Zestaw olimpijski 6.1

Zestaw olimpijski 6
1. Na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego ABC obrano punkty D i E tak, że |AD| = |
AC|, |BE| = |BC|. Wykaż, że miara kąta DCE wynosi 450.
2. Dany jest trapez prostokątny ABCD, w którym |AB| > |CD|, |BD| > |AC|.
Wykaż, że |BD|2 – |AC|2 = |AB|2 – |CD|2.
3. Trzy miejscowości A, B, C leżą przy jednej drodze w podanej kolejności, przy czym od B
do C jest o 12 km dalej niż od A do B. Samochód jadący z prędkością 70 km/h przebył
drogę od A do C w czasie o 54 minuty krótszym niż motocykl jadący z prędkością 40km/h.
Jaka jest odległość od A do B, a jaka od A do C?
4. Prosta k przechodzi przez środek pewnego okręgu i przecina go w punktach A i B. Punkty te
połączono z pewnym punktem C należącym do okręgu. Oblicz długość okręgu, jeżeli
∣BC∣=6 ,∣AC∣=3 .
5. Liczby całkowite x, y, z spełniają warunek (x – y)(y – z)(z – x) = x + y + z. Udowodnić, że
liczba (x – y)3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 jest podzielna przez 81.