Wykład 4 (plik PDF)

64
M. Be±ka, Wst¦p do teorii miary, rozdz. 5
5
Funkcje mierzalne
5.1
Odwzorowania mierzalne
Niech (X, A), (Y, D) b¦d¡ przestrzeniami mierzalnymi.
Denicja 5.1
Odwzorowanie
T : X → Y nazywamy odwzorowaniem mierzalnym, je±li
^
F ∈ D ⇒ T −1 (F ) ∈ A.
F
Powy»szy warunek mo»emy zapisa¢ jako
Twierdzenie 5.2
T −1 (D) ⊂ A.
Niech
(X, A), (Y, D), (Z, F) b¦d¡ przestrzeniami mierzalnymi. Je±li
T : X → Y i S : Y → Z s¡ odwzorowaniami mierzalnymi to ich zªo»enie S ◦ T te» jest
odwzorowaniem mierzalnym.
Dowód.
Niech A ∈ F . Wtedy
(S ◦ T )−1 (A) = T −1 (S −1 (A)) ∈ A.
2
Twierdzenie 5.3
Niech
(X, A), (Y, D) b¦d¡ przestrzeniami mierzalnymi. Zaªó»my ponadto, »e D = σ(C), gdzie C jest pewna rodzina podzbiorów Y . Wtedy T : X → Y jest
odwzorowaniem mierzalnym wtedy i tylko wtedy, gdy
^
F ∈C
⇒
T −1 (F ) ∈ A
tzn.
T −1 (C) ⊂ A.
F
Dowód. (⇒) Jest oczywisty.
(⇐) Oznaczmy
G = { F ∈ D : T −1 (F ) ∈ A }.
Zauwa»my, »e G ⊂ D oraz jest niepust¡ rodzin¡, bo C ⊂ G . Wyka»emy, »e G jest σ -algebr¡.
(i) ∅ ∈ G , bo T −1 (∅) = ∅.
(ii) Niech A ∈ G . Wtedy T −1 (A) ∈ A. St¡d,z wªasno±ci przeciwobrazów i z tego, »e A
0
jest σ -algebr¡ mamy T −1 (A0 ) = T −1 (A) ∈ A. Zatem A0 ∈ G .
(iii) Niech Ai ∈ G dla i ∈ IN tzn. T −1 (Ai ) ∈ A dla i ∈ IN. Wtedy
T −1
∞
[
i=1
Zatem
S∞
i=1 Ai
∈ G.
∞
[
Ai =
T −1 (Ai ) ∈ A,
i=1
bo A jest σ -algebr¡.
65
M. Be±ka, Wst¦p do teorii miary, rozdz. 5
Mo»emy wi¦c napisa¢
D = σ(C) ⊂ σ(G) = G ⊂ D
czyli G = D.
Dowód zostaª wi¦c zako«czony.
2
Denicja 5.4
Niech
(X, A) b¦dzie przestrzeni¡ mierzaln¡, a (IR, B(IR)) przestrzeni¡ (mierzaln¡) borelowsk¡. Wtedy odwzorowanie mierzalne f : X → IR nazywamy funkcj¡ mierzaln¡. Gdy X ⊂ IR to funkcj¦ mierzaln¡ f nazywamy funkcj¡ borelowsk¡.
Podane poni»ej twierdzenie charakteryzuje warunki na mierzalno±¢ funkcji
Twierdzenie 5.5
Niech
(X, A) b¦dzie przestrzeni¡ mierzaln¡, a f : X → IR dan¡ funkcj¡.
Nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne
(i)
(ii)
Funkcja
f jest mierzalna.
Dla dowolnego zbioru otwartego
U ⊂ IR mamy f −1 (U ) ∈ A.
(iii)
Dla dowolnego zbioru domkni¦tego
(iv)
Dla dowolnego
a ∈ IR mamy f −1 ((a, ∞)) = {x ∈ X : f (x) > a } ∈ A.
(v)
Dla dowolnego
a ∈ IR mamy f −1 ([a, ∞)) = {x ∈ X : f (x) ≥ a } ∈ A.
(vi)
Dla dowolnego
a ∈ IR mamy f −1 ((−∞, a)) = {x ∈ X : f (x) < a } ∈ A.
(vii)
Dla dowolnego
a ∈ IR mamy f −1 ((−∞, a]) = {x ∈ X : f (x) ≤ a } ∈ A.
(viii)
Dla dowolnych
a, b ∈ IR, a < b mamy f −1 ((a, b)) = {x ∈ X : a < f (x) < b } ∈ A.
(ix)
Dla dowolnych
a, b ∈ IR, a < b mamy f −1 ([a, b]) = {x ∈ X : a ≤ f (x) ≤ b } ∈ A.
(x)
Dla dowolnych
a, b ∈ IR, a < b mamy f −1 ((a, b]) = {x ∈ X : a < f (x) ≤ b } ∈ A.
(xi)
Dla dowolnych
a, b ∈ IR, a < b mamy f −1 ([a, b)) = {x ∈ X : a ≤ f (x) < b } ∈ A.
F ⊂ IR mamy f −1 (F ) ∈ A.
Dowód wynika z Twierdzenia 2.12, uwagi po dowodzie tego twierdzenia oraz z
Twierdzenia 5.3.
Dowód.
Uwaga. Zauwa»my, »e w warunkach (iv)-(xi) wystarczy »¡da¢ aby a, b ∈ Q.
2
2
Oznaczmy przez IR = [−∞, ∞] rozszerzon¡ prost¡. Przyjmujemy nast¦puj¡c¡ umow¦
dotycz¡c¡ dziaªa« na IR
0 · (±∞) = (±∞) · 0 = 0 oraz
1
= 0.
±∞
66
M. Be±ka, Wst¦p do teorii miary, rozdz. 5
W dziaªaniach na IR nie mog¡ wyst¦powa¢ wyra»enia postaci:
∞
∞
Oznaczmy
oraz
∞ − ∞.
B(IR) = {B ∪ F : B ∈ B(IR) },
gdzie F ∈ {∅, {−∞}, {+∞}, {−∞, +∞}}.
Denicja 5.6
Funkcj¦
ona mierzalna je±li
f : X → IR nazywamy funkcj¡ numeryczn¡ (lub rozszerzon¡). Jest
f −1 (B) ∈ A dla dowolnego B ∈ B(IR).
Twierdzenie 5.7
Niech (X, A) b¦dzie dan¡ przestrzeni¡ mierzaln¡. Funkcja numeryczna
f : X → IR jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego F ∈ B(IR) mamy
f −1 (F ) ∈ A.
(⇒) Jest oczywisty, bo B(IR) ⊂ B(IR).
(⇐) Zauwa»my, »e
Dowód.
{x ∈ X : f (x) = +∞ } =
∞
\
{x ∈ X : f (x) > n } =
n=1
∞
\
f −1 ((n, +∞)) ∈ A.
n=1
Podobnie {x ∈ X : f (x) = −∞ }. Je±li teraz F ∈ B(IR) to F = B ∪ A, gdzie B ∈ B(IR),
A ∈ {∅, {−∞}, {+∞}, {−∞, +∞}}. Niech A = {+∞}. Wtedy
f −1 (F ) = f −1 (B) ∪ f −1 (A) = f −1 (B) ∪ {x ∈ X : f (x) = +∞ } ∈ A.
Podobnie jest, gdy A = {−∞}. Gdy A = {−∞, +∞} to
f −1 (F ) = f −1 (B) ∪ f −1 (A) =
f −1 (B) ∪ {x ∈ X : f (x) = −∞ } ∪ {x ∈ X : f (x) = +∞ } ∈ A.
Przykªady. Niech (X, A) b¦dzie przestrzeni¡ mierzaln¡.
(a) Niech ∅ =
6 A ⊂ X . Wtedy funkcja charakterystyczna zbioru A (indykator zbioru A)
IA (x) =
2
1, x ∈ A,
0, x ∈
6 A
jest funkcj¡ mierzaln¡ wtedy i tylko wtedy, gdy A ∈ A.
(b) Je±li g : IR → IR jest funkcj¡ ci¡gª¡ to g jest funkcj¡ mierzaln¡ (borelowsk¡). St¡d i
z Twierdzenia 5.2 wynika, »e je±li ponadto f : X → IR jest funkcj¡ mierzaln¡ to g ◦ f jest
funkcj¡ mierzaln¡. W szczególno±ci f 2 , |f | s¡ funkcjami mierzalnymi.
67
M. Be±ka, Wst¦p do teorii miary, rozdz. 5
(c) Funkcj¦ f
: X → IR nazywamy funkcj¡ prost¡ je±li f przyjmuje tylko sko«czon¡ ilo±¢
warto±ci. Niech {a1 , . . . , an } b¦dzie zbiorem wszystkich (ró»nych) warto±ci f . Oznaczmy
przez Ai = {x ∈ X : f (x) = ai }, i = 1, . . . , n. Wtedy {Ai }ni=1 jest rozbiciem X oraz
f (x) =
n
X
ai IAi (a),
x ∈ X.
i=1
Funkcja f jest funkcj¡ mierzaln¡ wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego i = 1, 2, . . . , n mamy
Ai ∈ A, co wynika z równo±ci:
Ai = {x ∈ X : f (x) = ai },
i = 1, . . . , n oraz {x ∈ X : f (x) > a} =
[
Ai .
ai >a
W szczególno±ci funkcja staªa f = const. jest zawsze funkcj¡ mierzaln¡.
Uwaga. Niech
(X, A) b¦dzie przestrzeni¡ mierzaln¡ i niech {Ai }i∈I ⊂ A b¦dzie sko«czonym lub przeliczalnym rozbiciem zbioru X . Wtedy funkcja f : X → IR jest funkcj¡
mierzaln¡ wtedy
i tylko wtedy, gdy dla ka»dego i ∈ I funkcja obci¦ta do zbioru Ai (zaw¦»ona do Ai ) f A : Ai → IR jest AAi - mierzalna, gdzie AAi = {F ∩ Ai : F ∈ A} ⊂ A.
i
Dowód.
Dowód tej uwagi wynika z nast¦puj¡cych relacji dla c ∈ IR:
{f A > c} := {x ∈ Ai : f A (x) > c} = {f > c} ∩ Ai ∈ AAi ,
i
i
{f > c} := {x ∈ X : f (x) > c } =
[
{f > c} ∩ Ai =
i∈I
[
{f A > c} ∈ A.
i
i∈I
2
Twierdzenie 5.8
Niech
(X, A) b¦dzie przestrzeni¡ mierzaln¡ i niech f, g : X → IR b¦d¡
funkcjami rozszerzonymi mierzalnymi. Wtedy
{x ∈ X : f (x) > g(x)},
Dowód.
{x ∈ X : f (x) ≥ g(x)},
{x ∈ X : f (x) = g(x)} ∈ A.
Dowód wynika z nast¦puj¡cych równo±ci:
{x ∈ X : f (x) > g(x)} =
[
({x ∈ X : f (x) > r} ∩ {x ∈ X : r > g(x)}),
r∈Q
{x ∈ X : f (x) ≥ g(x)} = X \ {x ∈ X : f (x) < g(x)},
{x ∈ X : f (x) = g(x)} = {x ∈ X : f (x) ≥ g(x)} ∩ {x ∈ X : f (x) ≤ g(x)}.
2
Wniosek 5.9
Niech
(X, A) b¦dzie przestrzeni¡ mierzaln¡ i niech f, g : X → IR b¦d¡
αf dla α ∈ IR, f + a dla a ∈ IR, f + g , f · g
funkcjami rozszerzonymi mierzalnymi. Wtedy
s¡ równie» mierzalne.
68
M. Be±ka, Wst¦p do teorii miary, rozdz. 5
Dowód.
Dla c ∈ IR zachodz¡ równo±ci:
n
co
{x ∈ X : αf (x) > c } = x ∈ X : f (x) >
,
α
n
co
{x ∈ X : αf (x) > c } = x ∈ X : f (x) <
,
α
αf ≡ 0, gdy α = 0.
gdy α > 0,
gdy α < 0,
St¡d αf jest funkcj¡ mierzaln¡. Podobnie
{x ∈ X : f (x) + a > c } = {x ∈ X : f (x) > c − a } ∈ A,
c ∈ IR,
co daje mierzalno±¢ sumy f + a. W celu udowodnienia mierzalno±ci f + g skorzystamy z
uwagi podanej powy»ej (bezpo±rednio przed Twierdzeniem 5.8). Zauwa»my, »e na zbiorach
{x ∈ X : g(x) = −∞ } i {x ∈ X : g(x) = +∞ } suma f + g jest funkcj¡ staª¡, a wi¦c
mierzaln¡. Mo»emy wi¦c zaªo»y¢, »e g przyjmuje warto±ci sko«czone. Wtedy dla c ∈ IR
mamy
{x ∈ X : f (x) + g(x) > c} = {x ∈ X : f (x) > c − g(x)} ∈ A
na mocy Twierdzenia 5.8. Mierzalno±¢ f · g wynika z mierzalno±ci kwadratu funkcji mierzalnej (jako zªo»enie funkcji ci¡gªej z funkcj¡ mierzaln¡) oraz z formuªy
fg =
1
1
(f + g)2 − (f − g)2 .
4
4
2
Twierdzenie 5.10
(X, A) b¦dzie przestrzeni¡ mierzaln¡ i niech fi : X → IR dla
i ∈ I b¦d¡ funkcjami rozszerzonymi mierzalnymi, gdzie I jest co najwy»ej przeliczalnym
Niech
zbiorem indeksów. Wtedy funkcje
ϕ(x) = inf{ fi (x) : i ∈ I },
ψ(x) = sup{ fi (x) : i ∈ I },
x∈X
s¡ funkcjami mierzalnymi.
Dowód.
Dla c ∈ IR mamy
{x ∈ X : ϕ(x) < c} =
[
{x ∈ X : fi (x) < c},
i∈I
{x ∈ X : ψ(x) > c} =
[
{x ∈ X : fi (x) > c},
i∈I
co daje mierzalno±¢ ϕ i ψ .
2
69
M. Be±ka, Wst¦p do teorii miary, rozdz. 5
Wniosek 5.11
Niech
(X, A) b¦dzie przestrzeni¡ mierzaln¡. Je±li fn : X → IR, n ∈ IN s¡
funkcjami mierzalnymi to
oraz
lim sup fn
n→∞
lim inf fn
n→∞
s¡ równie» funkcjami mierzalnymi. W szczególno±ci je±li
funkcji
{fn }n≥1 jest punktowo zbie»ny do
f , to f jest równie» funkcj¡ mierzaln¡.
2
Denicja 5.12
Niech
f : X → IR b¦dzie dan¡ funkcj¡ numeryczn¡. Okre±lmy
f + (x) = max{ f (x), 0}
Je±li
f − (x) = max{ −f (x), 0},
oraz
x ∈ X.
f : X → IR to
f + (x) =
|f (x)| + f (x)
2
oraz
f − (x) =
|f (x)| − f (x)
,
2
x ∈ X.
Zauwa»my, »e f + , f − ≥ 0 oraz
f = f+ − f−
oraz
|f | = f + + f − .
Z Twierdzenia 5.10 wynika wi¦c, »e f jest funkcj¡ mierzaln¡ wtedy i tylko wtedy, gdy f +
i f − s¡ funkcjami mierzalnymi.
Twierdzenie 5.13
Ka»da funkcja mierzalna f : X → IR jest granic¡ punktow¡ pewnego
{fn }n≥1 funkcji prostych (mierzalnych). Je±li f jest funkcj¡ ograniczon¡ to mo»na
tak dobra¢ ci¡g {fn }n≥1 , aby byª ci¡giem zbie»nym do f jednostajnie. Je±li natomiast f
jest nieujemna, to mo»na tak dobra¢ ci¡g {fn }n≥1 , aby byª ci¡giem niemalej¡cym.
ci¡gu
Dowód.
Dla n ∈ IN okre±lmy

−n gdy f (x) < −n,




k
k
k+1
fn (x) =
gdy −n ≤ n ≤ f (x) < n ≤ n,
n

2
2
2



n gdy f (x) ≥ n.
= −nIf −1 ((−∞,−n)) (x) +
n −1
n2
X
k=−n2n
k = −n2n , . . . , n2n − 1,
k
I −1
n
n (x) + nIf −1 ([n,+∞)) (x),
2n f ([k/2 , (k+1)/2 ))
x ∈ X.
Zauwa»my, »e fn s¡ mierzalnymi funkcjami prostymi. Wyka»emy zbie»no±¢ punktow¡
{fn }n≥1 do f . Niech x ∈ X b¦dzie ustalony. Gdy f (x) = ±∞ to fn (x) = ±n → ±∞,
70
M. Be±ka, Wst¦p do teorii miary, rozdz. 5
gdy n → ∞. Gdy |f (x)| < ∞ to istnieje n ∈ IN takie, »e |f (x)| < n. St¡d istnieje
−n2n ≤ k < n2n takie, »e 2kn ≤ f (x) < k+1
2n , co daje
|fn (x) − f (x)| <
1
→ 0,
2n
gdy n → ∞.
Dowód zbie»no±ci punktowej zostaª zako«czony. Je±li teraz f jest ograniczona tzn. istnieje
M > 0 takie, »e |f (x)| ≤ M dla x ∈ X . Wtedy dla n > M mamy
^
|fn (x) − f (x)| <
x∈X
1
→ 0,
2n
gdy n → ∞,
co ko«czy dowód zbie»nosci jednostajnej. Zaªó»my teraz, »e f (x) ≥ 0 dlla x ∈ X . Wtedy
dla ka»dego x ∈ X mamy
n 1
n2n o
=: Zn ,
fn (x) ∈ 0, n , · · · , n
2
2
n ∈ IN.
Zauwa»my, »e dla n ∈ IN
fn (x) = sup{ m ∈ Zn : m ≤ f (x) },
x ∈ X.
Poniewa» dla n ∈ IN Zn ⊂ Zn+1 , wi¦c fn (x) ≤ fn+1 (x) dla x ∈ X , czyli ci¡g {f }n≥1 jest
niemalej¡cy.
2
5.2
Zbie»no±¢ ci¡gów funkcji mierzalnych
Na wykªadach z analizy matematycznej omówiono zbie»no±¢ punktow¡ i jednostajn¡ ci¡gów funkcyjnych. Jak ju» widzieli±my (patrz Twierdzenie 5.13) zbie»no±¢ ta ma równie»
zastosowanie dla ci¡gów funkcji mierzalnych. Gdy dana jest przestrze« z miar¡ to mo»emy
zdeniowa¢ jeszcze inne rodzaje zbie»no±ci ci¡gów funkcyjnych okre±lonych na niej.
Denicja 5.14
Niech
f i fn dla n ∈ IN b¦d¡ funkcjami mierzalnymi na przestrzeni z miar¡
(X, A, µ).
(i)
Mówimy, »e ci¡g
mierzalny zbiór
{fn }n≥1 jest zbie»ny do funkcji f µ - prawie wsz¦dzie je±li istnieje
X0 ∈ A taki, »e µ(X00 ) = 0 oraz
^
fn (x) −−−→ f (x).
n→∞
x∈X0
Piszemy wtedy
fn −−−→ f,
n→∞
µ − p.w.
71
M. Be±ka, Wst¦p do teorii miary, rozdz. 5
(ii)
Mówimy, »e ci¡g
{fn }n≥1 jest zbie»ny do f wedªug miary µ je±li
^
µ{ x ∈ X : |fn (x) − f (x)| > ε } −−−→ 0.
n→∞
ε>0
Piszemy wtedy
µ
fn −−−→ f .
n→∞
Zobaczmy na przykªadach jakie s¡ zale»no±ci mi¦dzy tymi zbie»no±ciami
Przykªad 5.15 Dana jest przestrze« z miar¡ (X, A, µ), gdzie X = [0, 1), A = B([0, 1)),
µ = λ - miara Lebesgue'a. Jak nietrudno zauwa»y¢ ka»d¡ liczb¦ naturaln¡ n mo»emy w
sposób jednoznaczny przedstawi¢ w postaci
n = 2m + k,
gdzie k = 0, 1, 2, . . . , 2m − 1,
m = 0, 1, 2, . . .
Okre±lmy
fn (x) = I[
k
, k+1 )
2m 2m
(x),
x ∈ [0, 1).
Zatem
Dla m = 0 mamy f1 = I[0,1) ,
Dla m = 1 mamy f2 = I[0,1/2) ,
Dla m = 2 mamy f4 = I[0,1/4) ,
f3 = I[1/2,1) ,
f5 = I[1/4, 1/2) ,
f6 = I[1/2, 3/4) ,
f7 = I[3/4,1) , itd.
St¡d od razu mo»emy zauwa»y¢, »e dla ka»dego x ∈ [0, 1) ci¡g {fn (x)}n≥1 zawiera niesko«czenie wiele zer i niesko«czenie wiele jedynek, a wi¦c nie jest zbie»ny µ - p.w. Z drugiej
µ
strony zauwa»my, »e fn −−−→ 0, bo
n→∞
^
λ{ x ∈ [0, 1) : |fn (x) − 0| > ε } ≤
ε>0
1
2
< −−−→ 0.
m
2
n n→∞
Przykªad 5.16 Dana jest przestrze« z miar¡ (X, A, µ), gdzie X = IR, A = B(IR), µ = λ
- miara Lebesgue'a. Okre±lmy dla n ∈ IN
fn (x) = I[n, ∞) (x),
x ∈ IR.
Šatwo zauwa»y¢, »e fn −−−→ 0, µ - p.w. (w zasadzie jest to zbie»no±¢ punktowa). Z
n→∞
drugiej strony widzimy, »e {fn } nie jest zbie»ny wedªug miary µ do zera ani te» do »adnej
funkcji mierzalnej.
Widzimy, »e w ogólnym przypadku »adna zdeniowana powy»ej zbie»no±¢ nie poci¡ga
drugiej. W przypadku, gdy mamy do czynienia z przestrzeni¡ z miar¡ sko«czon¡ zbie»no±¢
µ - p.w. okazuje si¦ silniejsz¡ od zbie»no±ci wedªug miary.
72
M. Be±ka, Wst¦p do teorii miary, rozdz. 5
Twierdzenie 5.17
niech
Niech (X, A, µ) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡ sko«czon¡ (µ(X) < ∞) i
f i fn , n ∈ IN b¦d¡ funkcjami mierzalnymi. Wtedy
µ − p.w.
fn −−−→ f,
n→∞
Dowód.
⇐⇒
µ
sup |fk − f | −−−→ 0.
n→∞
k≥n
Oznaczmy
E = { x ∈ X : fn (x) 6→ f (x), gdy n → ∞ }.
Wtedy
E=
n
_ ^ _
x∈X :
|fk (x) − f (x)| >
m≥1 n≥1 k≥n
∞
[
=
∞ [
∞
\
n
x ∈ X : |fk (x) − f (x)| >
m=1 n=1 k=n
1 o
m
1 o
.
m
St¡d
µ(E) = 0 ⇐⇒
^
µ
∞ [
∞ n
\
m≥1
⇐⇒
^
m≥1
⇐⇒
^
m≥1
n=1 k=n
∞
[
x ∈ X : |fk (x) − f (x)| >
1 o
=0
m
1 o
=0
n→∞
m
k=n
n
1 o
lim µ x ∈ X : sup |fk (x) − f (x)| >
=0
n→∞
m
k≥n
lim µ
n
x ∈ X : |fk (x) − f (x)| >
µ
⇐⇒ sup |fk − f | −−−→ 0.
k≥n
n→∞
2
Wniosek 5.18
Niech (X, A, µ) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡ sko«czon¡ i niech f i fn dla
n ∈ IN b¦d¡ funkcjami mierzalnymi. Wtedy
fn −−−→ f,
n→∞
Dowód.
µ − p.w.
=⇒
µ
fn −−−→ f.
n→∞
Niech ε > 0. Wtedy
µ { x ∈ X : |fn (x) − f (x)| > ε } ≤ µ { x ∈ X : sup |fk (x) − f (x)| > ε } −−−→ 0
k≥n
n→∞
na mocy Twierdzenia 5.17.
2
Okazuje si¦, »e je±li ci¡g funkcji mierzalnych jest zbie»ny wedªug miary to mo»emy wyci¡gn¡¢ podci¡g z tego ci¡gu zbie»ny µ - p.w.
73
M. Be±ka, Wst¦p do teorii miary, rozdz. 5
Twierdzenie 5.19 (Riesza)
Niech (X, A, µ) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡ i niech f i fn
µ
n ∈ IN b¦d¡ funkcjami mierzalnymi. Je±li fn −−−→ f to istnieje podci¡g {nk }k≥1 taki,
n→∞
»e fnk −−−→ f , µ - p.w.
dla
k→∞
Dowód.
Mamy
_
n1
_
n2 >n1
1
µ { x ∈ X : |fn1 (x) − f (x)| > 1 } ≤ ,
2
n
o
1
1
µ x ∈ X : |fn2 (x) − f (x)| >
≤ 2,
2
2
...................................
_
µ
n
x ∈ X : |fnk (x) − f (x)| >
nk >nk−1
1 o
1
≤ k,
k
2
...................................
Oznaczmy
Ak =
n
x ∈ X : |fnk (x) − f (x)| >
oraz
∞ [
∞
\
E=
1o
k
Ak .
m=1 k=m
Zauwa»my, »e
x∈E
0
⇒
_
x∈
m≥1
∞
\
A0k
_
⇒
x ∈ A0k
⇒
m≥1 k≥m
k=m
|fnk (x) − f (x)| ≤
^
1
,
k
dla k ≥ m.
St¡d fnk −−−→ f na zbiorze E 0 . Z drugiej strony dla ka»dego n ∈ IN
k→∞
µ(E) ≤ µ
∞
[
k=n
Ak ≤
∞
X
k=n
∞
X
1
1
µ(Ak ) ≤
= n−1 −−−→ 0.
k
n→∞
2
2
k=n
Zatem µ(E) = 0, co ko«czy dowód twierdzenia.
2
Wniosek 5.20
Niech
(X, A, µ) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡ sko«czon¡ i niech f i fn dla
µ
n ∈ IN b¦d¡ funkcjami mierzalnymi. Wtedy fn −−−→ f wtedy i tylko wtedy, gdy z ka»dego
n→∞
podci¡gu
p.w.
{fnm }m≥1 mo»na wybra¢ podci¡g {fnmk }k≥1 taki, »e fnmk → f , gdy k → ∞, µ -
74
M. Be±ka, Wst¦p do teorii miary, rozdz. 5
µ
µ
(⇒) Je±li fn −−−→ f i {nm }m≥1 jest dowolnym podci¡giem, to fnm −−−−→ f .
m→∞
n→∞
Stosuj¡c teraz Twierdzenia Riesza dostajemy tez¦.
Dowód.
(⇐) Zaªó»my, »e {fn }n≥1 nie jest zbie»ny wedªug miary tzn. istnieje ε > 0, δ > 0 i podci¡g
{nm }m≥1 taki, »e
(5.1)
µ { x ∈ X : |fnm (x) − f (x)| > ε } > δ,
dla m ≥ 1.
Z zaªo»enia mo»na wybra¢ podci¡g {nmk }k≥1 taki, »e fnmk → f , gdy k → ∞, µ - p.w. Z
Wniosku 5.18 fnmk → f wedªug miary co daje sprzeczno±¢ z (5.1).
2
5.3
Zadania
Zad. 1. Niech (X, A), (Y, D) b¦d¡ przestrzeniami mierzalnymi i niech f : X → Y b¦dzie
odwzorowaniem mierzalnym. Wykaza¢, »e rodzina
σ(f ) := { f −1 (A) : A ∈ D }
jest σ - algebr¡.
Zad. 2. Niech (X, A), (Y, D) b¦d¡ przestrzeniami mierzalnymi, a T : X → Y odwzorowaniem takim, »e T (X) = Y0 . Wykaza¢, »e T : (X, A) → (Y, D) wtedy i tylko
wtedy, gdy T : (X, A) → (Y0 , DY0 ).
Zad. 3. Niech f, g : (X, A) → (IR, B(IR)). Korzystaj¡c z denicji wykaza¢, »e funkcje
f + g i f 2 s¡ funkcjami mierzalnymi.
Zad. 4. Poda¢ przykªad przestrzeni mierzalnej (X, A) i niemierzalnej funkcji f : X → IR
takiej, »e |f | jest funkcj¡ mierzaln¡.
Zad. 5. Niech (X, A) b¦dzie przestrzeni¡ mierzaln¡. Okre±lmy f = aIA + bIB , gdzie
A, B ⊂ X s¡ zbiorami niepustymi oraz a, b ∈ IR. Dla jakich a, b, A, B funkcja f jest
mierzalna?
Zad. 6. Niech (X, A) b¦dzie przestrzeni¡ mierzaln¡, a {Ai }ni=1 rozbiciem mierzalnym X .
Wykaza¢, »e f jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego 1 ≤ i ≤ n obci¦cie
f |Ai : Ai → IR jest AAi -mierzalne.
Zad. 7. Poda¢ przykªad niemierzalnej w sensie Lebesgue'a funkcji f : IR → IR takiej , »e
f −1 ({a}) jest zbiorem borelowskim dla ka»dego a ∈ IR.
Zad. 8. Sprawdzi¢, »e funkcja f : IR → IR ci¡gªa prawie wsz¦dzie jest mierzalna w sensie
Lebesgue'a.
75
M. Be±ka, Wst¦p do teorii miary, rozdz. 5
Zad. 9. Zaªó»my, »e funkcja f : IR → IR jest ró»niczkowalna. Pokaza¢, »e jej pochodna
jest funkcj¡ borelowsk¡. Czy f 0 mo»e posiada¢ punkty nieci¡gªo±ci pierwszego rodzaju?
Zad. 10. Niech funkcja
g : IR → IR dana wzorem
f : IR → IR b¦dzie funkcj¡ borelowsk¡. Wykaza¢, »e funkcja
g(x) =
1
f (x)
0
gdy f (x) 6= 0,
gdy f (x) = 0,
jest równie» funkcj¡ borelowsk¡.
Zad. 11. Niech (X, A) b¦dzie przestrzeni¡ mierzaln¡,
mierzalnych. Sprawdzi¢, »e zbiór
{fn }, fn : X → IR ci¡giem funkcji
E = {x ∈ X : lim fn (x) istnieje}
n→∞
jest mierzalny.
Zad. 12. Niech f, g : IR → IR oraz niech f b¦dzie funkcj¡ mierzaln¡ w sensie Lebesgue'a i
f = g , λ - p.w. Wykaza¢, »e g jest mierzalna w sensie Lebesgue'a.
Zad. 13. Niech
f : IR → IR b¦dzie funkcj¡ borelowsk¡. Wykaza¢, »e dla ka»dego x ∈ IR
zachodzi {x} ∈ σ(f ) wtedy i tylko wtedy, gdy f jest ró»nowarto±ciowe.
Zad. 14. Niech
f : IR → IR b¦dzie funkcj¡ niemalej¡c¡. Wykaza¢, »e f jest funkcj¡
borelowsk¡. Przy jakim dodatkowym warunku (warunkach) σ(f ) = B(IR)?
Zad. 15. Poda¢ przykªad funkcji borelowskich
f, g : IR → IR takich, »e f = g prawie
wsz¦dzie w IR, za zbiór {x ∈ IR : f (x) 6= g(x)} jest g¦sty w IR.
Zad. 16. Niech E
⊂ [0, 1] b¦dzie zbiorem niemierzalnym w sensie Lebesgue'a. Okre±lmy
funkcj¦ f : [0, 1] → IR wzorem
(
f (x) =
x2 , x ∈ E,
−x2 , x ∈ [0, 1] \ E,
x ∈ [0, 1].
Zbada¢ mierzalno±¢ funkcji f oraz mierzalno±¢ zbiorów {x ∈ [0, 1] : f (x) = c}, gdzie c ∈ IR.
Zad. 17. Okre±lmy funkcj¦ f
f (x) =
: [0, 3] → IR wzorem
(
x, x ∈ Q ∩ [0, 3],
−2x, x ∈ [0, 3] \ Q,
x ∈ [0, 1].
Zbada¢ mierzalno±¢ funkcji f oraz oraz obliczy¢ λ({x ∈ [0 3] : f (x) < −1}).
Zad. 18. Niech
f : X → IR b¦dzie funkcj¡ mierzaln¡. Okre±lmy f : X → IR wzorem
f (x) = f (x), gdy f (x) 6= 0 oraz f (x) = 1, gdy f (x) = 0. Wykaza¢ mierzalno±¢ f .
76
M. Be±ka, Wst¦p do teorii miary, rozdz. 5
Zad. 19. Niech f (x) = x2 − 1, x ∈ IR. Wyznaczy¢ f + i f − . Narysowa¢ ich wykresy.
Zad. 20. Niech
{Ai }ni=1 b¦dzie rozbiciem X . Okre±lmy f =
1 ≤ i ≤ n. Wyznaczy¢ f + i f − .
Zad. 21. Niech X = [−1, 1], A = B([−1, 1]). Okre±lmy funkcj¦ f
(
f (x) =
x2 , x ∈ [0, 1],
0,
x ∈ [−1, 0),
i=1 ai IAi ,
Pn
gdzie ai ∈ IR,
: [−1, 1] → IR wzorem
x ∈ [−1, 1].
Wyznaczy¢ ci¡g {fn }n≥1 funkcji prostych takich »e fn ↑ f punktowo w [−1, 1].
Zad. 22. Niech (X, A, µ) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡ oraz f i g funkcjami mierzalnymi na
X . Ponadto niech {fn }n≥1 b¦dzie ci¡giem funkcji mierzalnych takim, »e fn → f wedªug
miary µ i fn → g wedªug miary µ. Wykaza¢, »e f = g , µ - p.w.
Zad. 23. Niech (X, A, µ) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡ sko«czon¡. Niech {fn } b¦dzie ci¡giem
funkcji mierzalnych. Wykaza¢, »e {fn } jest zbie»ny wedªug miary do funkcji f wtedy i tylko
wtedy, gdy ka»dy podci¡g {fnk } ci¡gu {fn } zawiera podci¡g zbie»ny µ prawie wsz¦dzie.
Zad. 24. Niech (X, A) b¦dzie przestrzeni¡ mierzaln¡ oraz niech f
funkcj¡ mierzaln¡. Znale¹¢ ci¡g zbiorów {An }, A ∈ A, taki, »e
: X → [0, +∞] b¦dzie
∞
X
1
f=
IA .
n n
n=1
Zad. 25. Niech (X, A, µ) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡. Niech {fn }, fn : X → IR b¦dzie ci¡-
giem funkcji mierzalnych zbie»nym do f wedªug miary. Zaªó»my ponadto, »e ci¡g {fn (x)}
jest niemalej¡cy dla ka»dego x ∈ X . Wykaza¢, »e fn → f prawie wsz¦dzie.
Zad. 26. Niech (X, A, µ) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡ oraz niech {fn }, {gn } b¦d¡ ci¡gami
funkcji mierzalnych na X . Zaªó»my, »e fn → f i gn → g wedªug miary. Wykaza¢, »e
(a) |fn | → |f | wedªug miary;
(b) afn + bgn → af + bg wedªug miary dla dowolnych a, b ∈ IR;
(c) Je±li µ(X) < ∞ to fn gn → f g wedªug miary;
(d) Je»eli µ(X) < ∞ oraz f, fn 6= 0 (n ≥ 1) to 1/fn → 1/f wedªug miary.
(e) fn+ → f i fn− → f wedªug miary.
Wykaza¢, »e zaªo»enie o sko«czono±ci miary w (c) jest istotne. Rozwa»y¢ przykªad: X =
(0, ∞), A = B((0, ∞)), µ = λ. Niech
gn (x) = x2
oraz
fn (x) = 1/nx,
n ≥ 1,
x ∈ X.
77
M. Be±ka, Wst¦p do teorii miary, rozdz. 5
Wykaza¢, »e zaªo»enie o sko«czono±ci miary w (d) jest istotne. Rozpatrzy¢ przykªad:
X = (0, ∞), A = B((0, ∞)), µ = λ. Niech
f (x) = 1/x
oraz
fn (x) = n/(nx + x2 ),
n ≥ 1,
x ∈ X.
Zad. 27. Niech
{fn }, fn : X → IR b¦dzie ci¡giem funkcji mierzalnych wspólnie ograniczonych. Niech g : IR → IR b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡. Wykaza¢, »e je±li fn → f wedªug miary,
to g ◦ fn → g ◦ f wedªug miary.
Zad. 28. Niech (X, A, µ) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡ sko«czon¡ oraz g : IR → IR funkcj¡
ci¡gª¡. Wykaza¢, »e je±li ci¡g {fn }n≥1 funkcji mierzalnych na X jest zbie»ny wedªug miary
do funkcji mierzalnej f , to
µ
g ◦ fn −−−→ g ◦ f.
n→∞
Zad. 29. Niech (X, A, µ) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡ oraz f, fn : X → IR, n ≥ 1 b¦d¡ funkcjami mierzalnymi na X . Zaªó»my, »e g : IR → IR jest funkcj¡ lipschitzowsk¡. Wykaza¢, »e
je±li fn → f wedªug miary, to g ◦ fn → g ◦ f wedªug miary.
Zad. 30. Niech (X, A, µ) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡ sko«czon¡ oraz niech f, fn : X → IR
(n ≥ 1) b¦d¡ funkcjami mierzalnymi. Dla ε > 0 i dla n ∈ IN okre±lmy
En (ε) = {x ∈ X : |fn (x) − f (x)| ≥ ε }.
Wykaza¢, »e fn → f prawie wsz¦dzie wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego ε > 0 zachodzi
lim µ
k→∞
[
En (ε)
= 0.
n≥k
Zad. 31. Niech (X, A, µ) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡ sko«czon¡ oraz niech fn → ∞, µ −
p.w. Wykaza¢, »e dla ka»dego M > 0 i ε > 0 istnieje n ≥ 1 takie, »e µ{|fn | ≤ M } < ε.
Zad. 32. Niech (X, A, µ) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡ oraz niech fn = gn , µ-p.w. Wykaza¢,
»e je±li fn → f wedªug miary (µ-p.w.), to gn → f wedªug miary (µ-p.w.).
Zad. 33. Niech (IR, L, λ) b¦dzie przestrzeni¡ Lebesgue'a. Okre±lmy ci¡g funkcyjny fn
=
I[n, n+1] , n ≥ 1. Wykaza¢, »e fn → 0, λ - p.w. Zbada¢ zbie»no±¢ powy»szego ci¡gu wedªug
miary.
Zad. 34. Niech ([0, 1], L([0, 1]), λ) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡ Lebesgue'a. Okre±lmy ci¡g
funkcyjny
fn (x) =





0,
x ∈ [0, 1/2 − 1/n),
nx/2 − n/4 + 1/2, x ∈ [1/2 − 1/n, 1/2 + 1/n],
1,
x ∈ [1/2 + 1/n, 1],
Zbada¢ zbie»no±¢ λ - p.w. i wedªug miary powy»szego ci¡gu.
x ∈ [0, 1],
n ≥ 1.