Statystyka Matematyczna Lista zadań nr 5 – Prawdopodobieństwa

Statystyka Matematyczna
Lista zadań nr 5 – Prawdopodobieństwa warunkowe.
Wielowymiarowy rozkład normalny.
Zadanie 1
Pokaż, że dla dowolnego pod -ciała G F poniższe własności zachodzą (C,P) prawie
wszędzie
1. P(A| G )[0, 1]
2. P(  | G) = 0 i P(| G )=1
3. P( A  B | G)= P(A| G ) + P(B| G ) o ile zdarzenia A i B są wykluczające się.
Zadanie 2
Wektor (X,Y) T ma rozkład typu ciągłego z gęstością :
f ( x, y )  A( x  y ) 2 1 0 , 4 ) ( x )1 (0 ,3 ( y )
Oblicz E(X|Y) oraz P(X<t |Y=w)
UWAGA. W kolejnych zadaniach należy opierać sie na definicji wielowymiarowego rozkładu
normalnego (WRN) podaną na wykładzie (patrz też Bartoszewicz Wykłady...). W zapisach
Y=AX+w , A jest dowolną rzeczywistą macierzą oraz w jest dowolnym rzeczywistym
wektorem dla których wykonalne są wskazane działania.
Zadanie 2
Jeżeli wektor losowy X ma rozkład normalny, to także wektor losowy Y=AX+w ma rozkład
normalny
Zadanie 3
Znając gęstość wektora losowego X mającego rozkład normalny znajdź gęstość wektora
losowego Y=AX+w
Zadanie 4
Dany jest dwuwymiarowy wektor (X,Y)T posiadający nieosobliwy rozkład normalny w R2.
Znajdź rozkład warunkowy zmiennej losowej X pod warunkiem Y=y.
Zadanie 5
a) Wykaż, że wartość współczynnika korelacji (X,Y) jest niezmiennicza ze względu na
afiniczne przekształcenia zmiennych losowych X i Y, tzn. że dla dowolnych a i c, ac>0:
 ( X , Y)   (aX  b, cY  d )
b) oblicz wartość oczekiwaną kwadratu błędu w przypadku, gdy wartość zmiennej losowej Y
przybliżamy na podstawie obserwacji zmiennej losowej X wartością na prostej regresji II
rodzaju