wyliczony według wzoru (3) przedział liczbowy jest „losowym” przedziałem, który z założonym prawdopodobieństwem (tj. 0,95 dla 95% przedziału ufności) zawiera wartość oczekiwaną szacowanego miernika wyjściowego. Im przedział ten jest węższy, tym precyzja oszacowania jest większa. Zwiększanie liczby powtórzeń powoduje kurczenie się przedziału ufności. Gdybyśmy byli w stanie wykonać nieskończenie wiele powtórzeń, przedział ufności skurczyłby się do zera i uzyskalibyśmy wartość punktową szacowanego parametru. __________ 3 4 Ang. terminating simulations. Ang. steady-state simulations. 40 Bożena Mielczarek (3) gdzie: n – liczba powtórzeń; X - średnia z próby; s – odchylenie standardowe; t n −1,1−α / 2 - wartość krytyczna odczytana z tablic. Średnie czasy pobytu w systemie wyrobów dobrych i braków (por. model z rys. 2) dobrze ilustrują wyraźną tendencję zmniejszania się wartości przedziału ufności w miarę wzrostu liczby powtórzeń (por. tabela 3). Jednakże, zgodnie ze wzorem (3) coraz intensywniejsze zwiększanie n skutkuje malejącym tempem pomniejszania długości przedziału ufności. W pewnym momencie nawet znaczące zwiększenie liczby powtórzeń (np. z 20000 do 30000) nie przyniesie istotnej poprawy precyzji oszacowania. Modelujący podejmuje zatem arbitralną decyzję o satysfakcjonującej go liczbie przebiegów symulacyjnych. Tab. 3. Długość 95% przedziałów ufności dla średniego czasu pobytu w systemie wyrobów dobrych oraz braków przy różnej liczbie powtórzeń symulacyjnych. Liczba powtórzeń symulacyjnych Długość 95% przedziału ufności dla średniego czasu pobytu wyrobów dobrych Długość 95% przedziału ufności dla średniego czasu pobytu braków 5 10 20 30 50 100 14,66 10,95 5,92 4,27 3,52 2,25 16,8 11,59 6,56 5,43 4,31 2,98 W symulacjach niezmienniczych planowanie eksperymentów jest trudniejsze, ponieważ musimy zmierzyć się z problemem warunków początkowych. W przeciwieństwie do symulacji pulsacyjnych, w których stan modelu w chwili uruchamiania eksperymentu idealnie odpowiadał pustemu i nieobciążonemu systemowi rozpoczynającemu swój kolejny cykl pracy, symulacje niezmiennicze muszą poradzić sobie z warunkami startu i zatrzymania oraz z niezgodnością pomiędzy pustym modelem w chwili uruchamiania eksperymentu oraz wypełnionym, (chociaż niekoniecznie zawsze w tym samym stopniu) systemem. Ta niezgodność powoduje, że przez pewien czas wyniki symulacji będą niedoszacowane. Aby uniknąć błędów w interpretacji wyników wskazane jest rozgrzanie modelu5, czyli uruchomienie go, odczekanie aż wypełni się zgłoszeniami i zaniknie wpływ warunków początkowych, a następnie przystąpienie do zbierania statystyk. __________ 5 Ang. warm-up period. Aspekty losowości w modelach symulacyjnych 41 Długość okresu rozgrzewania ustala się zwykle arbitralnie, obserwując wybrane wskaźniki, takie jak np. liczba zgłoszeń przebywających w systemie, długość kolejek, czas pobytu w systemie. Zaleca się [Crawford i Gallwey 2000] wybór takich mierników, dla których okres osiągania stabilności jest stosunkowo długi. Dla przytoczonego przykładu (patrz rys. 3) założono, że system produkcyjny pracuje w ruchu ciągłym na trzy zmiany spełniając warunki systemu o charakterze niezmienniczym. Symulację wykonano dla okresu 4 godzin obserwując liczbę wyrobów przebywających w danej chwili w systemie (rys. 4) oraz średnią długość wszystkich kolejek (rys. 5). Oba wskaźniki sugerują, że okres rozgrzewania modelu powinien wynosić około 60 minut. Rys. 4. Liczba zgłoszeń w systemie w ciągu 4 godzin (240 minut) symulacji. Źródło: opracowanie własne. Rys. 5. Średnia długość wszystkich kolejek w ciągu 4 godzin (240 minut) symulacji. Źródło: opracowanie własne. Jeżeli wyznaczony okres rozgrzewania się modelu jest stosunkowo krótki, można przyjąć dalszą strategię planowania eksperymentów, taką jak w przypadku symulacji pulsacyjnych, tzn. wykonać n niezależnych powtórzeń (każde powtórzenie należy rozpocząć okresem rozgrzewania modelu), a następnie przeprowadzić odpowiednią analizę statystyczną. W przypadku modeli o długich i bardzo długich okresach rozgrzewania, przedstawiona strategia nie rokuje jednak pomyślnie. Zaleca się wtedy (por. [Kelton i in. 42 Bożena Mielczarek 2002]) wykonanie jednego niezwykle długiego powtórzenia i tym samym tylko jednokrotnego poświęcenia czasu symulacji na rozgrzewanie modelu, a następnie podzielenie całego okresu symulacji na kilka większych odcinków6 (por. rys. 6), wyznaczenie średnich w obrębie każdego odcinka i potraktowanie tak uzyskanych wartości jako próby losowej, którą można poddać właściwej analizie statystycznej. Średnie wyliczone dla każdego odcinka będą pełnić rolę średnich wyznaczonych dla każdego powtórzenia w przypadku wielokrotnego powtarzania symulacji. Obserwacje pochodzące z okolicy miejsc podziału będą niestety ze sobą skorelowane, aby więc wyznaczone średnie odcinkowe wykazywały jak najmniejszą korelację, odcinki na które dzielone jest powtórzenie powinny być jak największe. Zwiększanie długości odcinków skutkuje jednak wzrostem wariancji, dlatego często rozważanym problemem (por. [Song 1996]) jest znalezienie optymalnej długości odcinków, czyli takiej długości, która zapewni rozsądną równowagę pomiędzy obciążeniem i wariancją. Rys. 6. Podział jednego długiego powtórzenia (20 dni) na mniejsze odcinki. Ilustracja zastosowania metody średnich odcinkowych. Źródło: opracowanie własne. 5. UWAGI KOŃCOWE Wielu symulogów uważa, że proces budowy modelu symulacyjnego pochłania jedynie 30-40% całkowitego wysiłku wkładanego w cały projekt [Law i Kelton 1991]. Po napisaniu programu komputerowego i przeprowadzeniu weryfikacji i walidacji modelu pozostaje jeszcze pracochłonny etap analizy wyników symulacji. Badanie przeprowadzone przez Pawlikowskiego [Pawlikowski i Kreutzer 2000] pokazuje, że __________ 6 Ang. batch means method: metoda średnich odcinkowych lub inaczej metoda podziału szeregu czasowego. Aspekty losowości w modelach symulacyjnych 43 wśród przebadanych 2300 publikacji naukowych z zakresu sieci telekomunikacyjnych około 50% badaczy posługiwało się metodami symulacyjnymi, ale tylko 23% z tych prac można uznać za rzetelne źródła informacji z punktu widzenia właściwej interpretacji zjawisk losowych. Potwierdza to analiza 55 tekstów naukowych z zakresu zastosowań symulacji w zarządzaniu ochroną zdrowia przeprowadzona przez Autorkę (por. wykaz publikacji w [Mielczarek 2004]). Jedynie 36% artykułów (20 sztuk) poruszało zagadnienia dotyczące interpretacji losowości zjawisk, pomimo tego, że wszystkie analizowane publikacje uwzględniały probabilistyczną naturę badanych systemów. Spośród wspomnianych 20 prac tylko w 9 (17% ogółu) można było znaleźć uwagi dotyczące poprawnej analizy zarówno danych wejściowych jak i wyników symulacji. Spostrzeżenia te są o tyle zaskakujące, że większość pakietów symulacyjnych wykorzystywanych obecnie przez badaczy i praktyków ma wbudowane moduły analizy statystycznej oraz umożliwia sprawne planowanie eksperymentów. Jednym z wyjaśnień może zatem być niska świadomość potrzeby stosowania takich narzędzi, co z kolei może być wynikiem zaburzenia w procesie dydaktycznym proporcji pomiędzy nauczaniem modelowania i analizy (por. [Mielczarek 2003]). Inne wyjaśnienie może sugerować nieumiejętność radzenia sobie z przypadkami, kiedy obserwacja zachowania modelu wskazuje na brak spełnienia założeń umożliwiających automatyczne stosowanie prostych narzędzi (np. niekorzystne wyniki testów statystycznych przy dopasowaniu teoretycznych rozkładów losowych do danych rzeczywistych, autokorelacja wyników symulacji, wysoka wariancja mierników wyjściowych, ...). Niepokojące jest budowanie stochastycznych modeli symulacyjnych i jednocześnie zapominanie o specyficznych wymaganiach, jakie wymusza niepewność wplecionych do modelu zjawisk losowych. W artykule omówiono wpływ losowej natury świata rzeczywistego na przebieg procesu modelowania symulacyjnego. Zamierzeniem Autorki nie było zaprezentowanie, porównywanie czy ocenianie różnych technik statystycznych niezbędnych do przeprowadzenia właściwej analizy statystycznej, ale zwrócenie uwagi na niektóre problemy i zagadnienia pojawiające się w trakcie budowy modelu symulacyjnego a mające swe źródło właśnie w losowości odwzorowywanych zjawisk. Zaniedbanie czy zlekceważenie silnego wpływu przypadkowego charakteru procesów rzeczywistych może doprowadzić do sytuacji, kiedy „...zamiast kosztownego modelu symulacyjnego, lepszym rozwiązaniem będzie rzut monetą” [Kleijnen 1979, za Pawlikowski i Kreutzer 2000]. Przedstawione techniki, takie jak metoda jednakowych ciągów losowych przy redukcji wariancji czy metoda podziału szeregu czasowego w planowaniu eksperymentów symulacji niezmienniczych nie są jedynymi znanymi i stosowanymi metodami. Obok metody CRN stosuje się również z powodzeniem metodę różnicowania przeciwstawnego czy metodę różnicowania kontrolnego a metoda podziału szeregu czasowego może być zastąpiona analizą spektralną czy autoregresyjną. 44 Bożena Mielczarek LITERATURA CARSON, C. 2000. The origins of the quantum theory; [w:] Beam Line, a Periodical of Particle Physics (30 2); ss. 6-20; lub: http://www.slac.stanford.edu/pubs/beamline/pdf/00ii.pdf. CRAWFORD, J.W., GALLWEY, T.J. 2000. Bias and variance reduction in computer simulation studies; [w:] European Journal of Operational Research; 124; ss. 571-590. HELLEKALEK, P. 1998. Good random number generators are (not so) easy to find; [w:] Mathematics and Computers in Simulation 46; ss. 485-505. KELTON, W.D., SADOWSKI, R.P., SADOWSKI, D.A. 2002. Simulation with Arena. McGraw-Hill, Inc. USA. LAW, A.M., KELTON, W.D. 1991. Simulation modeling and analysis; McGraw-Hill, Inc. USA. MIELCZAREK, B. 2003. Rozważania na temat nauczania symulacji w szkołach wyższych; [w:] Symulacja Systemów Gospodarczych. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław; ss. 133-141. MIELCZAREK, B. 2004. Symulacja komputerowa jako narzędzie wspomagania decyzji w ochronie zdrowia; [w:] Symulacja Systemów Gospodarczych – część II. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław; ss. 159-181. PAWLIKOWSKI, K., KREUTZER, W. 2000. Integrating modeling and data analysis in teaching discrete event simulation; [w:] Proceedings of the 2000 Winter Simulation Conference, (ed.) J.A. Joines, R.R. Barton, K.Kang, P.A. Fishwick; ss, 1645-1650. PROYKOVA, A. 2000. How to improve a random number generator; [w:] Computer Physics Communications 124; ss. 125-131. SCHRÖDINGER, E. 1935. Die gegenwartige Situation in der Quantenmechanik; [w:] Naturwissenschaftern; 23; ss. 807-812; 823-823, 844-849. Dostępne w Internecie: http://www.mtnmath.com/faq/meas-qm-3.html. SONG, W.T. 1996. On the estimation of optimal batch sizes in the analysis of simulation output; [w:] European Journal of Operational Research 88; ss. 304-319. TEGMARK, M., WHEELER, J.A. 2001. Stulecie kwantowych zagadek; [w:] Świat Nauki 4; ss. 5462.
