Zajęcia nr 11 Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zajęcia nr 11 Zadania do samodzielnego rozwiązania

Analiza matematyczna dla informatyków 2
Zajęcia nr 11
11.1.
Znaleźć ekstrema lokalne funkcji
f (x, y) = 3x2 − 4xy + 4y 2 − 4x + 8y + 4.
11.2.
Zbadać, czy funkcja
f (x, y) = x8 − y 4
ma ekstremum lokalne.
11.3.
Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji
f (x, y) = 2x3 + 4x2 + y 2 − 2xy
w zbiorze A ∶ {(x, y) ∶ −2 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4}.
11.4.
Należy zbudować prostopadłościenne pudełko kartonowe (bez pokrywki) o objętości 32 cm3 . Jakie wymiary
powinno ono mieć, żeby wykorzystać jak najmniej kartonu?
11.5.
Znaleźć ekstrema warunkowe funkcji
f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − xy + x + 2z.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
D.11.1. Czy funkcja f ma ekstremum lokalne:
(i) f (x, y) = 2x4 − 3y 7 ;
(ii) f (x, y) = 3(x − 1)2 + 4(y + 2)2 ;
(iii) f (x, y) = x3 + 3xy 2 − 51x − 24y.
R
W przypadku pozytywnej odpowiedzi znaleźć punkty, w których jest ekstremum i określić jego charakter.
Odpowiedź.
(i) nie istnieje ekstremum;
(ii) w punkcie (1, −2) jest minimum;
(iii) w punkcie (4, 1) jest minimum lokalne, w punkcie (−4, −1) jest maksimum lokalne.
D.11.2. Znaleźć wartość największą i najmniejszą funkcji f w zbiorze D, gdzie
R
(i) f (x, y) = 2x2 − 2y 2 , D = {(x, y) ∶ x2 + y 2 ≤ 4};
(ii) f (x, y) = x2 + y 2 , D = {(x, y) ∶ ∣x∣ + ∣y∣ ≤ 2}.
Odpowiedź.
(i) fmax = 2, fmin = 0;
(ii) fmin = 0, fmax = 4.
© 2010 Wydział Matematyki i Informatyki UAM
Zajęcia nr 11
Analiza matematyczna dla informatyków 2
D.11.3. W trójkącie o wierzchołkach A = (−1, 5), B = (1, 4) oraz C = (2, −3) znaleźć punkt M , dla którego suma
kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza.
R
Odpowiedź. M = ( 32 , 2).
D.11.4. Pewna firma produkuje i sprzedaje repliki starych samochodów w skali 1 ∶ 5. Klient może kupić gotowy samochód lub zamówić samochód w częściach do samodzielnego montażu. Na podstawie analizy rynku znaleziono
wzór funkcji R wyrażającej tygodniowy przychód (w euro) przedsiębiorstwa w zależności od ilości sprzedanych
samochodów – gotowych x oraz do samodzielnego montażu y,
1
3
1
P (x, y) = − x2 − y 2 − xy + 300x + 240y.
4
8
4
R
Wyprodukowanie gotowego samochodu kosztuje 180 euro; samochodu do samodzielnego montażu 140 euro.
Ponadto, koszty stałe firmy wynoszą 5000 euro. Jaka ilość sprzedanych samochodów zapewnia firmie największy
zysk?
Odpowiedź. x = 208, y = 64.
Dodatkowe zadania można znaleźć w W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, II, § 1.16.
M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2. Przykłady i zadania. Rozdział 4.
© 2010 Wydział Matematyki i Informatyki UAM
2
Zajęcia nr 11