plik PDF

str. 12
kol. specjalny str. 12
Marcin Karpiński
A jednak nie jest płaska
Ziemia nie jest płaska – większość ludzi w to wierzy, ale w konsekwencje płynące z tego faktu czasami trudno uwierzyć. Wtedy
trzeba po prostu zaufać obliczeniom.
Patrzymy w dal
Za daleko w tę dal nasz wzrok nie
sięgnie. Każde dziecko wie, że tylko
do horyzontu. Ale czy każde dziecko
wie, jak daleko jest jego horyzont?
Zapytajmy inaczej. Stoimy nad brzegiem jeziora Śniardwy. Nasze oczy
znajdują się 2 m powyżej poziomu
wody. Widoczność jest znakomita,
więc chcielibyśmy dojrzeć drugi brzeg.
Z mapy odczytaliśmy, że powinien
się on znajdować w odległości około
10 km. Czy mamy szansę go zobaczyć?
Rachunki są proste; wystarczy tylko
znać promień Ziemi (6370 km), popatrzeć na rysunek (2 m=0,002 km)
i skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.
x2 = (6370,002)2 − 63702
x ≈ 5 [km]
Tak więc nie zobaczymy drugiego
brzegu Śniardw – zasłania go nam kula
ziemska.
Budujemy tunel
Wyobraźmy sobie, że mamy zbudować
tunel przechodzący z jednej strony
góry na drugą. Góra jest skalista,
12
bardzo trudno drążyć w niej tunele,
chcemy zatem, aby tunel był jak
najkrótszy. Powinniśmy więc budować
wzdłuż linii prostej.
Kiedy wydawało się, że budowa udała
się znakomicie, zdarzyło się coś bardzo dziwnego. Po kilku ulewnych
deszczach na środku tunelu powstał
głęboki staw. Jak to możliwe? Przecież
zbudowaliśmy w tunelu płaską drogę
dokładnie wzdłuż linii prostej i woda
nie miała prawa tam się gromadzić.
Spójrzmy na rysunek. No tak, droga
jest płaska, ale Ziemia nie! Dlatego
właśnie powierzchnia spokojnej wody
to nie kawałek płaszczyzny, ale kawałek sfery. Wydawałoby się jednak, że
skoro promień tej sfery jest bardzo
duży, to na tak krótkim dystansie krzywizna Ziemi nie będzie zauważalna.
Policzmy, jak głęboki byłby ten staw
(może to nie staw, tylko góra wody?),
gdyby nasz tunel miał 16 km długości
(tzn. był prawie tak długi, jak słynny
tunel św. Gottharda
w Szwajcarii).
Na rysunku
głębokość ta
oznaczona jest
przez x.
MATEMATYKA JEST WSZĘDZIE
str. 13
kol. specjalny str. 13
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymamy
równość:
(6370 − x)2 = 63702 − 82 ,
stąd:
6370 − x ≈ 6369, 995.
Zatem:
Gdańska). Obliczymy, jaka jest odległość między ich wieżami mierzona na
wysokości 80 m (na rysunku odległość
ta oznaczona jest przez x).
Skorzystamy z tego, że dwa zaznaczone na rysunku trójkąty równoramienne są podobne. Wobec tego:
x
600
x ≈ 0, 005 [km]
Z powyższych obliczeń wynika, że
w najgłębszym (najwyższym?) miejscu
warstwa wody ma ponad 5 m! Wystarczy zaledwie 16 km, by zaobserwować
aż tak dużą krzywiznę Ziemi. Czy to
nie szokujące?
,08
= 6370
6370
Otrzymamy stąd:
x ≈ 600, 0075 [km].
Szczyty wież kościołów Mariackich
w Gdańsku i w Krakowie odległe są od
siebie o 7,5 m więcej niż ich podstawy!
Kościół Mariacki w Gdańsku to dla
mieszkańców Krakowa krzywa wieża1 .
Podziwiamy krzywą wieżę
Wieża kościoła Mariackiego w Gdańsku ma 82 m wysokości, a wyższa
z wież kościoła Mariackiego w Krakowie 81 m.
Domyślamy się, że skoro Ziemia
nie jest płaska, to odległość między
tymi wieżami mierzona na wysokości
ich podstaw nie jest taka sama, jak
odległość mierzona na wysokości 80 m
nad Ziemią. Czy potrafisz zgadnąć,
Czytelniku, o ile różnią się te odległości? Czy to będzie około 1 cm, około
10 cm, czy może jeszcze więcej?
Uczymy w szkole
Wszystkie opisane wyżej zadania możemy pokazać dzieciom w szkole.
Oczywiście uczniowie muszą znać
twierdzenie Pitagorasa (a w przypadku
ostatniego przykładu także własności
trójkątów podobnych). Zatem możemy wykorzystać te zadania w gimnazjum, np. na lekcji Zastosowania
twierdzenia Pitagorasa. Od wybranego
przez nas programu nauczania zależy,
w której klasie pojawi się ten temat.
Jeśli chcemy być modni i zgodni z „duchem reformy”, możemy podkreślać,
że przykłady te pozwalają nam zintegrować nauczanie matematyki z nauczaniem innych przedmiotów szkolnych. Zdrowy rozsądek podpowiada
jednak, że są to przykłady ciekawych
zadań, które powinny pojawiać się
na lekcjach niezależnie od tego, czy
jesteśmy przed reformą czy po niej.
1 Krzywa wieża w Pizie odchylona jest
Odległość między tymi dwoma kościołami wynosi 600 km (taka jest
mniej więcej odległość z Krakowa do
od pionu o ok. 5◦ . Łatwo obliczyć, że
odchylenie o 7,5 m na wysokości 80 m to
,5
) ≈ 5,4◦ .
odchylenie o tg−1 ( 780
MATEMATYKA JEST WSZĘDZIE
13