P O B I E R Z

Statystyka Matematyczna
Lista zadań nr 5 – Prawdopodobieństwa warunkowe.
Wielowymiarowy rozkład normalny.
Zadanie 1
PokaŜ, Ŝe dla dowolnego pod σ-ciała G ⊆F
F poniŜsze własności zachodzą (C,P) prawie
wszędzie
1. P(A| G )œ[0, 1]
2. P( ∅ | G) = 0 i P(Ω| G )=1
3. P( A ∪ B | G)= P(A| G ) + P(B| G ) o ile zdarzenia A i B są wykluczające się.
UWAGA. PoniŜsze zadania dotyczą nieprzerobionego jeszcze materiału.
Obowiązują od 4 listopada b.r.
Zadanie 2
Wektor (X,Y) T ma rozkład typu ciągłego z gęstością :
f ( x, y ) = A( x + y ) 2 1 <0, 4) ( x )1 ( 0,3> ( y )
Oblicz E(X|Y) oraz P(X<t |Y=w)
UWAGA. W kolejnych zadaniach naleŜy opierać sie na definicji wielowymiarowego
rozkładu normalnego (WRN) podaną na wykładzie (patrz teŜ Bartoszewicz Wykłady...). W
zapisach Y=AX+w , A jest dowolną rzeczywistą macierzą oraz w jest dowolnym
rzeczywistym wektorem dla których wykonalne są wskazane działania.
Zadanie 2
JeŜeli wektor losowy X ma rozkład normalny, to takŜe wektor losowy Y=AX+w ma rozkład
normalny
Zadanie 3
Znając gęstość wektora losowego X mającego rozkład normalny znajdź gęstość wektora
losowego Y=AX+w
Zadanie 4
Dany jest dwuwymiarowy wektor (X,Y)T posiadający nieosobliwy rozkład normalny w R2.
Znajdź rozkład warunkowy zmiennej losowej X pod warunkiem Y=y.
Zadanie 5
a) WykaŜ, Ŝe wartość współczynnika korelacji ρ(X,Y) jest niezmiennicza ze względu na
afiniczne przekształcenia zmiennych losowych X i Y, ten Ŝe dla dowolnych a i c, ac>0:
ρ ( X , Y) = ρ (aX + b, cY + d )
b) oblicz wartość oczekiwaną kwadratu błędu w przypadku, gdy wartość zmiennej losowej Y
przybliŜamy na podstawie obserwacji zmiennej losowej X wartością na prostej regresji II
rodzaju