PLAN WYNIKOWY klasa 2. rok szkolny 2015/2016

PLAN WYNIKOWY
(zakres podstawowy)
klasa 2.
rok szkolny 2015/2016
Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe.
Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać uczeń, który opanował wiedzę i zdobył umiejętności stanowiące 40–60% wymagań podstawowych, zaś ocenę dostateczną – uczeń, który
opanował wiedzę i zdobył umiejętności stanowiące powyżej 60% wymagań podstawowych.
Ocenę dobrą powinien otrzymać uczeń, który opanował wiedzę i zdobył umiejętności stanowiące do 75% wymagań dopełniających, zaś ocenę bardzo dobrą – uczeń, który
opanował wiedzę i zdobył umiejętności stanowiące powyżej 75% wymagań dopełniających.
Ocenę celującą powinien uzyskać uczeń, który opanował wiedzę i zdobył umiejętności zawarte w wymaganiach wykraczających.
1. Funkcja liniowa
Wymagania podstawowe
Wymagania dopełniające
Uczeń:
– wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy proporcjonalnością
prostą; potrafi wskazać współczynnik proporcjonalności; rozwiązuje zadania tekstowe z
zastosowaniem proporcjonalności prostej;
− zna pojęcie funkcji liniowej;
− potrafi interpretować współczynniki we wzorze funkcji liniowej;
− potrafi sporządzić wykres funkcji liniowej danej wzorem;
− potrafi na podstawie wykresu funkcji liniowej (wzoru funkcji) określić monotoniczność funkcji;
− potrafi wyznaczyć algebraicznie i graficznie zbiór tych argumentów, dla których funkcja liniowa
przyjmuje wartości dodatnie (ujemne, niedodatnie, nieujemne);
− potrafi sprawdzić algebraicznie, czy punkt o danych współrzędnych należy do wykresu funkcji
liniowej;
− potrafi podać własności funkcji liniowej na podstawie wykresu tej funkcji;
− wie, że współczynnik kierunkowy a we wzorze funkcji y = ax + b, oznacza tangens kąta
nachylenia wykresu funkcji liniowej do osi OX;
− wie, że współczynnik kierunkowy a we wzorze funkcji liniowej y = ax + b wyraża się wzorem
Uczeń:
– potrafi przeprowadzić dowód warunku na
prostopadłość wykresów funkcji liniowych
o współczynnikach różnych od zera;
– potrafi rozwiązywać zadania z wartością
bezwzględną i parametrem dotyczące
własności funkcji liniowej (o średnim stopniu
trudności);
− potrafi naszkicować wykres funkcji
kawałkami liniowej i na jego podstawie
omówić własności danej funkcji;
− potrafi wyznaczyć algebraicznie miejsca
zerowe funkcji kawałkami liniowej oraz
współrzędne punktu wspólnego wykresu
funkcji i osi OY;
− potrafi wyznaczyć algebraicznie zbiór tych
argumentów, dla których funkcja kawałkami
liniowa przyjmuje wartości dodatnie
(ujemne);
− potrafi obliczyć wartość funkcji kawałkami
liniowej dla podanego argumentu;
a=
y 2 − y1
, gdzie A(x1, y1), B(x2, y2) są punktami należącymi do wykresu tej funkcji;
x2 − x1
− potrafi znaleźć wzór funkcji liniowej o zadanych własnościach (np. takiej, której wykres
przechodzi przez dwa dane punkty; jest nachylony do osi OX pod danym kątem
Wymagania wykraczające
Uczeń
– rozwiązuje zadania
nietypowe,
o podwyższonym stopniu
trudności.
1
i przechodzi przez dany punkt itp.);
− potrafi napisać wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie;
− potrafi napisać wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do wykresu danej funkcji
liniowej i przechodzi przez punkt o danych współrzędnych;
− potrafi napisać wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do wykresu danej funkcji
liniowej i przechodzi przez punkt o danych współrzędnych;
− na podstawie wzorów dwóch funkcji liniowych potrafi określić wzajemne położenie ich
wykresów;
− potrafi rozwiązywać proste zadania
z parametrem dotyczące własności funkcji liniowej:
− potrafi stosować wiadomości o funkcji liniowej do opisu zjawisk z życia codziennego (podać
opis matematyczny zjawiska w postaci wzoru funkcji liniowej, odczytać informacje z wykresu
(wzoru), zinterpretować je, przeanalizować i przetworzyć);
− potrafi rozwiązać równanie liniowe z jedną niewiadomą;
− potrafi rozwiązać nierówność liniową z jedną niewiadomą i przedstawić jej zbiór rozwiązań na
osi liczbowej;
− potrafi rozwiązać układ nierówności liniowych
z jedną niewiadomą;
− potrafi interpretować graficznie równania
i nierówności liniowe z jedną niewiadomą;
− potrafi rozwiązywać algebraicznie proste równania i nierówności liniowe z wartością
bezwzględną i interpretować je graficznie
np.: |x – 2|= 3, |x + 4|> 2;
− zna pojęcia równania pierwszego stopnia
z dwiema niewiadomymi;
− wie, że wykresem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest prosta;
− zna pojęcie układu dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi;
− potrafi rozpoznać układ oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny i umie podać ich interpretację
geometryczną;
− potrafi rozwiązywać algebraicznie (metodą przez podstawienie oraz metodą przeciwnych
współczynników) układy dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi;
− potrafi graficznie rozwiązać układy dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema
niewiadomymi.
– potrafi rozwiązywać równania i nierówności
liniowe z wartością bezwzględną (o średnim
stopniu trudności) i interpretować je
graficznie;
− potrafi przeprowadzić dyskusję liczby
rozwiązań równania liniowego z parametrem;
– potrafi wyznaczyć wszystkie wartości
parametru, dla których zbiorem rozwiązań
nierówności liniowej z parametrem jest
podany zbiór.
2
2. Funkcja kwadratowa
Wymagania podstawowe
Uczeń:
– potrafi naszkicować wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem y = ax2, gdzie a ≠ 0, oraz
omówić jej własności na podstawie wykresu;
– zna wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej
y = ax2 + bx + c, gdzie a ≠ 0;
– zna wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej y = a ⋅ (x – p)2 + q, gdzie a ≠ 0;
– zna wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej y = a ⋅ (x – x 1 )(x – x 2 ), gdzie a ≠ 0;
– zna wzory pozwalające obliczyć: wyróżnik funkcji kwadratowej, współrzędne wierzchołka
paraboli, miejsca zerowe funkcji kwadratowej (o ile istnieją);
– potrafi obliczyć miejsca zerowe funkcji kwadratowej lub uzasadnić, że funkcja kwadratowa nie
ma miejsc zerowych;
− potrafi obliczyć współrzędne wierzchołka paraboli na podstawie poznanego wzoru oraz na
podstawie znajomości miejsc zerowych funkcji kwadratowej;
− potrafi sprawnie zamieniać jedną postać wzoru funkcji kwadratowej na drugą (wzór funkcji
w postaci ogólnej, kanonicznej, iloczynowej);
− interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej (wzór funkcji w postaci
ogólnej, kanonicznej, iloczynowej);
− potrafi podać niektóre własności funkcji kwadratowej (bez szkicowania jej wykresu) na
podstawie wzoru funkcji w postaci kanonicznej (przedziały monotoniczności funkcji, równanie
osi symetrii paraboli, zbiór wartości funkcji) oraz na podstawie wzoru funkcji w postaci
iloczynowej (miejsca zerowe funkcji, zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości
dodatnie lub ujemne);
− potrafi naszkicować wykres dowolnej funkcji kwadratowej, korzystając z jej wzoru;
− potrafi na podstawie wykresu funkcji kwadratowej omówić jej własności;
− potrafi napisać wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o jej wykresie;
− potrafi napisać wzór funkcji kwadratowej o zadanych własnościach;
− potrafi przekształcić wykres funkcji kwadratowej (symetria względem osi OX, symetria
względem osi OY, symetria względem punktu O(0, 0), przesunięcie równoległe o wektor) oraz
napisać wzór funkcji, której wykres otrzymano w danym przekształceniu;
− potrafi wyznaczyć najmniejszą oraz największą wartość funkcji kwadratowej w danym
przedziale domkniętym;
− potrafi algebraicznie rozwiązywać równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą;
− potrafi graficznie rozwiązywać równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą;
− potrafi rozwiązywać proste zadania prowadzące do równań i nierówności kwadratowych z
jedną niewiadomą;
Wymagania dopełniające
Uczeń:
– potrafi rozwiązywać równania, które można
sprowadzić do równań kwadratowych;
− potrafi rozwiązywać zadania tekstowe
prowadzące do równań i nierówności
kwadratowych z jedną niewiadomą (w tym
zadania geometryczne);
− potrafi zastosować własności funkcji
kwadratowej do rozwiązywania zadań
optymalizacyjnych;
− potrafi rozwiązywać zadania z parametrem,
o średnim stopniu trudności, dotyczące
własności funkcji kwadratowej;
− potrafi rozwiązywać zadania na dowodzenie
dotyczące własności funkcji kwadratowej.
Wymagania wykraczające
Uczeń
– potrafi wyprowadzić
wzory na miejsca zerowe
funkcji kwadratowej;
− potrafi wyprowadzić
wzory na współrzędne
wierzchołka paraboli;
− potrafi rozwiązywać różne
problemy dotyczące
funkcji kwadratowej,
które wymagają
niestandardowych metod
pracy oraz
niekonwencjonalnych
pomysłów.
3
– potrafi rozwiązywać proste zadania z parametrem dotyczące własności funkcji kwadratowej;
− potrafi przeanalizować zjawisko z życia codziennego, opisane wzorem (wykresem) funkcji
kwadratowej.
3. Geometria płaska – czworokąty
Wymagania podstawowe
Wymagania dopełniające
Uczeń:
− zna podział czworokątów;
− potrafi wyróżnić wśród trapezów: trapezy prostokątne i trapezy równoramienne; poprawnie
posługuje się takimi określeniami, jak: podstawa, ramię, wysokość trapezu;
− wie, że suma kątów przy każdym ramieniu trapezu jest równa 180° i umie tę własność
wykorzystać w rozwiązywaniu prostych zadań;
− zna twierdzenie o odcinku łączącym środki ramion trapezu i umie zastosować je
w rozwiązywaniu prostych zadań;
− potrafi rozwiązywać proste zadania dotyczące własności trapezów;
− zna podstawowe własności równoległoboków i umie je stosować w rozwiązywaniu prostych
zadań;
− wie, jakie własności ma romb;
− zna własności prostokąta i kwadratu;
− wie, co to są trapezoidy, potrafi podać przykłady takich figur;
− wie, czym charakteryzuje się deltoid;
− rozwiązując zadania dotyczące czworokątów, korzysta z wcześniej poznanych twierdzeń, takich
jak twierdzenie Pitagorasa oraz twierdzenie Talesa, wykorzystuje wiedzę na temat trójkątów,
stosuje również wiadomości z trygonometrii;
− zna i potrafi stosować wzór na liczbę przekątnych wielokąta wypukłego;
− zna i potrafi stosować w zadaniach wzór na sumę miar kątów wewnętrznych wielokąta
wypukłego;
− wie, co to jest kąt zewnętrzny wielokąta wypukłego i ile wynosi suma miar wszystkich kątów
zewnętrznych wielokąta wypukłego;
− wie, jaki wielokąt jest wielokątem foremnym;
− zna i rozumie definicję podobieństwa;
− potrafi wskazać figury podobne;
− potrafi rozwiązywać proste zadania dotyczące podobieństwa czworokątów.
Uczeń:
− umie na podstawie własności czworokąta
podanych w zadaniu wywnioskować, jaki to
jest czworokąt;
− umie udowodnić twierdzenie o odcinku
łączącym środki ramion trapezu;
− potrafi rozwiązywać zadania o średnim
stopniu trudności dotyczące czworokątów, w
tym trapezów i równoległoboków;
− potrafi uzasadnić, że suma miar kątów
zewnętrznych wielokąta wypukłego jest stała
i wynosi 720°.
Wymagania wykraczające
Uczeń:
− potrafi rozwiązywać
nietypowe zadania o
podwyższonym stopniu
trudności dotyczące
czworokątów.
4
4. Geometria płaska – pole czworokąta
Wymagania podstawowe
− zna wzory na pola czworokątów, takich jak: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok oraz
trapez i potrafi je stosować w prostych zadaniach, korzystając z wcześniej zdobytej wiedzy (w
tym także z trygonometrii);
− zna i potrafi stosować w prostych zadaniach zależność między skalą podobieństwa
czworokątów a polami tych czworokątów;
− potrafi rozwiązywać proste zadania z zastosowaniem skali mapy.
Wymagania dopełniające
− wie, jak obliczyć pole czworokąta, jeśli dane
są długości jego przekątnych i miara kąta,
pod jakim przecinają się te przekątne;
– potrafi rozwiązywać zadania dotyczące pól
czworokątów o średnim stopniu trudności.
Wymagania wykraczające
– potrafi rozwiązywać
zadania o podwyższonym
stopniu trudności
dotyczące pól
czworokątów.
5. Wielomiany
Wymagania podstawowe
Uczeń:
− zna pojęcie jednomianu jednej zmiennej i potrafi określić stopień tego jednomianu;
− potrafi wskazać jednomiany podobne;
− potrafi rozpoznać wielomian jednej zmiennej rzeczywistej;
− potrafi uporządkować wielomian (malejąco
lub rosnąco);
− potrafi określić stopień wielomianu jednej zmiennej;
− potrafi obliczyć wartość wielomianu dla danej wartości zmiennej;
− potrafi wykonać dodawanie, odejmowanie, mnożenie wielomianów;
− potrafi sprawdzić, czy podana liczba jest pierwiastkiem wielomianu;
− potrafi rozłożyć wielomian na czynniki poprzez wyłączanie wspólnego czynnika poza nawias,
zastosowanie wzorów skróconego mnożenia:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2,
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
(a – b)(a + b) = a2 – b2
oraz zastosowanie metody grupowania wyrazów;
− potrafi rozwiązywać równania wielomianowe, które wymagają umiejętności rozkładania
wielomianów na czynniki wymienionych w poprzednim punkcie;
− potrafi rozwiązywać proste zadania dotyczące własności wielomianów, w których występują
parametry.
Wymagania dopełniające
Uczeń:
– potrafi rozwiązywać równania
wielomianowe, które można sprowadzić do
równań kwadratowych przez odpowiednie
podstawienie;
– potrafi rozwiązywać zadania o wielomianach
o średnim stopniu trudności;
− potrafi rozwiązywać zadania tekstowe
prowadzące do równań wielomianowych.
Wymagania wykraczające
Uczeń:
− potrafi rozwiązywać
zadania dotyczące
wielomianów wymagające
niekonwencjonalnych
metod lub pomysłów, a
także zadania o
podwyższonym stopniu
trudności z
zastosowaniem poznanej
wiedzy.
5
6. Ułamki algebraiczne. Równania wymierne
Wymagania podstawowe
Uczeń:
− potrafi określić dziedzinę ułamka algebraicznego;
− potrafi napisać ułamek algebraiczny o zadanej dziedzinie;
− potrafi wykonywać działania na ułamkach algebraicznych, takie jak: skracanie ułamków,
rozszerzanie ułamków, dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamków
algebraicznych;
− potrafi rozwiązywać proste równania wymierne;
− potrafi narysować wykres funkcji f(x) =
a
,
x
f(x) =
a
,
x
a
+ q , gdzie a ≠ 0
x−p
− potrafi przekształcić wzór funkcji f(x) =
ax + b
, gdzie x ≠ –c, tak by znany był wzór
x+c
Wymagania wykraczające
Uczeń:
– potrafi rozwiązywać
zadania o podwyższonym
stopniu trudności
dotyczące wyrażeń
wymiernych.
funkcji
y=
gdzie a ∈ R – {0}, x ∈ R – {0};
− potrafi opisać własności funkcji f(x) =
Wymagania dopełniające
Uczeń:
− zna definicję funkcji homograficznej
a
i współrzędne wektora przesunięcia
x
równoległego;
− potrafi narysować wykres funkcji f(x) =
a ∈ R – {0}, x ∈ R – {0};
ax + b
, gdzie x ≠ –c;
− wie, jaką zależność pomiędzy dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy proporcjonalnością
x
c
+
odwrotną;
− potrafi opisać własności funkcji
− potrafi wskazać współczynnik proporcjonalności odwrotnej;
− potrafi rozwiązywać proste zadania tekstowe z zastosowaniem wiadomości o proporcjonalności homograficznej f(x) = ax + b , gdzie x ≠ –c, na
x+c
odwrotnej.
podstawie jej wykresu;
− potrafi obliczyć miejsce zerowe funkcji
homograficznej oraz współrzędne punktu,
w którym wykres przecina oś OY;
− potrafi wyznaczyć przedziały
monotoniczności funkcji homograficznej;
− potrafi rozwiązywać równania i nierówności
związane z funkcją homograficzną;
− potrafi przekształcić wykres funkcji
homograficznej w symetrii względem osi OX,
symetrii względem osi OY, symetrii względem
punktu (0, 0), w przesunięciu równoległym
o dany wektor oraz napisać wzór funkcji,
której wykres otrzymano w wyniku tego
przekształcenia;
− potrafi rozwiązywać zadania tekstowe
prowadzące do równań wymiernych.
6
7. Ciągi
Wymagania podstawowe
Uczeń:
− zna definicję ciągu (ciągu liczbowego);
− potrafi wyznaczyć dowolny wyraz ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym;
− potrafi narysować wykres ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym;
− potrafi podać własności ciągu liczbowego na podstawie jego wykresu;
− zna definicję ciągu arytmetycznego;
− zna i potrafi stosować w rozwiązywaniu zadań wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego;
− zna i potrafi stosować w rozwiązywaniu zadań wzór na sumę n kolejnych początkowych
wyrazów ciągu arytmetycznego;
− zna definicję ciągu geometrycznego;
− zna i potrafi stosować w rozwiązywaniu zadań wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego;
− zna i potrafi stosować w rozwiązywaniu zadań wzór na sumę n kolejnych początkowych
wyrazów ciągu geometrycznego;
− potrafi wyznaczyć pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego na podstawie informacji
o innych wyrazach ciągu;
− potrafi znaleźć wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego;
− potrafi wyznaczyć pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego na podstawie informacji
o wartościach innych wyrazów ciągu;
− potrafi znaleźć wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego;
− potrafi rozwiązywać zadania z życia codziennego dotyczące ciągu arytmetycznego
i geometrycznego;
− potrafi stosować procent prosty i składany w zadaniach dotyczących oprocentowania lokat
i kredytów.
Wymagania dopełniające
Uczeń:
– potrafi wypisać kilka kolejnych wyrazów ciągu
danego wzorem rekurencyjnym;
– potrafi sprawdzić, które wyrazy ciągu należą
do danego przedziału;
− potrafi zbadać na podstawie definicji
monotoniczność ciągu określonego wzorem
ogólnym;
− potrafi zbadać na podstawie definicji, czy
dany ciąg określony wzorem ogólnym jest
arytmetyczny;
− potrafi zbadać na podstawie definicji, czy
dany ciąg określony wzorem ogólnym jest
geometryczny;
− potrafi wykorzystać średnią arytmetyczną do
obliczenia wyrazu środkowego ciągu
arytmetycznego;
− potrafi wykorzystać średnią geometryczną do
obliczenia wyrazu środkowego ciągu
geometrycznego;
− potrafi rozwiązywać różne zadania dotyczące
ciągu arytmetycznego lub ciągu
geometrycznego, które wymagają
rozwiązania układów równań o
podwyższonym stopniu trudności;
− potrafi rozwiązywać zadania mieszane
dotyczące ciągu arytmetycznego i
geometrycznego.
Wymagania wykraczające
Uczeń:
− uczeń potrafi rozwiązywać
zadania na dowodzenie
dotyczące ciągów i ich
własności;
− potrafi udowodnić wzór
na sumę n kolejnych
początkowych wyrazów
ciągu arytmetycznego;
− potrafi udowodnić wzór
na sumę n kolejnych
początkowych wyrazów
ciągu geometrycznego.
7