Zadania na dowodzenie

Egzamin Gimnazjalny
Zadania na
dowodzenie
Opracowała: Ewa Ślubowska
W nauczaniu matematyki ważne jest rozwijanie różnych
aktywności umysłu. Ma temu służyć min. rozwiązywanie jednego
zadania czy dowodzenie jednego twierdzenia wieloma sposobami.
Tworzenie dowodów poprzedźmy tłumaczeniem dostrzeżonej
własności i stopniowym ulepszaniem tłumaczenia.
PRZEKONAJ MNIE,
ŻE TAK JEST
• GEOMETRYCZNE
1) Dany jest prostokąt ABCD. Bok AB podzielono na trzy równe
odcinki: AX, XY i YB. Wyznaczono trójkąty DAX, DXY i DYB.
Uzasadnij, że wyznaczone trójkąty mają równe pola.
Rozwiązanie:
Wizualizacja zadania
przy pomocy programu
GeoGebra.
1) pole trójkątów.ggb
1
1
|AX|=|XY|=|YB|= 𝑎 = 𝐴𝐵 to podstawy trójkątów DAX, DXY i DYB.
3
3
Odcinek |AD|= h to wysokość tych trójkątów.
𝒂∙𝒉
Podstawiając nasze dane do wzoru na pole 𝑷∆ =
, otrzymamy:
𝟐
𝟏
𝒂∙𝒉
𝒂∙𝒉
𝟑
𝑷∆𝑫𝑨𝑿 =
= 𝑷∆𝑫𝑿𝒀 = 𝑷∆𝑫𝒀𝑩 =
𝟐
𝟔
2) Dany jest prostokąt ABCD i dowolny punkt P położony wewnątrz
tego prostokąta. Udowodnij, że 𝐴𝑃 2 + 𝐶𝑃 2 = 𝐵𝑃 2 + 𝐷𝑃 2
lub drugie pytanie: wykaż, że 𝑃∆𝐴𝑃𝐷 + 𝑃∆𝐵𝑃𝐶 = 𝑃∆𝐴𝑃𝐵 + 𝑃∆𝐶𝑃𝐷
Rozwiązanie do pierwszego
pytania:
Wizualizacja zadania
przy pomocy programu
GeoGebra
2)punkt wewnątrz prostokąta.ggb
Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa
𝐀𝐏 = 𝐞; 𝐁𝐏 = 𝐠
𝐂𝐏 = 𝐡; 𝐃𝐏 = 𝐟
𝐀𝐁 = 𝐂𝐃 = 𝐚
𝐬= 𝐚−𝐦
Stosujemy tw. Pitagorasa do zaznaczonych
trójkątów:
𝒎𝟐 + 𝒑𝟐 = 𝒆𝟐
𝒔𝟐 + 𝒑𝟐 = 𝒈𝟐 → 𝒑𝟐 = 𝒈𝟐 − 𝒔𝟐
𝒌𝟐 + 𝒔𝟐 = 𝒉𝟐
𝒎𝟐 + 𝒌𝟐 = 𝒇𝟐 → 𝒌𝟐 = 𝒇𝟐 − 𝒎𝟐
Zapisujemy warunek do udowodnienia:
𝑨𝑷 𝟐 + 𝑪𝑷 𝟐 = 𝑩𝑷 𝟐 + 𝑫𝑷 𝟐
Tworzymy układ czterech równań i stosujemy metodę podstawiania:
𝒎𝟐 + 𝒑𝟐 = 𝒆𝟐
𝒑𝟐 = 𝒈𝟐 − 𝒔𝟐
𝒎𝟐 + 𝒈𝟐 − 𝒔𝟐 = 𝒆𝟐
po redukcji i uporządkowaniu stron
𝟐
𝟐
𝟐
𝒌 +𝒔 =𝒉
otrzymamy:
𝟐
𝟐
𝟐
𝒌 =𝒇 −𝒎
𝒈𝟐 + 𝒇𝟐 = 𝒆𝟐 + 𝒉𝟐
𝒇𝟐 − 𝒎𝟐 + 𝒔𝟐 = 𝒉𝟐 → 𝒔𝟐 = 𝒉𝟐 − 𝒇𝟐 + 𝒎𝟐
a więc: 𝑨𝑷 𝟐 + 𝑪𝑷 𝟐 = 𝑩𝑷 𝟐 + 𝑫𝑷 𝟐
𝒎𝟐 + 𝒈𝟐 − (𝒉𝟐 − 𝒇𝟐 + 𝒎𝟐 ) = 𝒆𝟐
𝒎𝟐 + 𝒈𝟐 − 𝒉𝟐 + 𝒇𝟐 − 𝒎𝟐 = 𝒆𝟐
c.n.d.
3) W trapezie ABCD, w którym AB||DC oraz |AB|>|CD|, przekątna DB
zawiera się w dwusiecznej kąt ABC. Wykaż, że |DC|=|BC|.
Rozwiązanie:
Wizualizacja zadania
przy pomocy programu
GeoGebra
3)trapez, jego boki.ggb
Zastosowanie twierdzenia o kątach naprzemianległych
oraz właściwości dwusiecznej kąta.
W trapezie ABCD podstawy są do siebie równoległe AB || CD,
a więc
∢𝐀𝐁𝐃 = ∢𝑩𝑫𝑪 → 𝐬ą 𝒕𝒐 𝒌ą𝒕𝒚 𝒏𝒂𝒑𝒓𝒛𝒆𝒎𝒊𝒂𝒏𝒍𝒆𝒈ł𝒆
𝐎𝐝𝐜𝐢𝐧𝐞𝐤 𝐁𝐃 𝐣𝐞𝐬𝐭 𝐩𝐫𝐳𝐞𝐤ą𝐭𝐧ą 𝐭𝐫𝐚𝐩𝐞𝐳𝐮 𝐢 𝐝𝐰𝐮𝐬𝐢𝐞𝐜𝐳𝐧ą ∢ 𝐀𝐁𝐂
𝐳 𝐭𝐲𝐜𝐡 𝐢𝐧𝐟𝐨𝐫𝐦𝐚𝐜𝐣𝐢 𝐰𝐲𝐧𝐢𝐤𝐚, ż𝐞:
∢𝐀𝐁𝐃 = ∢𝐃𝐁𝐂
W trójkącie BCD ∢𝑫𝑩𝑪 = ∢𝑩𝑫𝑪, a więc trójkąt jest równoramienny
czyli 𝑩𝑪 = 𝑪𝑫
c.n.d.
4) Dany jest prostokąt ABCD. Okręgi o średnicach AB i AD przecinają
się w punktach A i P (jak na rysunku). Wykaż, że punkty B, P i D leżą
na jednej prostej.
Rozwiązanie:
Wizualizacja zadania
przy pomocy programu
GeoGebra
4)prostokąt i okręgi.ggb
Zastosowanie właściwości trójkątów wpisanych w okrąg.
5) Wykaż, że w trapezie prostokątnym różnica kwadratów długości
przekątnych równa jest różnicy kwadratów długości podstaw.
Rozwiązanie:
Wizualizacja zadania
przy pomocy programu
GeoGebra
5)trapez i przekątne.ggb
Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa.
6) Wyprowadź, nie stosując twierdzenia Pitagorasa, wzór na wysokość
trójkąta równobocznego.
Rozwiązanie:
Wizualizacja zadania
przy pomocy programu
GeoGebra
6)trójkąt równoboczny i wysokość.ggb
Zastosowanie podobieństwa trójkątów.
7) Dany jest trapez ABCD, w którym podstawa |AB| > |CD| > 0
oraz |∡ABC| + |∡BAD| = 90°. Środek M podstawy AB połączono
𝒂−𝒃
.
𝟐
ze środkiem N podstawy CD. Wykaż, że |MN|=
Rozwiązanie:
Wizualizacja zadania
przy pomocy programu
GeoGebra
7) trapez i odcinek łączący środki podstaw.ggb
Zastosowanie właściwości trójkątów wpisanych w okrąg.
8) Punkt E leży na ramieniu BC trapezu ABCD, w którym AB∥CD.
Udowodnij, że |∡AED|=|∡BAE|+|∡CDE|.
Rozwiązanie:
Wizualizacja zadania
przy pomocy programu
GeoGebra
8)trapez i punkt E na ramieniu.ggb
Zastosowanie twierdzenia o kątach naprzemianległych.
9) Stosunek pól trzech parami stycznych zewnętrznie okręgów wynosi 1:4:9.
Uzasadnij, że środki tych okręgów są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.
Rozwiązanie:
Wizualizacja zadania
przy pomocy programu
GeoGebra
9)okręgi styczne.ggb
Zastosowanie podobieństwa i twierdzenia Pitagorasa.
10) W trójkącie połączono środki wszystkich boków. Udowodnij,
że powstałe cztery trójkąty są przystające i że są one podobne
do danego trójkąta.
Rozwiązanie:
Wizualizacja zadania
przy pomocy programu
GeoGebra
10) środkowe trójkąta.ggb
Zastosowanie podobieństwa i twierdzenia o kątach odpowiadających
i naprzemianległych.
11) W trójkącie ABC odcinek AD jest wysokością, H jest punktem
przecięcia wszystkich wysokości.
Udowodnij, że |DC| ・ |DB| = |AD| ・ |DH| .
Rozwiązanie:
Wizualizacja zadania
przy pomocy programu
GeoGebra
11) wysokości w trójkącie.ggb
Zastosowanie podobieństwa.
• ALGEBRAICZNE
1) Wykaż, że liczba 𝒂 = 𝟑𝟐𝟕 + 𝟑𝟐𝟗 jest podzielna przez 30.
Rozwiązanie:
Stosujemy przekształcenia algebraiczne:
• Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias
oraz działania na potęgach,
𝒂 = 𝟑𝟐𝟕 + 𝟑𝟐𝟗
𝒂 = 𝟑𝟐𝟕 𝟏 + 𝟑𝟐
𝒂 = 𝟑𝟐𝟕 ∙ 𝟏𝟎
• Liczba 𝟑𝟐𝟕 dzieli się przez 3, a więc iloczyn 𝟑𝟐𝟕 ∙ 10
dzieli się przez 3 i 10,
co należało udowodnić.
2) Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych
jest liczbą podzielną przez 4.
Rozwiązanie:
• Zapisujemy liczby w postaci wyrażenia algebraicznego
jeżeli n jest dowolną liczbą naturalną
to 2n jest dowolną liczbą parzystą
a 2n + 2 jest kolejną liczbą parzystą
• Zapisujemy różnicę kwadratów liczb parzystych i stosujemy
przekształcenia algebraiczne:
2n+2 𝟐 − 𝟐𝒏 𝟐 = 𝟐𝒏 + 𝟐 𝟐𝒏 + 𝟐 − 𝟒𝒏𝟐 =
= 𝟒𝒏𝟐 + 𝟒𝒏 + 𝟒 − 𝟒𝒏𝟐 = 𝟒𝒏 + 𝟒 = 𝟒 ∙ 𝒏 + 𝟏
co należało udowodnić.
3) Uzasadnij, że różnica kwadratu dowolnej liczby nieparzystej
i liczby 1 jest podzielna przez 4.
Rozwiązanie:
• Zapisujemy liczby w postaci wyrażenia algebraicznego
jeżeli n jest dowolną liczbą naturalną
a 2n jest naturalną liczbą parzystą
to 2n + 5 jest dowolną naturalną liczbą nieparzystą
• Zapisujemy różnicę kwadratów liczb i stosujemy
przekształcenia algebraiczne:
2n+𝟓 𝟐 − 𝟏 𝟐 = 𝟐𝒏 + 𝟓 𝟐𝒏 + 𝟓 − 𝟏 =
= 𝟒𝒏𝟐 + 𝟐𝟎𝒏 + 𝟐𝟓 − 𝟏 = 𝟒𝒏𝟐 + 𝟐𝟎𝒏 + 𝟐𝟒 =
= 𝟒 ∙ 𝒏𝟐 + 𝟓𝒏 + 𝟔
co należało udowodnić.
4) Wykaż, że liczba 𝟕𝒏+𝟐 + 𝟕𝒏+𝟏 jest liczbą podzielną przez 8.
Rozwiązanie:
• Stosujemy działania na potęgach oraz wyłączanie
wspólnego czynnika przed nawias :
• 𝟕𝒏+𝟐 + 𝟕𝒏+𝟏 = 𝟕𝒏 ∙ 𝟕𝟐 + 𝟕𝒏 ∙ 𝟕 =
= 𝟕𝒏 𝟒𝟗 + 𝟕 = 𝟕𝒏 ∙ 𝟓𝟔 =
= 𝟕𝒏 ∙ 𝟕 ∙ 𝟖 = 𝟖 ∙ 𝟕𝒏+𝟏
co należało udowodnić.
5) Wykaż, że dla dowolnej nieparzystej liczby naturalnej „x” liczba
𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟎 jest podzielna przez 8.
Rozwiązanie:
• Zapisujemy liczby w postaci wyrażenia algebraicznego
jeżeli x jest dowolną nieparzystą liczbą naturalną to x = 2n + 1
• Podstawiamy wartość x do danego wyrażenia i stosujemy
przekształcenia algebraiczne:
𝟐 2n+𝟏 𝟐 + 𝟒 𝟐𝒏 + 𝟏 + 𝟏𝟎 =
= 𝟐 𝟐𝒏 + 𝟏 𝟐𝒏 + 𝟏 + 𝟖𝒏 + 𝟒 + 𝟏𝟎 =
= 𝟐(𝟒𝒏𝟐 + 𝟒𝒏 + 𝟏) + 𝟖𝒏 + 𝟏𝟒 = 𝟖𝒏𝟐 + 𝟖𝒏 + 𝟐 + 𝟖𝒏 + 𝟏𝟒 =
= 𝟖𝒏𝟐 + 𝟏𝟔𝒏 + 𝟏𝟔 = 𝟖(𝒏𝟐 + 𝟐𝒏 + 𝟐)
co należało udowodnić.
6) Udowodnij, że jeśli „k” i „l” są liczbami naturalnymi oraz 1 ≤ k ≤ n,
to 𝒌(𝒏 − 𝒌 + 𝟏) ≥ 𝒏.
•
Rozwiązanie:
Pamiętamy o warunkach zadania 1 ≤ k ≤ n
•
Stosujemy przekształcenia i doprowadzamy wyrażenie algebraiczne
do najprostszej postaci:
𝒌 𝒏−𝒌+𝟏 ≥𝒏
𝒌𝒏 − 𝒌𝟐 + 𝒌 − 𝒏 ≥ 𝟎
•
Grupujemy wyrazy i wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:
𝒌𝒏 − 𝒏 − 𝒌𝟐 + 𝒌 ≥ 𝟎
𝒏 𝒌−𝟏 −𝒌 𝒌−𝟏 ≥𝟎
𝒌−𝟏 𝒏−𝒌 ≥𝟎
•
Analizując warunki zadania stwierdzamy, że oba czynniki Iloczynu mają
wartość większą lub równą zero a więc iloczyn jest liczbą większą lub
równą zero.
co należało udowodnić
7) Wykaż, że suma trzech kolejnych parzystych liczb naturalnych
jest podzielna przez 6.
Rozwiązanie:
• Zapisujemy liczby w postaci wyrażenia algebraicznego
jeżeli n jest dowolną liczbą naturalną
to 2n jest dowolną liczbą parzystą,
a 2n + 2 i 2n + 4 jest kolejnymi liczbami parzystymi
• Zapisujemy sumę tych liczb parzystych i stosujemy
przekształcenia algebraiczne:
𝟐𝐧 + 𝟐𝒏 + 𝟐 + 𝟐𝒏 + 𝟒 = 𝟔𝒏 + 𝟔 = 𝟔 ∙ 𝒏 + 𝟏
co należało udowodnić.
8) Udowodnij, że jeśli a jest liczbą naturalną, to liczba 𝒂𝟑 − 𝒂 jest
podzielna przez 6.
Rozwiązanie:
• Zapisujemy liczby w postaci wyrażenia algebraicznego
a jest dowolną liczbą naturalną
• Zapisujemy sumę tych liczb parzystych i stosujemy
przekształcenia algebraiczne:
𝒂𝟑 − 𝒂 = 𝒂 ∙ 𝒂𝟐 − 𝟏 = 𝒂 ∙ 𝒂 + 𝟏 ∙ 𝒂 − 𝟏 =
= 𝒂−𝟏 ∙𝒂∙ 𝒂+𝟏
• otrzymaliśmy iloczyn trzech kolejnych
liczb naturalnych, wśród których przynajmniej jedna jest zawsze
parzysta, tzn. podzielna przez 2 i jedna podzielna przez 3
co należało udowodnić.
9) Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych parzystych
liczb naturalnych jest równa podwojonej sumie tych liczb
(od większej odejmujemy mniejszą).
Rozwiązanie:
• Zapisujemy liczby w postaci wyrażenia algebraicznego
jeżeli n jest dowolną liczbą naturalną
to 2n jest dowolną liczbą parzystą,
a 2n + 2 jest kolejną liczbą parzystą,
• Zapisujemy różnicę kwadratów liczb i stosujemy
przekształcenia algebraiczne:
2n+𝟐 𝟐 − 𝟐𝒏 𝟐 = 𝟐𝒏 + 𝟐 𝟐𝒏 + 𝟐 − 𝟒𝒏𝟐 =
= 𝟒𝒏𝟐 + 𝟖𝒏 + 𝟒 − 𝟒𝒏𝟐 = 𝟖𝒏 + 𝟒 = 𝟐 ∙ 𝟒𝒏 + 𝟐 =
= 𝟐 ∙ 𝟐𝒏 + 𝟐 + 𝟐𝒏
co należało udowodnić.
10) Udowodnij, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych
zwiększony o środkową z nich jest sześcianem środkowej.
Rozwiązanie:
• Zapisujemy liczby w postaci wyrażenia algebraicznego
jeżeli n jest dowolną liczbą naturalną
to n +1 i n + 2 są kolejnymi liczbami naturalnymi.
• Zapisujemy wyrażenie z zadania i stosujemy przekształcenia
𝒏∙ 𝒏+𝟏 ∙ 𝒏+𝟐 + 𝒏+𝟏 = 𝒏+𝟏 𝟑
• Wykonujemy dowód lewej strony:
𝐋 = 𝒏 ∙ 𝒏 + 𝟏 ∙ 𝒏 + 𝟐 + 𝒏 + 𝟏 = 𝒏𝟐 + 𝒏 𝒏 + 𝟐 + 𝒏 + 𝟏 =
= 𝒏𝟑 + 𝟑𝒏𝟐 + 𝟐𝒏 + 𝒏 + 𝟏 = 𝒏𝟑 +𝟑𝒏𝟐 +𝟑𝒏 + 𝟏
• Wykonujemy dowód prawej strony:
𝐏 = 𝒏 + 𝟏 𝟑 = 𝒏 + 𝟏 ∙ 𝒏 + 𝟏 ∙ 𝒏 + 𝟏 = 𝒏𝟐 + 𝟐𝒏 + 𝟏 ∙ 𝒏 + 𝟏 =
= 𝒏𝟑 +𝟑𝒏𝟐 +𝟑𝒏 + 𝟏
• 𝑳=𝑷
co należało udowodnić.
Wykorzystano:
• zadania z zestawów maturalnych
• GWO – zadania na dowodzenie
Dziękuję za uwagę