10 Materiały

Modele z autokorelacją składników losowych
Zadanie 1
Uzupełnij brakujące obliczenia:
Na podstawie poniższych danych statystycznych:
t
yt
1
2
3
4
5
6
2,0 3,0 4,0 2,0 2,5 1,0
xt
1,0 2,0 3,0 1,0 2,0
7
8
1,5 3,5
1,0 2,0 4,0
Korzystając z estymatora Gaussa – Markowa oszacuj parametry strukturalne modelu
y t = β 0 + β 1 x t1 + ξ t .
1
1

1

1
X=
1

1
1

1
1,0 
2,0

 3,0 
2,0

 
3,0 
4,0

 
1,0 
2,0
y= 
 2,5
2,0

 
1,0 
1.0 
1,5 
2,0

 
4,0
 3,5 
−1
16  
− 0,25 

 
 0,94
b=
=





=

16 40 45,0 − 0,25 0,125  45,0 

Wyznacz ocenę nieznanej wariancji składników losowych modelu oraz oceny
standardowych błędów szacunku parametrów strukturalnych.
]

=
45,0
e T e = y T y − b T X T y = 54,75 − [0,94
s2 =
S ( B0 ) =
S ( B1 ) =
Zapisz oszacowaną postać modelu oraz przedstaw przyjęte podczas przeprowadzonego
procesu estymacji założenia KMRL. Jakie są własności wykorzystanych estymatorów?
Wyznacz wektor reszt modelu oraz zweryfikuj hipotezę dotyczącą występowania
autokorelacji I rzędu składników losowych.
t
yt
ŷ t
et
1
2
3
4
5
6
7
8
2,00
3,00
4,00
2,00
2,50
1,00
1,50
3,50
1,69
2,44
0,31
0,56
1,69
2,44
0,31
0,06
2,44
3,94
-0,94
-0,44
Suma:
et
2
et et −1
( et − et −1 ) 2
0,10
0,32
0,66
0,10
0,00
0,18
0,46
0,25
0,02
0,06
0,06
0,25
0,06
0,88
0,19
2,72
0,64
0,41
1,92
0,06
0,25
1,31
W wyniku przeprowadzonego testu przeprowadzono transformację danych
statystycznych. Wyznaczono odpowiednio wektor y * oraz macierz X * :





X∗ = 






0,24
0,24
0,24
0,24
0,24
0,24
0,65 


1,48 


1,24 

− 0,52
1,24 

2,48 


1,48 


1,72 



y∗ = 
0.89




0,74 


2,36
Następnie zastosowano estymator KMNK powtórnie szacując parametry strukturalne
modelu
−1
0,83 1,85   2,14  1,64
  2,14  0,54
b =
=
=




0,09 15,03 
1,85 15.30 15,03 

∗
Uzasadnij zastosowaną procedurę estymacji.
Wyznacz ocenę nieznanego parametru σ ζ2∗ oraz oszacuj standardowe błędy szacunku
parametrów strukturalnych modelu.
T
e ∗ e ∗ = 0,89
s∗ =
∗
S ( B0 ) =
2
∗
S ( B1 ) =
Porównaj uzyskane wyniki z wynikami uzyskanymi w pierwszej części zadania. W
szczególności porównaj oceny standardowych błędów szacunku.
Przedstaw wzór na macierz wariancji-kowariancji estymatora KMNK w UMRL
Zgodnie z tym wzorem wyznacz poprawnie oceny standardowych błędów szacunku
parametrów modelu oszacowanych estymatorem KMNK
ˆ X =  35,12 69,06 
X TΩ
69,06 139,54


Zadanie 2
Szacowano KMNK parametry strukturalne następującego modelu ekonometrycznego:
yt = β 0 + β1 xt1 + β 2 xt 2 + ξ t
gdzie t = 1, K ,20
W procesie weryfikacji otrzymano m.in. wartość statystyki Durbina – Watsona
d = 0,98 . Przedstaw oraz zweryfikuj układy hipotez dotyczące istnienia autokorelacji I
rzędu składników losowych tego modelu.
Zadanie 3
Oszacowano model:
yˆ t = 2,07 + 0,28 xt1 − 0,45 xt 2 + 2 xt 3
gdzie t = 1,...,18
należy przedstawić oraz
zweryfikować układy hipotez dotyczące istnienia
autokorelacji I rzędu składników losowych tego modelu. Obliczona wartość statystyki
Durbina – Watsona wyniosła 1,26.
Zadanie 4
Oszacowano model:
yˆ t = 2,01 + 0,21t
gdzie t = 1,...,7
Na podstawie danych
y T = [2,2 2,5 2,8 3,0
3,1 3,4
3,5]
należy zweryfikować hipotezę dotyczącą autokorelacji I rzędu składników losowych
tego modelu.
Wartości krytyczne dla testu Durbina – Watsona dla poziomu istotności 0,05
N
K=2
K=3
K=4
dL
dU
dL
dU
dL
dU
16
0,98
1,54
0,86
1,73
0,74
1,93
17
1,02
1,54
0,90
7,71
0,78
1,90
18
1,05
1,53
0,93
1,69
0,82
1,87
19
1,08
1,53
0,97
1,68
0,86
1,85
20
1,10
1,54
1,00
1,68
0,90
1,85
Zadanie 5
Na podstawie obserwacji:
t
1
2
3
4
y t 2,0 3,0 4,0 2,0
xt 1,0 2,0 3,0 1,0
L 16
L 1,0
17 18
1,5 3,5
L 1,0 2,0 4,0
szacowano parametry strukturalne modelu y t = β 0 + β1 xt + ξ t
t = 1,...,18 .
Korzystając z estymatora KMNK oszacowano parametry strukturalne modelu oraz
wyznaczono wektor reszt: e T = [0,10 L 0,19] . Uzyskano m.in.
n
∑e
t =1
2
t
= 2,72
n
∑e e
t =2
t t −1
= 1,92
n
∑ (e
t =2
t
− et −1 ) 2 = 1,31
a) Korzystając z test Durbina – Watsona zweryfikuj hipotezę dotyczącą autokorelacji
składników losowych I rzędu.
b) Wyznacz ocenę nieznanego parametru autokorelacji I rzędu.
c) Omów założenia dotyczące parametrów rozkładów składników losowych modelu AR(1)
d) Wyznacz pierwsze trzy elementy wektora y * oraz pierwsze trzy wiersze macierzy X *
e) Przedstaw parametry rozkładów składników losowych modelu Py = PXβ + Pξ
f) Wskaż parametry szacowane przez estymatory
~
e T Ω −1 ~
e
2
~
s =
- estymator parametru ................................
n − ( K + 1)
s *2 =
e *T e *
n − ( K + 1)
- estymator parametru ................................
g) Wyjaśnij różnicę pomiędzy dwoma wektorami reszt użytymi w estymatorach w zadaniu f)