IV seria zada«

IV seria zada«
6 marca 2013
Niniejsza seria zada« dotyczy
twierdzenia Tauberowskiego Wienera.
Polecenia przygotowane s¡ wedªug
ksi¡»ki Helsona. Podej±cie w niej zawarte nie wyczerpuje tematu i je±li zostanie troch¦ czasu, to na ¢wiczeniach
wyja±ni¦ jak inaczej wymienione fakty mog¡ by¢ sformuªowane oraz co si¦ da z nich uzyska¢ (polecam równie»
trzeciego Rudina).
Denicja 1
Dla funkcji f okre±lonej na prostej oraz t ∈ R okre±lamy operator przesuni¦cia wzorem Tt f (x) =
f (x − t). Niech V ⊂ L1 (R) b¦dzie podprzestrzeni¡ liniow¡. Mówimy, »e V jest niezmiennicza na przesuni¦cia,
gdy
∀
f ∈ V ⇒ Tt f ∈ V.
t∈R
Zadanie 1
Udowodni¢, »e domkni¦te ideaªy L1 (R) to dokªadnie domkni¦te podprzestrzenie niezmiennicze L1 (R)
(oczywi±cie L1 (R) jest algebr¡ ze splotem w charakterze mno»enia i w takim sensie mówimy o ideaªach).
Zadanie 2 Funkcj¡ trójk¡tn¡ b¦dziemy nazywa¢ funkcj¦, której wykres jest trójk¡tem równoramiennym o podstawie le»¡cej na osi x (to jest przesuni¦cie transformaty j¡dra Fejera). Funkcj¡ trapezow¡ b¦dziemy nazywa¢
funkcj¦, która jest równa zeru poza (−2, 2) jest równa 1 na (−1, 1) oraz jest liniowa tam, gdzie trzeba (z grubsza
j¡dro de la Vallee Poissena). Niech q ∈ L1 (R) b¦dzie taka, »e qb jest funkcj¡ trapezow¡. Oznaczmy
qn (x) =
Uzasadni¢, »e wówczas
0 przy n → ∞.
q( nx )
dla n ∈ N.
n
||gn ||1 = ||g||1 dla ka»dego n ∈ N oraz dla ustalonego t > 0 prawd¡ jest, i» ||Tt qn −qn || →
Niech f ∈ L1 (R), fb(0) = 0 oraz ε > 0. Wykaza¢, »e wówczas istnieje g ∈ L1 (R) takie, »e g
b znika
w otoczeniu zera oraz ||f − g||1 < ε.
Plan post¦powania: Wystarczy uzasadni¢, i» ka»dy funkcjonaª znikaj¡cy na takich g znika na f . Bierzemy
funkcj¦ ograniczon¡ φ tak¡, »e (φ ∗ g)(0) = 0. Trzeba doj±¢ do wniosku φ-staªa. Dalej, φ ∗ qn = φ. Pokaza¢
Tt φ = φ dla ka»dego t ∈ R i wywnioskowa¢ st¡d, »e φ jest staªa.
Zadanie 3
Zadanie 4
Z poprzedniego zadania dosta¢, »e dla
fb = gb w otoczeniu zera oraz ||g||1 < ε.
Rozszerzy¢ ten wynik do nast¦puj¡cego: je±li
otoczeniu zera oraz ||f − g|| < ε.
f ∈ L1 (R), fb(0) = 0 oraz ε > 0 istnieje g ∈ L1 (R) speªniaj¡ce
f ∈ L1 (R) oraz ε > 0, to istnieje g ∈ L1 (R) takie, »e gb = fb(0) w
Zaªó»my, »e f ∈ L1 (R) oraz fb(0) ̸= 0. Wykaza¢, i» wówczas istnieje g ∈ L1 (R) speªniaj¡ce fbg
b=1
w otoczeniu zera.
Plan post¦powania: Z poprzedniego zadania znale¹¢ h takie, »e b
h = 1 − fb w otoczeniu zera oraz ||h|| < 1. Dalej
pokombinowa¢ z szeregiem geometrycznym.
Zadanie 5
Zadanie 6 Zaªó»my, »e I, J ⊂ R s¡ przecinaj¡cymi si¦ otwartymi przedziaªami oraz fbgb = 1 na I , fbbh = 1 na
J dla pewnych f, g, h ∈ L1 (R). Wykaza¢ istnienie k ∈ L1 (R) speªniaj¡cej fbb
k = 1 na I ∪ J .
Wskazówka: Zakombinowa¢ z trapezami.
Zadanie 7
Niech
fbgb = 1 na [a, b].
f ∈ L1 (R) b¦dzie takie, »e fb nie znika na [a, b]. Udowodni¢, »e istnieje g ∈ L1 (R) speªniaj¡ce
Mo»emy ju» przej±¢ do gªównego zadania.
Zadanie 8 (Twierdzenie Tauberowskie Wienera)
Przesuni¦cia
L (R) wtedy i tylko wtedy, gdy fb nie znika w »adnym punkcie.
Wskazówka: W jedn¡ stron¦ jest to oczywiste. Oznaczmy przez
f ∈ L1 (R) rozpinaj¡ g¦st¡ podprzestrze«
1
Mf najmniejszy domkni¦ty ideaª zawieraj¡cy
b
f . Bierzemy dowoln¡ funkcj¦ h ∈ L (R) tak¡, »e h ma zwarty no±nik i za pomoc¡ poprzedniego zadania
wykazujemy, i» h ∈ Mf .
1
1
Na koniec jeszcze zadania rozrywkowe.
Zadanie 9
Spróbowa¢ z rozumowa« zwi¡zanych z twierdzeniem Tauberowskim Wienera wykaza¢ klasyczne
twierdzenie Wienera: je±li f ∈ L1 (T) ma szereg absolutnie zbie»ny oraz f (x) ̸= 0 dla ka»dego x ∈ T, to f1
te» ma szereg absolutnie zbie»ny.
Zadanie 10
funkcji z
M
Niech M b¦dzie domkni¦tym wªa±ciwym ideaªem
maj¡ wspólne zero.
2
L1 (R). Uzasadni¢, »e transformaty wszystkich