Wyznaczanie współczynników wrażliwości do obliczeń niepewności

Tadeusz Skubis
Wyznaczanie współczynników
wrażliwości do obliczeń
niepewności złożonej
Świnoujście, 2013
Definicja niepewności złożonej
(bezwzględnej):
Dla funkcji wiążącej argumenty:
𝑦 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … 𝑥𝑛 )
Definicja niepewności złożonej
(bezwzględnej):
Dla argumentów nieskorelowanych:
𝑢𝑐 (𝑦) =
𝑛
2
𝑢
𝑖=0 𝑖 (𝑦)
(1)
𝑢𝑐 (𝑦) =
2
𝜕𝑦
𝑛
2
𝑢(𝑥
)
𝑖
𝑖=0 𝜕𝑥
𝑖
(2)
ui(y) – i-ta niepewność składowa mezurandu
u(xi) – niepewność i-tego argumentu
𝑐𝑖 =
𝜕𝑦
𝜕𝑥𝑖
– współczynnik wrażliwości mezurandu na i-ty
argument
Wyznaczanie współczynnika
wrażliwości w przypadku znanej
postaci funkcji y=y(xi)
Wyznaczanie współczynnika
wrażliwości w przypadku nieznanej
postaci funkcji y=y(xi)
Założenie: 𝑦 = 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , … 𝑥𝑛 istnieje i jest monotoniczna
𝑐𝑖 =
𝑦𝑔 −𝑦𝑑
𝑥𝑖,𝑔 −𝑥𝑖,𝑑
Wyznaczanie niepewności składowej
mezurandu w przypadku funkcji
y=y(xi) o znanych ograniczeniach
𝑢𝑖 𝑦 = 𝑦𝑔 − 𝑦𝑑
Jeżeli przedziałowi 𝑦𝑔 − 𝑦𝑑 można przypisać jakiś znany rozkład,
to niepewność standardowa zmniejsza się w odniesieniu do szerokości przedziału:
1< 3< 6<3
Stosowalność pojęcia niepewności
względnej
𝑢𝑐 (𝑦0 )
𝑢𝑐,𝑟𝑒𝑙 𝑦0 =
;
𝑦0
𝑢(𝑥𝑖 )
𝑢 𝑟𝑒𝑙 𝑥𝑖 =
𝑥𝑖
(5a)
(5b)
Dla jednomianu algebraicznego:
𝛼𝑛
𝛼1
𝛼2
𝑦 = 𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙∙∙ 𝑥𝑛
(6)
Otrzymuje się ze wzorów (2) i (5):
𝑛
2
𝑢𝑐,𝑟𝑒𝑙 𝑦0 =
𝛼
𝑢
(𝑥
)
𝑖∙ 𝑟𝑒𝑙 𝑖
𝑖=1
(7)
Stosowalność pojęcia niepewności
względnej
Dane: xi, oraz ich niepewności bezwzględne u(xi)
Oblicza się: y0(x1, x2…, xn), a następnie
𝑢(𝑥𝑖 ) → 𝑢𝑟𝑒𝑙 (𝑥𝑖 ) → 𝑢𝑐,𝑟𝑒𝑙 (𝑦) → 𝑢𝑐 (𝑦)
Niepewność mezurandów
bezwymiarowych (o wymiarze 1)
wzmocnienie,
tłumienie,
stężenie zanieczyszczeń w płynach,
skład procentowy substancji,
sprawność,
przekładnia dzielnika,
inne
Niepewność bezwzględna i względna są nierozróżnialne za pomocą wymiaru (np. %),
stąd bardzo łatwo o pomyłki!
Przykład 1
Rezystywność drutu miedzianego mierzonego
metodą pośrednią oblicza się ze wzoru:
𝑅∙𝑆
𝜌=
𝑙
𝑅0 ∙ 𝑆0
𝜌0 =
𝑙0
𝑢𝑐,𝑟𝑒𝑙 𝜌0 =
2
2
2
𝑢𝑟𝑒𝑙
𝑅 + 𝑢𝑟𝑒𝑙
𝑆 + 𝑢𝑟𝑒𝑙
(𝑙) ,
𝑢𝑐 𝜌0 = 𝜌0 ∙ 𝑢𝑐,𝑟𝑒𝑙 (𝜌0 )
(9)
(10)
Przykład 1 - cd
Jeśli jednak należy uwzględnić także wpływ
temperatury (przede wszystkim na rezystancję
i na długość drutu), to równanie (8) musi
zostać rozbudowane:
𝜌=
𝑅0 [1+𝛼𝐶𝑢 𝜗−𝜗0 ]∙𝑆
𝑙0 [1+𝐶𝑢 (𝜗−𝜗0 )]
(11)
Przykład 1 - cd
Przykładowo dla danych:
R0=6,2 m, l=1,000 m, dCu=0,6 mm
(S=28,3108 m2), cu=0,0041/K,
cu=0,0000161/K, =(200,5)C, 0=20C,
oblicza się wartość  przed zaokrągleniem:
0=0,17546108 m.
Przykład 1 - cd
Do obliczenia niepewności składowej
wprowadzonej przez niedokładnie znaną
wartość współczynnika Cu, oblicza się najpierw
współczynnik wrażliwości:
𝑐𝛼 =
𝜕𝜌
𝜕𝛼
=
𝑅0 [ 𝜗−𝜗0 ]∙𝑆
𝑙0 [1+𝛽𝐶𝑢 (𝜗−𝜗0 )]
𝑐𝛼 0
Wyjaśnienie: funkcja () w otoczeniu =20C
ma ekstremum albo punkt przegięcia.
Przykład 1 - cd
Np. dla odczytanej z tablic wartości należy
przyjąć =0,00051/K, i dalej:
𝑢 𝛼 =
0,0005
3
≈ 0,00029 ≈ 0,0003 ∙ 1/K
𝑢𝛼 𝜌 = 𝑐𝛼 ∙ 𝑢(𝛼)0
A teraz czas na: krytykę !!!
… i na pytania ????