Stefan Wójtowicz, Katarzyna Biernat

WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU
METODAMI SYMULACYJNYMI
Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT
ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH
INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI
ul. Pożaryskiego 28, 04-703 Warszawa
tel. (022) 812-24-32 fax 615-75-35
e-mail. [email protected]
Streszczenie
Metody symulacyjne stwarzają możliwość automatyzacji procesu szacowania
niepewności pomiarów złożonych. Przedstawiony szkic metody i algorytmu
jest zgodny z ogólnymi zasadami szacowania niepewności zawartymi w
Przewodniku.
Słowa kluczowe: niepewność pomiaru, metody symulacyjne, badania
nieniszczące.
1. WPROWADZENIE
Techniki komputerowe pozwalają na rozwiązanie wielu problemów w procesie szacowania
niepewności pomiarów i metod badawczych. Szczególne korzyści można uzyskać, gdy model
pomiaru wskazuje na liczną grupę wielkości wpływających i zakłóceń.
W badaniach nieniszczących równolegle z danymi ścisłymi i obiektywnymi występuje
jakościowa ocena wzrokowa i subiektywna, pomiary często wykonywane są w oparciu o skalę
nominalną. Funkcja pomiaru nie zawsze jest dana w postaci zależności matematycznej lecz
wynika z przepisu składającego się z kolejnych kroków postępowania lub ma formę mieszaną
[5]. Źródła niepewności są rozróżnialne jakościowo lecz trudne do oszacowania ilościowego.
Korelacja między czynnikami mimo że wyczuwana przez prowadzącego badanie to nie może
1
być oszacowana ilościowo. Podział czynników na należące do typu A i B jest umowny, gdyż o
pewnych czynnikach można jedynie powiedzieć, że przez powtarzanie pomiarów uzyska się
znoszenie się wpływów. Niektóre współczynniki wrażliwości muszą być arbitralnie
przyjmowane. Postać funkcji rozkładu gęstości prawdopodobieństwa wyniku pozostaje nieznana
i dlatego określenie poziomu i przedziału ufności bywa problematyczne.
Metoda symulacyjna umożliwia uwzględnianie czynników trudnych do przedstawienia
analitycznego.
2. OGÓLNE ZASADY WYZNACZANIA
NIEPEWNOŚCI POMIARU
Niepewność złożona procesu pomiarowego szacowana jest w następujących etapach:
-
określenie zasady pomiarowej, wielkości mierzonej i wielkości wpływających,
-
identyfikacja źródeł niepewności, dla każdego etapu procesu i dla każdego parametru,
-
kwantowanie składników niepewności, przybliżone określenie niepewności na każdym
etapie i jeśli to możliwe określenie sposobów ich usunięcia,
-
estymacja odchyleń standardowych, oszacowanie wszystkich niepewności cząstkowych
jako odchyleń standardowych,
-
obliczenie wartości niepewności złożonej.
Wynik pomiaru zawiera wartość mierzonej wielkości fizycznej oraz niepewność
rozszerzoną pomiaru. Te dwie wartości określają przedział ufności.
Zgodnie z [6] prawo przenoszenia niepewności określa związek niepewności wyjściowych z
niepewnościami wielkości wejściowych. Równanie pomiaru ma postać:
y = f ( x1 , x 2 , x3 ,..., x N )
gdzie
y
- wielkość wyjściowa,
f( ) - funkcja pomiaru,
xi - wielkości wejściowe.
2
(1)
Wielkościami wejściowymi są podstawowe wielkości mierzone, wielkości wpływające
występujące w modelu pomiaru oraz wielkości zakłócające. Złożona niepewność standardowa
zgodnie z prawem propagacji niepewności [6]:
⎛ ∂f
u ( y ) = ∑ ⎜⎜
1 ⎝ ∂x i
N
gdzie
2
⎞ 2
⎟⎟ u ( xi )
⎠
(2)
u(y) - złożona niepewność standardowa wielkości wyjściowej,
u(xi ) - złożona niepewność standardowa wielkości wejściowej.
Występujące we wzorze (2) pochodne cząstkowe są wrażliwościami, które ustalają udział
niepewności wejściowej w niepewności złożonej:
ci =
gdzie
ci
∂f
∂xi
(3)
- wrażliwość wyjścia na wejście i.
Wrażliwość wyjścia na określone wejście, gdy określona jest funkcja pomiaru w postaci
analitycznej wyznaczana jest zgodnie z (2). W innych przypadkach należy stosować metody
symulacyjne lub eksperymentalne.
Niepewność złożona wyznaczana zgodnie z prawem propagacji łączona jest z niepewnością
metody oraz niepewnościami arbitralnie wprowadzanymi przez badacza.
x1
y = f (x1, x2 , x3,...,xN )
x2
y
xN
Rys. 1. Schemat przenoszenia wielkości wejściowych zgodnie z modelem pomiaru.
3
3. BUDŻET NIEPEWNOŚCI
Budżet niepewności jest zestawieniem tabelarycznym podstawowych informacji, które są
konieczne do wyliczenia niepewności pomiaru i dokumentowania jej zgodnie z obowiązującymi
normami. Dane w Tabeli 1. pozwalają na oszacowanie niepewności zgodnie ze schematem
pokazanym na rysunku 2.
u(x1)
⎛ ∂f
u ( y ) = ∑ ⎜⎜
1 ⎝ ∂x i
N
u(x2)
2
⎞ 2
⎟⎟ u ( x i )
⎠
U
u(xi)
Rys. 2. Schemat przenoszenia niepewności wejściowych zgodnie z modelem pomiaru.
Wejściowe niepewności standardowe są szacowane metodą A i B. Bardzo istotnym elementem
budżetu jest typ rozkładu gęstości prawdopodobieństwa. Przyjmowanie bez analizy
probabilistycznej typu rozkładu może prowadzić do błędnego oszacowania przedziału ufności.
Tabela 1. Budżet niepewności.
Symbol
Estymata
Niepewność
wielkości
wielkości
standardowa
X1
x1
X2
Rozkład
Współczynnik
Udział
wrażliwości
niepewności
u(x1)
c1
u(x1)
x2
u(x2)
c2
u(x2)
XN
xN
u(xN)
cN
u(xN)
Y
y
prawdopodobieństwa
u(y)
W przypadku prostych zależności funkcyjnych współczynniki wrażliwości można wyznaczyć
analitycznie. Problemy pojawiają się w przypadku braku postaci analitycznej lub postać
funkcyjna jest trudna do analizy.
4
4. METODA SYMULACYJNA SZACOWANIA
NIEPEWNOŚCI
Metoda symulacyjna korzysta bezpośrednio z postaci (1) i schematu pokazanego na
rysunku 1. Algorytm wyznaczania niepewności działa w następujących krokach:
-
określenie typów rozkładów dla poszczególnych wejść,
-
podanie wartości parametrów rozkładów,
-
wprowadzenie funkcji modeluj,
-
wybór parametrów symulacji,
-
uruchomienie symulacji.
Schemat blokowy algorytmu pokazano na rysunku 3.
baza rozkładów
wprowadzanie funkcji
modele wejść
model pomiaru
generator liczb
losowych
wprowadzanie
parametrów
pomocniczych
algorytm wyznania
rozkładu
algorytm wyznaczania
niepewności
Rys. 3. Schemat blokowy działania algorytmu wyznaczania niepewności.
Proces obliczeniowy przebiega zgodnie z ustawionymi przez obsługę parametrami
pomocniczymi.
w
wyniku
działania
algorytmu
otrzymuje
się
rozkład
gęstości
prawdopodobieństwa, przedział ufności dla podanego poziomu ufności oraz pełną dokumentację
graficzną. Proces można powtarzać przy dobieranych parametrach. Przykładowy wydruk
pokazano na rysunku 4.
5
Rys. 4. Przykładowy wydruk szacowania niepewności metodą symulacyjną.
6
Rys.5. Przykładowy widok ekranu komunikacji z histogramem wyjściowym.
Oprogramowanie pozwala na wyznaczenie rozkładów gęstości prawdopodobieństwa z dowolną
dokładnością wymaganą w praktyce. Algorytmy wyznaczania niepewności mogą być
zintegrowane z oprogramowaniem pomiarowym i raportującym. Czas obliczeń automatycznych
jest krótki, wyniki mogą być archiwizowane. Program można wykorzystywać także do
7
eksperymentów związanych z walidacją metod pomiarowych metodami statystycznymi. W
postaci uproszczonej otrzymuje się rozkład eksperymentalny bez przybliżonej postaci
analitycznej. W wersji rozszerzonej możliwe jest przybliżanie danych wyjściowych funkcjami
analitycznymi.
5. UWAGI KOŃCOWE
Stosowane w Zakładzie Metrologii i Badań Nieniszczących oprogramowanie pozwala na
skuteczne obliczanie niepewności zgodnie z modelem probabilistycznym bez konieczności
analizy funkcji pomiaru i bez wyznaczania współczynników wrażliwości. Algorytmy
implementowane w rozszerzonej wersji pozwalają na wspomaganie walidacji metod
badawczych.
LITERATURA
[1] Jaworski J., Gniotek K., Kaliczewska M., Skubis T.: Niedokładność pomiaru o silnie
nieliniowym równaniu. Podstawowe Problemy Metrologii, Prace Komisji Metrologii
Oddziału PAN w Katowicach, Seria Konferencje Nr 5. Ustroń 12-14 maj 2003.
[2] Piotrowski J., Kostyrko K.: Wzorcowanie aparatury pomiarowej. PWN, Warszawa 2000.
[3] Wójtowicz S.: Propagation of Measurement Uncertainty in Distributed Diagnostic System.
Measurement 2003, Proceedings of 4th International Conference on Measurement, 2003.
[4] Wójtowicz S., Biernat K.: Statystyczne metody wyznaczania niepewności pomiarów w
badaniach nieniszczących, Badania Materiałów, nr 2(14), Październik 2001.
[5] Wójtowicz S.: Niepewność pomiarów w badaniach nieniszczących. Zeszyty Problemowe
Badania Nieniszczące. Numer 7, Materiały Konferencyjne 31 KKBN, 2002, Warszawa.
[6]Wyrażanie niepewności pomiaru. Przewodnik. Główny Urząd Miar, W-wa 1995.
8