dh n p

Regulacja stosunków
wodnych w dorzeczu
Wykład 5
Hydrodynamika wód
gruntowych
Hydrauliczne równanie ciągłości
Hg
∆H1
Hd
k1
q
∆H2
∆H
∆H3
q1
k2
h2
q2
k3
k4
ruch szeregowy
h3
q3
m4
q4
q
ruch równoległy
• Równanie ciągłości w warstwie jednorodnej:
vA
Q
q
=
=vh
q
=
=
const
Q = v A = const
b
b
• Równanie ciągłości w warstwie niejednorodnej:
q = v h = k1 h1 S1 = k 2 h2 S2 = k i hi Si = const
∆H = ∆H1 + ∆H2 + ∆H3
• Równanie ciągłości w układzie wielowarstwowym:
q = q1 + q2 = v1 h1 + v 2 m2 = (k1 h1 + k 2 m2 ) S = const
• Równanie ciągłości przy zasilaniu powierzchniowym:
q = f(x) = w l, → qn = qo + w l, vn hm = vo ho + w l,
q = qo + w x, jeśli x nie przekracza granicy zlewni
q = v1 h1 = v 2 h2
Hydrauliczne równanie ruchu
• RóŜniczkowa postać prawa Darcy’ego:
∆H
dH
S=

→ −
∆l → 0
∆l
dx
→
v = −k
dH
dx
• RóŜniczkowe równanie ruchu:
q = v h = − k h (H )
dH
dH
= − T (H )
dx
dx
h(H) = H – z(x) = f(H,z) dla ruchu swobodnego
h(H) = m(x) = f(x) dla ruchu pod ciśnieniem
liniowe lub kwaziliniowe zwyczajne równanie róŜniczkowe
• Warunki graniczne (brzegowe):
– I rodzaju – H = const lub H = f(l )
– II rodzaju – dH/dx = const
lub dH/dx = f(l )
≡ q = const lub q = f(l )
– III rodzaju – dH/dx = f(H)
≡ q = f(H) np. q = L (Hr – H)
Metoda fragmentów
•Zasady metody fragmentów:
– podział na fragmenty jednorodne, uwarstwione lub
liniowo zmienne (np. ko(x) lub m (x) )
– płaski poziomy spąg, stała lub liniowo zmienna
miąŜszość
– układ współrzędnych H(x) jednolity lub dla kaŜdego
fragmentu lokalny
– ciągłość pomiędzy fragmentami zachowana
dzięki Q = const
lub
H = const
spełniających rolę lokalnych warunków brzegowych
– jednoznaczność rozwiązania uzyskana dzięki warunkom
brzegowym na lewym prawym brzegu zadanym w
skrajnych fragmentach
Filtracja przez wał na podłoŜu
przepuszczalnym
lk
h
Hg
1:2
1:2.5
kr
Hd
kw
m
• Równanie ciągłości w układzie wielowarstwowym:
q = qr + qw = v r (H − mw ) + v w mw = (k r H − k r mw + kw mw ) S = const
• Warunki brzegowe:
H(x=0) = Hg
H(x= l) = Hd
• Zestawienie niewiadomych i równań:
– niewiadome: H(x), q, C;
Spadek hydrauliczny:
S=
H g − Hd
l
– równania: 3
Filtracja przez wał z rdzeniem
półprzepuszczalnym
lk
lr
h
1:2
8:1
8:1
1:2.5
Hg
kk
8:1
kr
ld
Hd
m
• Równanie ciągłości w układzie wielowarstwowym:
q = − k k H1
d H1
d H2
d H3
= − k r H2
= − k k H3
d x1
d x2
d x3
• Warunki brzegowe:
H(x=0) = Hg
H(x=l1) = H1
Spadek hydrauliczny:
H(x= l1+lr) = H2
H(x=l) = Hd
• Zestawienie niewiadomych i równań:
– niewiadome: H1(x), H2(x), H3(x), q, C1 , C3 , C3;
– równania: 7
Obliczanie zespołu studzien
l
L
do
B
Ho
b
h
m
k
Metoda superpozycji
• Warunki stosowania superpozycji:
liniowość funkcji w stosunku do obciąŜeń (dopływów),
f(x,y) ~ Q
• Superpozycja dla warstwy pod ciśnieniem:
n
na przykładzie studzien: f = Ho – H = s = Σ si = ∑
i =1
n
H = Ho − ∑
i =1
Qi
R
ln i
2 π k m ri
• Superpozycja dla warstwy swobodnej:
2
f = Ho –
bo
H2
= Σ (Ho –
2
Ho − Hi =
2
2
=∑
i =1
Qi
R
ln i
π k ri
Qi
R
ln i
ri
i =1π k
n
H = Ho − ∑
2
n
H2)
Qi
R
ln i
π k ri
Qi
R
ln i
2 π k m ri
Superpozycja dla dwóch studzien
pod ciśnieniem
Metoda studni pozornych (fikcyjnych)
Rozwiązanie
Studnia w strumieniu wód
gruntowych
Równanie ruchu pod ciśnieniem
• Ogólna postać równania:
∇(k ∇H) = 0
• Równanie Laplace’a:
∇ 2H = 0
eliptyczne równanie róŜniczkowe cząstkowe dla ruchu trwałego
dwuwymiarowe dla ruchu płaskiego w planie lub przekroju
trójwymiarowe dla ruchu przestrzennego
• Warunki graniczne (tylko brzegowe):
– I, II rodzaju lub III rodzaju na długości (powierzchni) brzegu
obszaru filtracji
Równanie Boussinesq’a
• ZałoŜenie Dupuit’a:
vz << vx → hydrostatyczny rozkład ciśnienia,
ruch płaski w planie
• Współczynnik odsączalności:
µ = dVw /V = 1/A dVw /dH = dhw /dH ≅ ne = n – θa = µ
• Postać ogólna równania:
∇xy(koxy h∇xyH) + w = µ ∂H /∂t
• Warunki graniczne (początkowe i brzegowe):
– H(t = 0), i np. H(Γ)
Γ - brzeg obszaru
Siatka hydrodynamiczna
• Linie prądu:
ψ = const
• Hydroizohipsy:
linie potencjału
prędkości
H = const
• Ortogonalność
siatki:
pasy ciśnienia
wstęgi
przepływu
• Obliczenia na
podstawie siatki:
–
–
–
–
prędkości
wydatku
ciśnienia
wyporu
Warunki brzegowe siatki
hydrodynamicznej
• Granica wodna:
H = H(Γ ) = zw
• Granica nieprzepuszczalna:
dH/dn = 0, Γ = linia prądu
• Granica z zasilaniem:
dH/dn = q/k/h = const
linie prądu pod stałym kątem do Γ
• Krzywa depresji:
p = pa → H = z,
bez zasilania
• Powierzchnia wysączania:
p = p a → H = z p,
z zasilaniem ujemnym
Granice siatki hydrodynamicznej
Granica nieprzepuszczalna
Granica z zasilaniem
Regulacja stosunków
wodnych w dorzeczu
Projekt 4
Rozwiązanie projektu z
metody fragmentów
Obliczenie filtracji w niejednorodnej
grodzy z rdzeniem i pryzmą drenaŜową
lk
lr
h
Hg
1:2.5
k1
k2
m
• Sformułowanie zadania:
Dane: k1 , k2 , k1,
h , m,
lk , lr ,
• Warunki brzegowe:
H(x=0) = Hg
H(x= l) = Hd
• Zestawienie niewiadomych i równań:
niewiadome: H1(x), H2(x), H3(x), q, C
1:2
8:1
8:1
Hg , Hd
k3
Hd
Schematyzacja
H1
l1
H2
l2 H3
l3
l4
k1
q1
Hg
k1
• Granice zastępcze:
x1
q2
q4
k2
q3
x2
m
k3
q5
x3
ograniczenie nieskończonych wymiarów:
r = 2.5 l ← v(r) ≤ 10% v(0)
r = 3 m ← v ≤ 110% vh
zasada uśrednionej (lub scałkowanej) drogi filtracji w pionie
• Równanie ciągłości:
q1 = q2 = q3 + q4 = q5 = q
• Współrzędne lokalne:
dane l1, l2, l5 = l3 + l4; l3 = l5 – l4
Hd
Równanie ruchu zmiennego
ustalonego
Równania ruchu:
–dla fragmentów szeregowych:
d Hi
q = − k i Hi
d xi
d H3
d H3
− k3 m
– dla fragmentów równoległych: q = − k1 (H3 − m )
d x3
d x3
Warunki początkowe:
H1(x1=0) = Hg ,
H2(x2=0) = H1(x1=l1) = Ha,
H3(x3=0) = H2(x2=l2) = Hb,
H4(x4=0) = m,
H4(x4=l4) = Hd
Całkowanie równań dla fragmentów
szeregowych
q ∫ d xi = − k i ∫ H i d H i
C1 = k1 Hg2/2
q1 =
(
k1
2
2
Hg − H1
2 x1
→ q xi = – ki Hi2/2 + Ci
C2 = k2 H22/2
)
(
k2
2
2
q2 =
Ha − H2
2 x2
C4 = k2 m2/2
)
(
k3
2
2
q4 =
m − H4
2 x4
)
Całkowanie równań dla fragmentu
równoległego
q ∫ d x3 = − k1 ∫ H3 d H3 + k1 m ∫ d H3 − k3 m ∫ d H3
q x3 = – k1 H32/2 + k1 m H3 – k3 m H3 + C3
C3 = k1 Hb2/2 – k1 m Hb + k3 m Hb
(
)
k1
k1 m
k3 m
2
2
(Hb − H3 ) +
(Hb − H3 )
q3 =
Hb − H3 −
2 x3
x3
x3
Obliczenie wydatku
(
)
(
)
(
)
(
)
k1
2
2
q=
Hg − Ha
2 l1
k2
2
2
q=
Ha − Hb
2 l2
k1
k1 m
k3 m
2
2
q=
Hb − m −
(Hb − m ) +
(Hb − m )
2 l3
l3
l3
k3
2
2
q=
m − Hd
2 l4
Rozwiązanie numeryczne
(
k2
2
2
qo =
Hg − Hd
2 l2
Ha = Hg
2
2q
−
l1
k1
k3
2
2
l4 =
m − Hd
2q
(
)
(
)
)
Hb = H g
2
2q
−
l2
k1
k1
k1 m
k3 m
2
2
(Hb − m ) +
(Hb − m )
q=
Hb − m −
2 l3
l3
l3
metoda kolejnych przybliŜeń, zastosovanie Solvera,
iteracja granic zastępczych
Wyznaczenie krzywej depresji
H1 = Hg
2
H2 = Ha
2
(
2q
−
x1
k1
2q
−
x2
k2
)
k1
k1 m
k3 m
2
2
x3 =
Hb − H3 −
(Hb − H3 ) +
(Hb − H3 )
2q
q
q
2q
H4 = m −
x4
k3
2
korekta wejścia i wyjścia wody do granic rzeczywistych:
– asymptota prostopadła do skarpy
– strefa wysączania
Przebieg zwierciadła
lk
lr
g
8:1
1:2.5
k1
1:2
8:1
k2
m
k3
Hd