MATEMATYKA

MATEMATYKA
PODSTAWA PROGRAMOWA
(WERSJA ROBOCZA – 01)
Cele kształcenia
1. Wiadomości i umiejętności matematyczne niezbędne do sprawnego funkcjonowania w życiu codziennym współczesnego świata.
2. Umiejętność odpowiedzialnego myślenia, tj. wypowiadania sądów pewnych oraz ich uzasadniania metodą dedukcji, krytycznej analizy informacji oraz obalania rozumowań błędnych przez podawanie odpowiednich przykładów.
3. Umiejętność operowania najprostszymi obiektami abstrakcyjnymi (liczbami, zmiennymi, funkcjami, figurami, zdarzeniami), budowania z ich
użyciem prostych modeli matematycznych różnorodnych sytuacji z życia codziennego oraz wykorzystania tych modeli do rozwiązywania problemów praktycznych.
Szkoła podstawowa, klasy I-III
Treść kształcenia
1. Stosunki przestrzenne i czasowe
1.1. Klasyfikowanie przedmiotów według ustalonej cechy (np. wielkości, kształtu, koloru, przeznaczenia).
1.2. Porządkowanie przedmiotów według wielkości lub kształtu.
Wymagania
1.1. Wskazuje przedmioty tego samego rodzaju, kształtu, koloru.
1.2. Klasyfikuje przedmioty z użyciem określeń: duży–mały, długi–
krótki, szeroki–wąski, wysoki–niski, gruby–cienki.
1.3. Porównuje przedmioty z użyciem określeń: większy–mniejszy,
dłuższy–krótszy, szerszy–węższy, wyższy–niższy, grubszy–cieńszy.
1.3. Opisywanie stosunków przestrzennych – wzajemne położenie, kie- 1.4. Określa swoje położenie w stosunku do obiektów lub innych osób.
runek ruchu, oddalenie.
1.5. Określa położenie jednego obiektu względem drugiego, używając
określeń: nad, pod, wewnątrz, na zewnątrz, przy, za, przed, obok, pomiędzy.
1.6. Określa kierunek ruchu: do przodu, do tyłu, w lewo, w prawo, poziomo, pionowo, w górę, w dół.
1.7. Ocenia i porównuje odległości stosując określenia: daleko, dalej,
blisko, bliżej.
1.4. Porządkowanie zdarzeń w czasie.
1.8. Określa zależności czasowe z użyciem określeń: długo, dłużej,
krótko, krócej, teraz, przedtem, potem, najpierw, później, dzisiaj, jutro,
wczoraj, rano, w południe, wieczorem.
2. Liczenie
2.1 Zapisywanie i odczytywanie liczb.
2.1. Nazywa, czyta i zapisuje cyfry.
2.2. Zapisuje cyframi liczby w zakresie 10 000 i odczytuje je.
2.3. Wskazuje w liczbie trzycyfrowej cyfrę jedności, cyfrę dziesiątek
i cyfrę setek.
2.4. Zapisuje liczbę trzycyfrową w postaci sumy setek, dziesiątek
i jedności.
2.2 Porównywanie liczb w zakresie 1000.
2.5. Porównuje liczby w zakresie 1000; używa znaków <, =, >.
2.3 Użycie znaków =, <, >.
2.6. Zapisuje i porządkuje chronologicznie daty.
2.4. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb w zakresie do 1000.
2.5. Algorytm dodawania i odejmowania pisemnego w zakresie do
1000.
2.6. Algorytm mnożenia pisemnego przez liczbę jednocyfrową w zakresie do 1000.
2.7. Dzielenie liczb w zakresie tabliczki mnożenia.
2.8. Dzielenie z resztą liczby większej przez mniejszą w zakresie tabliczki mnożenia.
2.9. Sprawdzanie otrzymanego wyniku za pomocą działania przeciwnego.
2.10. Zmiana kolejności składników (czynników) i grupowanie składników (czynników) w celu ułatwienia obliczeń.
2.11. Kolejność wykonywania działań, użycie nawiasów.
3. Pomiar w sytuacjach praktycznych
3.1. Mierzenie długości (szerokości, wysokości) konkretnych obiektów
z użyciem różnych jednostek (np. stopami, krokami) i różnych miarek
(np. linijką, miarką metrową, taśmą krawiecką).
3.2. Określanie rozmiarów konkretnych przedmiotów i obiektów przez
wykonanie odpowiednich pomiarów i obliczeń. Użycie jednostek: mm,
cm, m, km.
3.3. Mierzenie czasu: lata, miesiące, tygodnie, dni, godziny, minuty.
3.4. Obliczenia zegarowe w systemie 12- i 24-godzinnym.
3.5. Odczytywanie i zapisywanie znaków rzymskich zakresie od I do
XII; stosowanie ich w sytuacjach z życia codziennego – kalendarz, zegar.
3.6. Obliczenia pieniężne: złote i grosze; monety i banknoty (do 100 zł
włącznie).
2.7. Dodaje i odejmuje w pamięci w zakresie do 100 (np. 15 + 18;
40 + 26, 30 – 8, 78 – 20).
2.8. Dodaje pisemnie w zakresie do 1000.
2.9. Odejmuje pisemnie w zakresie do 1000 bez przekraczania progu
dziesiątkowego.
2.10. Mnoży pisemnie przez liczbę jednocyfrową w zakresie do 1000.
2.11. Mnoży i dzieli w zakresie do 100, z pomocą tabliczki mnożenia.
2.12. Wykonuje dzielenie z resztą liczby większej przez mniejszą w
zakresie do 100, z pomocą tabliczki mnożenia.
2.13. Sprawdza wykonane odejmowanie i dzielenie za pomocą działania odwrotnego.
2.14. Potrafi zmienić kolejność składników (czynników) lub grupować
składniki (czynniki) w celu uproszczenia obliczeń.
2.15. Stosuje zasady dotyczące kolejności wykonywania działań.
3.1. Mierzy wielkość (długość, szerokość, wysokość, grubość) przedmiotów (obiektów, figur) za pomocą różnych miar i jednostek. 3.2. Oblicza obwód przedmiotów (obiektów, figur).
3.3. Posługuje się wyrażeniami dwumianowanymi w obliczeniach długości (np. 1 m 15 cm + 40 cm + 2 m 65 cm).
3.4. Posługuje się nazwami dni tygodnia i miesięcy oraz zna ich kolejność.
3.5. Zapisuje i odczytuje czas zegarowy w systemie 12- i 24godzinnym.
3.6. Wykonuje proste obliczenia kalendarzowe i zegarowe w zakresie
pełnych godzin.
3.7. Posługuje się pojęciami: pół godziny, kwadrans.
3.8. Zna monety i banknoty (do 100 zł włącznie). Wykonuje proste obliczenia pieniężne. Posługuje się wyrażeniami dwumianowanymi
w obliczeniach pieniężnych (np. 3 zł 40 gr + 4 zł 80 gr).
3.7. Ważenie konkretnych przedmiotów; posługiwanie się w sytuacjach 3.9. Posługuje się wyrażeniami dwumianowanymi w obliczeniach wagi
praktycznych jednostkami: g, dag, kg, tona.
(np. 3 kg 20 dag – 2 kg 90 dag).
3.10. Używa pojęcia: pół kilograma.
3.8. Odmierzanie ilości płynów za pomocą różnych naczyń, w tym na- 3.11. Posługuje się jednostką pojemności: 1 litr. Używa pojęć: pół i
czyń o pojemności 1 litra.
ćwierć litra.
3.9. Mierzenie temperatury: odczytywanie wskazań termometrów (le3.12. Odczytuje wskazania termometrów.
karskiego, pokojowego, zaokiennego).
3.13. Posługuje się jednostką temperatury: 1 stopień.
4. Obliczenia w sytuacjach praktycznych
4.1. Rozwiązywanie (bez użycia literowego symbolu niewiadomej)
4.1. Rozwiązuje łatwe zadania umieszczone w naturalnym kontekście,
zadań, umieszczonych w naturalnym dla ucznia kontekście.
wymagające wykonania co najwyżej dwóch działań.
4.2. Rozwiązuje zadania, dotyczące zależności między ilością, ceną
i wartością.
4.2. Porównywanie różnicowe i ilorazowe w sytuacjach praktycznych. 4.3. Rozwiązuje zadania umieszczone w naturalnym dla kontekście,
w których występuje porównanie różnicowe lub ilorazowe.
5. Podstawowe figury płaskie
5.1. Rozpoznawanie i rysowanie linii prostej, punktu, półprostej, odcin- 5.1. Rozpoznaje, kreśli i nazywa proste, półproste i odcinki.
ka.
5.2. Mierzy długość odcinka.
5.2. Rozpoznawanie podstawowych figur geometrycznych: trójkąt,
5.3. Rozpoznaje i nazywa podstawowe figury geometryczne: trójkąt,
kwadrat, prostokąt, koło.
kwadrat, prostokąt, koło.
5.3. Posługiwanie się pojęciami: wierzchołek, bok, kąt.
5.4. Wskazuje podobieństwa i różnice między nimi.
5.5. Mierzy długości boków i oblicza obwód trójkąta, prostokąta.
5.4. Rozpoznawanie i rysowanie na papierze w kratkę kąta prostego.
5.6. Rysuje na papierze w kratkę figury trójkąty, kwadraty, prostokąty.
5.5. Rysowanie na papierze w kratkę trójkątów, kwadratów, prostoką- 5.7. Rozpoznaje i nazywa kąt prosty w figurach geometrycznych.
tów.
5.8. Oblicza pole prostokąta narysowanego na papierze w kratkę.
5.6. Obliczanie liczby kwadratów jednostkowych w prostokącie narysowanym na papierze w kratkę.
Szkoła podstawowa, klasy IV-VI
Treść kształcenia
Wymagania
1. Liczby całkowite
1.1. Liczby całkowite dodatnie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym. 1.1. Zapisuje i odczytuje liczby całkowite (co najwyżej dziesięciocyfrowe) w dziesiątkowym systemie pozycyjnym.
1.2. Zapis liczb w systemie rzymskim.
1.2. Zapisuje i odczytuje liczby w systemie rzymskim (w zakresie do
3000).
1.3. Zapisuje w systemie dziesiątkowym liczby zapisane w systemie
rzymskim (w zakresie do 3000).
1.3. Podzielność liczb całkowitych dodatnich.
1.4. Znajduje dzielniki i wielokrotności danej liczby.
1.4. Cechy podzielności liczb przez 2, 3, 5, 10, 100.
1.5. Znajduje wspólne dzielniki i wspólne wielokrotności danych liczb.
Liczby pierwsze.
1.6. Wykorzystuje cechy podzielności liczb przez 2, 3, 5, 10, 100.
1.7. Potrafi sprawdzić, czy dana liczba (w zakresie do 100) jest pierwsza.
1.5. Liczby całkowite ujemne. Cztery działania na liczbach całkowiZaznacza i odczytuje liczby całkowite liczby całkowite na praktycznym
tych.
modelu osi liczbowej (osi czasu, termometrze).
1.6. Potęga liczby o wykładniku całkowitym dodatnim.
Wykonuje w pamięci działania typu 120 + 40; –55 – 20; –13 ⋅ 2 .
Wykonuje pisemnie dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie
liczb całkowitych (dzielenie przez liczby co najwyżej dwucyfrowe).
Stosuje w obliczeniach własności oraz właściwą kolejność działań.
Oblicza potęgi liczb o wykładniku całkowitym dodatnim.
2. Ułamki zwykłe
2.1. Ułamek jako część całości: dzielenie całości na równe części (zgi- 2.1. Interpretuje ułamek zwykły jako część całości.
nanie, składanie, rozcinanie).
2.2. Opisywanie otrzymanych części ułamkami 1/2, 1/3, 1/4, 1/8.
Składanie całości z równych części.
2.3. Ułamek jako iloraz liczb całkowitych. Skracanie i rozszerzanie
2.2. Skraca i rozszerza ułamki.
ułamków.
2.4. Porównywanie ułamków.
2.3. Porównuje ułamki. Zaznacza ułamki na osi liczbowej.
2.5. Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika. Cztery działa- 2.4. Dodaje i odejmuje ułamki zwykłe o jednakowych i różnych miania na ułamkach.
nownikach.
2.5. Mnoży i dzieli ułamki zwykłe przez liczby całkowite oraz ułamki.
2.6. Obliczanie ułamka z danej liczby.
2.5. Oblicza wskazany ułamek danej liczby.
2.7. Obliczanie liczby ze znajomości jej ułamka.
2.7. Znajduje liczbę na podstawie danego jej ułamka.
2.8. Stosuje te umiejętności w sytuacjach praktycznych.
3. Ułamki dziesiętne
3.1. Zapis dziesiętny liczby. Przedstawienie skończonego ułamka dzie- 3.1. Zapisuje w postaci dziesiętnej liczbę odczytaną na osi liczbowej.
siętnego w postaci sumy wielokrotności potęg liczby 10.
3.2. Zapisuje ułamek dziesiętny w postaci sumy wielokrotności potęg
3.2. Ułamki dziesiętne na osi liczbowej.
10.
3.3. Zapisuje wyrażenia dwumianowane w postaci dziesiętnej
(np. 3 m 24 cm = 3,24 m).
3.3. Cztery działania na ułamkach dziesiętnych.
3.4. Dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli ułamki dziesiętne
(w szczególności mnoży i dzieli przez 10, 100, 1000).
3.5. Wykorzystuje kalkulator w obliczeniach dotyczących sytuacji
praktycznych.
3.4. Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych.
3.6. Zaokrągla ułamek dziesiętny do danego miejsca po przecinku.
4. Wyrażenia algebraiczne
4.1. Oznaczenia literowe wielkości liczbowych.
4.1. Posługuje się oznaczeniami literowymi w zapisie wzorów (np. na
4.2. Wielokrotności zmiennej i sumy algebraiczne.
pole prostokąta).
4.3. Obliczanie wartości liczbowej wyrażeń algebraicznych z jedną
4.2. Zapisuje i odczytuje wyrażenia postaci x – 2; 3x; 2x + 4.
zmienną.
4.3. Oblicza wartość liczbową wyrażeń algebraicznych powyższej postaci.
5. Równania i nierówności
5.1. Równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
5.1. Rozwiązuje równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą,
5.2. Zadania dotyczące sytuacji praktycznych, prowadzące do równań postaci x– 6 = 10; –3x = 12; 0,5 + x = 12.
pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
5.3. Nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
5.2. Rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą,
postaci 10 + x < –2; 4x > 9.
5.3. Rozwiązuje zadania praktyczne za pomocą równań lub nierówności
powyższych typów.
6. Elementy statystyki opisowej
6.1. Porządkowanie i graficzne przedstawianie danych.
6.2. Gromadzenie danych z prostych doświadczeń, także losowych.
6.3. Interpretowanie danych.
7. Figury płaskie
7.1. Proste i odcinki na płaszczyźnie.
7.2. Proste prostopadłe i równoległe.
6.1. Odczytuje i interpretuje dane przedstawione w tabeli, na wykresie,
na diagramie słupkowym.
6.2. Porządkuje i przedstawia dane w tabeli lub za pomocą diagramu
słupkowego.
7.1. Mierzy odcinki, zamienia jednostki długości.
7.2. Posługuje się jednostkami miar w obliczeniach praktycznych.
7.3. Rozpoznaje oraz kreśli proste równoległe i prostopadłe.
7.3. Mierzenie kątów.
7.4. Mierzy kąty. Posługuje się w sytuacjach praktycznych miarą stop7.4. Porównywanie kątów.
niową kąta.
7.5. Odkłada i porównuje kąty. Rozpoznaje kąt ostry, prosty, rozwarty,
półpełny.
7.5. Kąty przy prostych równoległych, przeciętych trzecią prostą.
7.6. Wykorzystuje własności kątów wierzchołkowych i przyległych.
7.6. Symetralna odcinka i dwusieczna kąta.
7.7. Konstruuje symetralną odcinka oraz dwusieczną kąta.
7.8. Konstruuje kąty o mierze 60o, 30o, 45o.
7.7. Trójkąty i ich własności.
7.9. Zna warunek istnienia trójkąta o zadanych bokach (nierówność
7.8. Klasyfikacja i konstruowanie trójkątów.
trójkąta).
7.9. Suma kątów w trójkącie.
7.10. Konstruuje trójkąt dla danych bbb, bkb oraz kbk.
7.11 Klasyfikuje trójkąty ze względu na boki (równoboczne, równoramienne, różnoboczne) i kąty (ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne).
7.12. Zna i umie stosować twierdzenie o sumie kątów w trójkącie.
7.10. Czworokąty i ich własności: prostokąty, równoległoboki, trapezy. 7.13. Rozpoznaje i nazywa wierzchołki, boki, kąty, przekątne czworokątów.
7.14. Klasyfikuje czworokąty ze względu na wzajemne położenie boków (trapezy, równoległoboki, prostokąty).
7.11. Obwód i pole.
7.15. Oblicza obwody wielokątów.
7.16. Konstruuje wysokości w trójkątach i czworokątach.
7.17. Oblicza pole trójkątów, równoległoboków i trapezów.
7.18. Stosuje te obliczenia w sytuacjach praktycznych.
7.19. Posługuje się jednostkami miary pola, zamienia jednostki miary
pola.
7.12. Koło i okrąg.
7.13. Wzajemne położenie prostej i okręgu.
7.14. Skala i plan.
8. Układ współrzędnych na płaszczyźnie
8.1. Prostokątny układ współrzędnych.
8.2. Współrzędne punktu na płaszczyźnie kartezjańskiej.
9. Bryły
9.1. Graniastosłupy proste i ostrosłupy.
9.2. Siatki graniastosłupów i ostrosłupów.
9.3. Walce, stożki i kule.
9.4. Pole powierzchni i objętość prostopadłościanów.
7.20. Rozróżnia okrąg i koło oraz zna ich elementy: promień, średnicę,
środek, cięciwę.
7.21. Określa wzajemne położenie prostej i okręgu.
7.22. Posługuje się planem, mapą i schematem w sytuacjach praktycznych.
7.23. Odczytuje i interpretuje informacje przedstawione na planie i mapie.
7.24. Rysuje proste figury geometryczne w skali.
7.25. Określa rzeczywiste wymiary figury narysowanej w skali.
8.1. Wyznacza współrzędne punktu płaszczyzny kartezjańskiej.
8.2. Zaznacza na płaszczyźnie kartezjańskiej punkt o danych współrzędnych całkowitych.
9.1. Rozpoznaje i szkicuje graniastosłup prosty oraz ostrosłup.
9.2. Wskazuje wierzchołki, ściany i krawędzie graniastosłupów
i ostrosłupów.
9.3. Rozpoznaje i rysuje siatkę graniastosłupa i ostrosłupa oraz wykorzystuje ją w zastosowaniach praktycznych (np. do sporządzenia modelu, obliczenia pola powierzchni bryły).
9.4. Rozpoznaje i szkicuje walce, stożki i kule.
9.5. Wskazuje elementy kuli: środek, promień i średnicę.
9.6. Oblicza pole powierzchni i objętość prostopadłościanu.
9.7. Posługuje się jednostkami objętości i pojemności.
Gimnazjum
Treść nauczania
1. Liczby wymierne
1.1. Pojęcie liczby wymiernej.
1.2. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb wymiernych.
1.3. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych.
1.4. Ułamki dziesiętne okresowe.
2. Potęgi o wykładniku całkowitym
2.1 Pojęcie potęgi o wykładniku całkowitym.
2.2. Własności potęg o wykładniku całkowitym:
2.2.1. mnożenie i dzielenie potęg o jednakowych podstawach;
2.2.2. mnożenie i dzielenie potęg o jednakowych wykładnikach;
2.2.3. potęgowanie potęg.
2.3. Zapis liczb w notacji wykładniczej, tzn. w postaci a ⋅ 10 k , gdzie k
jest liczbą całkowitą oraz 1 ≤ a < 10.
3. Pierwiastki
3.1. Pojęcie pierwiastka kwadratowego z liczby nieujemnej. Pojęcie
pierwiastka sześciennego z dowolnej liczby.
3.2. Pojęcie pierwiastka stopnia n.
3.3. Własności pierwiastkowania:
3.3.1. mnożenie i dzielenie pierwiastków tego samego stopnia,
3.3.2.podnoszenie pierwiastka do potęgi równej stopniowi pierwiastka.
3.4. Przykłady liczb niewymiernych.
3.5. Szacowanie wyników działań, w których występują liczby niewymierne.
Wymagania
1.1. Oblicza wartości niezbyt skomplikowanych wyrażeń arytmetycznych, w których występują liczby wymierne.
1.2. Przedstawia ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego (skończonego lub okresowego).
2.1. Oblicza potęgę liczby wymiernej o wykładniku całkowitym.
2.2. Stosuje w obliczeniach własności potęgowania (dla wykładników
całkowitych)
2.3. Odczytuje i zapisuje liczby w notacji wykładniczej.
2.4. Używa notacji wykładniczej do szacowania i porównywania liczb.
3.1. Stosuje w obliczeniach własności pierwiastkowania:
3.1.1. mnożenie i dzielenie pierwiastków tego samego stopnia
3.1.2. podnoszenie pierwiastka do potęgi równej stopniowi pierwiastka.
3.2. Wyłącza czynnik przed znak pierwiastka:
4 2 3
(np. 75 = 5 3 ,
= , − 16 = −23 2 ).
9 3
3.3. Szacuje niektóre liczby niewymierne (np.
działań na takich liczbach (np.
2 − 3 ).
2 , − 3 ) i wyniki
4. Procenty
4.1. Obliczenia procentowe.
4.2. Praktyczne zastosowania procentów.
4.3. Promile.
5. Wyrażenia algebraiczne
5.1. Budowanie wyrażeń algebraicznych.
5.2. Podstawianie liczb do wyrażeń algebraicznych i obliczanie ich
wartości.
5.3. Działania na wyrażeniach algebraicznych.
5.4. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych.
6. Równania i nierówności
6.1. Równania i nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
4.1. Oblicza:
4.1.1. procent z danej liczby;
4.1.2. liczbę na podstawie jej procentu;
4.1.3. jakim procentem jednej liczby jest druga liczba.
4.2. Wykorzystuje powyższe rodzaje obliczeń do rozwiązywania prostych zadań praktycznych (np. obniżki cen, stopy metali, roztwory).
5.1. Buduje proste wyrażenia algebraiczne (także opisujące zależności
wyrażone w zadaniach umieszczonych w kontekście praktycznym).
5.2. Oblicza wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych.
5.3. Dodaje i odejmuje sumy algebraiczne.
5.4. Mnoży sumy algebraiczne przez jednomian.
5.5. Wyłącza przed nawias liczbę lub jednomian.
1
5.6. Przekształca proste wzory (typu L = 2a + 2b, V = abc ).
3
6.1. Rozwiązuje równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą
(w tym także równania zapisane w postaci proporcji).
6.2. Rozwiązuje zadania osadzone w praktycznym kontekście, prowadzące do równania linowego z jedną niewiadomą.
6.2. Zapisywanie i rozwiązywanie układów równań pierwszego stopnia 6.3. Rozwiązuje układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadoz dwiema niewiadomymi.
mymi (metodą podstawiania i przeciwnych współczynników).
6.3. Zastosowanie równań stopnia pierwszego z jedną niewiadomą oraz 6.4. Rozwiązuje zadania osadzone w praktycznym kontekście, prowaukładów równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi do roz- dzące do układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.
wiązywania zadań osadzonych w kontekście praktycznym.
7. Statystyka opisowa
7.1. Zbieranie, porządkowanie i przedstawianie danych (w tabeli, za
7.1. Porządkuje dane statystyczne i przedstawia je w tabeli lub za popomocą diagramów).
mocą diagramów słupkowych.
7.2. Odczytuje i interpretuje dane statystyczne przedstawione w tabeli
lub za pomocą diagramów różnych typów.
7.3. Łączy i interpretuje informacje pochodzące z kilku źródeł (np. ta-
bela i piramida wieku).
8. Wykresy funkcji
8.1. Funkcja liczbowa i jej wykres.
8.2. Przedstawianie danych za pomocą wykresu funkcji w układzie
współrzędnych.
8.3. Przykłady zależności funkcyjnych występujących w przyrodzie,
gospodarce i życiu codziennym.
8.4. Odczytywanie informacji z wykresu funkcji opisującej sytuację
praktyczną.
9. Elementy teorii prawdopodobieństwa
9.1 Przykłady prostych doświadczeń losowych (np. rzut kostką, rzut
monetą, wyciąganie losu).
10. Figury płaskie
10.1. Długość okręgu. Pole koła.
10.2. Okrąg opisany na trójkącie. Okrąg wpisany w trójkąt.
10.3. Kąt wpisany w okrąg. Kąt środkowy.
10.4. Twierdzenie Pitagorasa i jego zastosowania.
10.5. Cechy przystawania trójkątów.
10.6. Oś symetrii figury. Środek symetrii figury.
8.1. Sporządza wykres funkcji zadanej tabelką.
8.2. Buduje tabelkę dla funkcji, występującej w sytuacji praktycznej
i szkicuje jej wykres.
8.3. Odczytuje z wykresu wartość funkcji dla danego argumentu.
8.4. Odczytuje z wykresu wartość najmniejszą i największą.
8.5. Wskazuje argumenty, dla których przyjmowana jest dana wartość;
wskazuje miejsca zerowe funkcji.
8.6. Wskazuje argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie lub ujemne.
9.1. Ocenia, które z danych (prostych) zdarzeń losowych jest bardziej
prawdopodobne.
10.1. Oblicza długość okręgu i pole koła.
10.2. Stosuje własności okręgu wpisanego w trójkąt oraz okręgu opisanego na trójkącie.
10.3. Konstruuje okrąg opisany na trójkącie oraz okrąg wpisany w trójkąt.
10.4. Rozwiązuje proste zadania dotyczące kątów środkowych i wpisanych w okrąg oraz związków między nimi.
10.5. Stosuje twierdzenie Pitagorasa do obliczania długości odcinków.
Oblicza obwody i pola figur (również z zastosowaniem twierdzenia
Pitagorasa).
10.6. Rozpoznaje trójkąty przystające.
10.7. Stosuje przystawanie trójkątów w prostych zadaniach.
10.8. Rozpoznaje figury osiowo- i środkowo-symetryczne.
10.9. Znajduje osie symetrii lub środek symetrii takich figur.
11. Bryły
11.1 Graniastosłupy. Ostrosłupy. Bryły obrotowe.
11.2. Pola powierzchni i objętości brył.
11.1. Rozpoznaje i rysuje graniastosłupy proste, ostrosłupy, walce i
stożki.
11.2. Wskazuje niektóre odcinki (krawędzie, wysokości, przekątne)
w graniastosłupach prostych i ostrosłupach prawidłowych.
11.3. Oblicza długości niektórych odcinków (krawędzi, wysokości lub
przekątnych) w graniastosłupach prostych i w ostrosłupach (w tym
również z zastosowaniem twierdzenia Pitagorasa).
11.4. Oblicza pola powierzchni i objętości graniastosłupów prostych,
ostrosłupów prawidłowych, walców, stożków i kul.
Szkoła średnia kończąca się maturą
(zagadnienia poprzedzone gwiazdką należą tylko do zakresu rozszerzonego)
Treść kształcenia
1. Liczby rzeczywiste
1.1. *Liczby naturalne. Twierdzenie o rozkładzie liczby naturalnej na
czynniki pierwsze.
1.2. *Liczby całkowite. Algorytm Euklidesa.
1.3. Liczby wymierne. Rozwinięcia dziesiętne.
1.4. Liczby niewymierne.
1.5. Oś liczbowa. Przedziały osi liczbowej.
1.6. Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej.
1.7. Pojęcie błędu przybliżenia. Szacowanie wartości liczbowych.
1.8. Pierwiastki (w tym pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych).
1.9. Potęgi liczb nieujemnych o wykładniku wymiernym.
1.10. Logarytmy.
Wymagania
1.1. *Stosuje twierdzenie o rozkładzie oraz algorytm Euklidesa.
1.2. Wykonuje działania na liczbach wymiernych w sytuacjach praktycznych (obliczenia procentowe związane z kredytami, lokatami, rabatami itp.)
1.3. Zamienia ułamki dziesiętne (skończone lub nieskończone okresowe) na ułamki zwykłe i na odwrót.
1.4. Podaje przykłady liczb niewymiernych.
1.5. *Dowodzi niewymierność niektórych liczb (np. 2 ).
1.6. Wyznacza wartość bezwzględną liczby i interpretuje ją na osi liczbowej.
1.7. Opisuje nierównościami przedziały liczbowe.
1.8. Rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną typu
|x – b| < c.
1.9. *Rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną typu
|ax + b| < c.
1.10. Porównuje, przybliża i szacuje wartości liczbowe.
1.11. Przekształca wyrażenia w których występuje pierwiastek kwadratowy (usuwa niewymierność z mianownika).
1.12. Wykonuje działania na potęgach o wykładnikach wymiernych.
1.13. Oblicza logarytmy liczb, stosuje do obliczeń podstawowe własności logarytmów.
1.14. *Potrafi uzasadnić podstawowe własności logarytmów.
2. Wyrażenia algebraiczne
2.1. Wzory skróconego mnożenia: (a ± b)2; a2 – b2.
2.2. Wzór (a – 1)(1 + a +...+ an-1) = an – 1.
2.3. *Dwumian Newtona
2.4. Wielomiany jednej zmiennej.
2.5. Przekształcanie wielomianów.
2.1. Stosuje wzory skróconego mnożenia do przekształceń algebraicznych i do rozwiązywania równań kwadratowych zupełnych i niezupełnych.
2.2. *Stosuje wzory skróconego mnożenia do przekształceń wyrażeń
algebraicznych.
2.3. *Stosuje dwumian Newtona w wyrażeniach algebraicznych.
2.4. Rozkłada wielomian na czynniki przez wyłączanie wspólnego
czynnika przed nawias, grupowanie wyrazów, stosowanie wzorów
skróconego mnożenia.
2.5. Dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wielomiany.
2.6. *Bada podzielność wielomianów.
2.6. Działania na wielomianach: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i
dzielenie z resztą.
2.7. Twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x – a.
2.8. Wyrażenia wymierne jednej zmiennej.
2.7. Określa dziedzinę wyrażenia wymiernego.
2.9. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie wyrażeń wymier- 2.8. Oblicza wartość wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennych.
nej.
2.9. Dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.
2.10. Skraca wyrażenia wymierne.
3. Równania i nierówności
3.1. Równania kwadratowe z jedną niewiadomą.
3.1. Rozwiązuje równania kwadratowe.
3.2. Nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą.
3.2. Rozwiązuje zadania umieszczone w kontekście praktycznym, prowadzące do równań i nierówności kwadratowych.
3.3. *Rozwiązuje równanie kwadratowe z parametrem.
3.3. Proste równania i nierówności wielomianowe.
3.4. Rozwiązuje równania i nierówności wielomianowe metodą rozkładu na czynniki.
3.4. *Twierdzenie Bézouta o postaci wymiernych pierwiastków wielo- 3.5. *Stosuje twierdzenie Bézouta do znajdowania wymiernych piermianu o współczynnikach całkowitych.
wiastków wielomianu o współczynnikach całkowitych.
3.5. Proste równania i nierówności wymierne.
3.6. Rozwiązuje proste równania i nierówności wymierne.
3.7. Rozwiązuje zadania umieszczone w kontekście praktycznym, prowadzące do prostych równań i nierówności wymiernych.
4. Funkcje
4.1. Odczytywanie z wykresu własności funkcji liczbowych.
4.2. Przekształcenia wykresów funkcji liczbowych.
4.3. Funkcja liniowa.
4.4. Funkcja kwadratowa.
4.5. *Wzory Viete’a.
4.6. Funkcja potęgowa.
4.7. Funkcje wielomianowe.
4.8. Funkcja wykładnicza.
4.9. *Potęga liczby dodatniej o wykładniku rzeczywistym.
4.10. *Funkcja logarytmiczna.
4.1. Odczytuje z wykresu funkcji:
4.1.1. dziedzinę i zbiór wartości,
4.1.2. miejsca zerowe,
4.1.3. przedziały w których funkcja rośnie lub maleje,
4.1.4. przedziały, w których funkcja ma stały znak.
4.2. Potrafi na podstawie wykresu funkcji y = f(x) naszkicować wykresy
funkcji y = f(x + a), y = f(x) + b, y = cf(x), y = f(dx).
4.3. *Potrafi naszkicować wykres funkcji |f(x)|.
4.4. *Potrafi naszkicować wykres będący efektem wykonania kilku
operacji, np. |sin(3x + 2)|.
4.5. Sporządza wykresy funkcji liniowych.
4.6. Wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie jej własności.
4.7. Zna interpretację współczynnika kierunkowego i wyrazu wolnego
wzoru funkcji liniowej.
4.8. Sporządza wykresy funkcji kwadratowych.
4.9. Wyznacza miejsca zerowe funkcji kwadratowej.
4.10. Wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale.
4.11. Rozwiązuje zadania umieszczone w kontekście praktycznym,
prowadzące do wyznaczania najmniejszej lub największej wartości
funkcji kwadratowej w przedziale.
4.12. *Zna i stosuje wzory Viete’a.
4.13. Zna przebieg wykresu funkcji y = xn, n ≥ 2.
4.14. *Potrafi określić zachowanie funkcji wielomianowej gdy x→ +∞
oraz x→ –∞ na podstawie jej wzoru.
4.15. Sporządza wykresy funkcji wykładniczych i na ich podstawie
bada własności tych funkcji.
4.16. *Rozwiązuje równania i nierówności wykładnicze typu ax = b;
ax > b; at2 +bt + c = 0, gdzie t = αx.
4.17. *Sporządza wykresy funkcji logarytmicznych i na ich podstawie
bada własności tych funkcji.
4.18. *Rozwiązuje najprostsze równania i nierówności logarytmiczne.
5. Ciągi
5.1. Pojęcie ciągu.
5.2. Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.
5.3. *Szereg geometryczny.
5.4. *Granica ciągu.
6. Funkcje trygonometryczne
6.1. Funkcje sinus, cosinus i tangens kąta w trójkącie prostokątnym.
6.2. Związki między funkcjami trygonometrycznymi.
6.3. *Miara łukowa kąta.
6.4. *Funkcje trygonometryczne argumentu rzeczywistego.
6.5. *Proste równania i nierówności trygonometryczne.
7. *Ciągłość i różniczkowalność
7.1. *Granica funkcji w punkcie (wg Heinego). Pojęcie funkcji ciągłej.
7.2. *Pochodna funkcji.
7.3. *Wzory na pochodną sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji.
Pochodna funkcji wielomianowej.
5.1. Wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem jawnym.
5.2. *Wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem rekurencyjnym.
5.3. Stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego.
5.4. Oblicza oprocentowanie lokat i kredytów procentem składanym.
5.5. *Bada zbieżność szeregów geometrycznych i oblicza ich sumy.
5.6. *Wyznacza granice ciągów typu 1/n; (n + 1)/(n + 2);
(2n2 + 1)/(5n –1), (3n2 + n)/(2n2+1).
6.1. Znajduje wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych
w trójkącie prostokątnym.
6.2. Rozwiązuje równania typu sin x=a, cos x= a, tg x=a, 0o < x < 90o.
6.3. Stosuje związki sin2α+cos2α = 1, tgα = sinα/cosα do przekształcania wyrażeń trygonometrycznych.
6.4. *Stosuje związki sin2α + cos2α=1, tgα = sinα/cosα do przekształcania wyrażeń trygonometrycznych i dowodzenia tożsamości trygonometrycznych.
6.5. *Zamienia miarę stopniową kąta na miarę łukową i odwrotnie.
6.6. *Sporządza wykresy funkcji trygonometrycznych y = sin x
y = cos x, y = tg x.
6.7. *Rozwiązuje równania trygonometryczne typu sin x= ½;
sin2 x + cos x = 1.
6.8. *Posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych przy rozwiązywaniu nierówności trygonometrycznych typu sin x > a, cos x > a,
tg x > a.
7.1. *Rozpoznaje na podstawie wykresu funkcji, czy funkcja jest ciągła.
7.2. *Wyznacza pochodne funkcji wielomianowych.
7.3. *Interpretuje geometrycznie i fizycznie pochodną funkcji w punkcie.
7.4. *Zastosowania pochodnej do badania funkcji.
7.5. *Związek znaku pochodnej z monotonicznością funkcji w przedziale.
7.6. *Warunek konieczny i dostateczny na istnienie ekstremum.
8. Elementy statystyki opisowej
8.1. Parametry rozkładów (z próby): średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, odchylenie standardowe.
9. Teoria prawdopodobieństwa
9.1. Pojęcie prawdopodobieństwa w skończonej przestrzeni probabilistycznej.
9.2. *Elementy kombinatoryki.
10. Planimetria
10.1. Czworokąty wpisane w koło i czworokąty opisane na kole.
10.2. Twierdzenie Talesa.
10.3. Cechy podobieństwa trójkątów.
10.4. Figury podobne.
10.5. Zastosowania trygonometrii w planimetrii.
10.6. Twierdzenie sinusów.
7.4. *Stosuje twierdzenie o monotoniczności funkcji różniczkowalnych
do znajdowania przedziałów monotoniczności funkcji.
7.5. *Wyznacza ekstrema funkcji wymiernych w oparciu o warunki
konieczny i dostateczny na istnienie ekstremum.
7.6. *Rozwiązuje zadania umieszczone w kontekście praktycznym,
prowadzące do badania ekstremum funkcji różniczkowalnej.
8.1. Przedstawia dane empiryczne w postaci tabel, diagramów i wykresów.
8.2. Oblicza średnie arytmetyczne i ważone danych liczbowych.
8.3. Wyznacza medianę i odchylenie standardowe. Wyciąga wnioski
z obliczonych parametrów rozkładu.
9.1. Stosuje klasyczną definicję prawdopodobieństwa do wyznaczania
prawdopodobieństw zdarzeń losowych.
9.2. *Operuje pojęciem silni i symbolu Newtona.
9.3. Rozwiązuje proste zadania kombinatoryczne, obejmujące pojęcia
permutacji i kombinacji elementów skończonego zbioru.
10.1. Stosuje własności czworokąta wpisanego w okrąg i czworokąta
opisanego na okręgu.
10.2. *Prowadzi proste rozumowania dedukcyjne, wykorzystujące własności czworokątów wpisanych i opisanych na okręgu.
10.3. Określa podobieństwo trójkątów na podstawie cech podobieństwa.
10.4. Stosuje cechy podobieństwa trójkątów do rozwiązywania zadań.
10.5. Stosuje twierdzenie Talesa i jego związek z podobieństwem.
10.6. *Prowadzi proste rozumowania dedukcyjne, wykorzystujące podobieństwo figur.
10.7. Oblicza wymiary i pola figur podobnych w podanej skali.
10.8. *Stosuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywania zadań geometrycznych.
10.7. Twierdzenie cosinusów.
11. Planimetria w układzie współrzędnych
11.1 Równanie prostej na płaszczyźnie.
11.2. *Opis półpłaszczyzny nierównością liniową.
10.9. Rozwiązuje trójkąty z zastosowaniem twierdzeń sinusów i cosinusów.
11.1. Potrafi napisać równanie kierunkowe prostej mając dane: dwa jej
punkty, jeden punkt i kąt nachylenia do osi OX.
11.2. Bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich
równań kierunkowych.
11.3. Interpretuje geometrycznie układ dwóch równań liniowych z
dwiema niewiadomymi.
11.4. *Interpretuje geometrycznie na płaszczyźnie układy nierówności
liniowych.
11.3. Odległość punktów we współrzędnych.
11.5. Oblicza odległości punktów na płaszczyźnie współrzędnych, wy11.4. Równanie okręgu.
znacza współrzędne środka odcinka.
11.6. Operuje równaniem okręgu (x – a)2 + (y – b)2 = r2 w zadaniach.
11.7. Rozwiązuje zadania z prostą i okręgiem na płaszczyźnie współrzędnych.
11.8. *Opisuje nierównościami obszary na płaszczyźnie ograniczone
prostymi lub łukami okręgów.
11.9. Dodaje i odejmuje wektory oraz mnoży je przez liczbę.
11.5. Wektory na płaszczyźnie kartezjańskiej.
11.6. Dodawanie wektorów: [a1, a2] ± [b1, b2]= [a1 ± b1, a2 ± b2] i mno- 11.10. Interpretuje geometrycznie działania na wektorach.
11.11. *Stosuje wektory do dowodzenia własności figur, np. że środżenie wektora przez liczbę: α[a1, a2] = [αa1, αa2].
kowe trójkąta dzielą się w stosunku 1:2.
11.7. *Przykłady izometrii płaszczyzny:
11.12. *Rysuje obrazy prostych figur w symetrii osiowej.
11.7.1. *przesunięcie równoległe,
11.13. *Podaje współrzędne obrazów punktów w symetrii względem
11.7.2. *symetrie osiowe i środkowe.
prostych równoległych do osi OX i OY.
11.14. *Rysuje obrazy prostych figur w symetrii środkowej.
11.15. *Podaje współrzędne obrazów punktów w symetrii względem
punktu (0,0).
11.16. *Rysuje obrazy prostych figur w przesunięciu równoległym.
11.17. *Podaje współrzędne obrazu punktu w przesunięciu o dany wektor.
11.18. *Podaje współrzędne wektora przesunięcia, mając współrzędne
11.8. *Przykłady podobieństw: jednokładność.
12. Stereometria
12.1. Kąty w graniastosłupach i ostrosłupach.
12.2. Równoległość i prostopadłość w przestrzeni.
12.3. Zastosowania trygonometrii w stereometrii.
punktu i jego obrazu.
11.19. *Rysuje obrazy prostych figur w jednokładności.
11.20. *Podaje przykłady figur jednokładnych.
11.21. *Znajduje współrzędne obrazów punktów w jednokładności o
środku (0,0).
12.1. Wskazuje krawędzie, wysokości i przekątne w graniastosłupach i
ostrosłupach.
12.2. Wskazuje i oblicza kąty nachylenia: przekątnej lub krawędzi do
podstawy, ściany bocznej do podstawy.
12.3. Stosuje trygonometrię w zadaniach ze stereometrii do obliczania
pól powierzchni i objętości graniastosłupów, ostrosłupów oraz brył
obrotowych (walców, stożków, kul).
12.4. *Wyznacza przekroje znanych brył i oblicza ich pola powierzchni.