zmn - w_7 - handouts

Transkrypt

Aproksymacja trygonometryczna, przybliżenie Padé
Zaawansowane metody numeryczne
dr Artur Woike
Wykład 7
dr Artur Woike
Aproksymacja trygonometryczna
Aproksymacja wymierna jednostajna
Przybliżenie Padé
Aproksymacja trygonometryczna a szeregi Fouriera
Aproksymacja trygonometryczna (zarówno w przypadku ciągłym,
jak i dyskretnym) jest szczególnym przypadkiem aproksymacji funkcjami ortogonalnymi.
Analitycznie rozwiązanie zadania aproksymacji trygonometrycznej
funkcji f (danej odpowiednio w sposób ciągły lub dyskretny) sprowadza się do wyznaczenia obciętego szeregu Fouriera (odpowiednio
ciągłego lub dyskretnego), czyli do wyznaczenia tak zwanych współczynników Fouriera rozwinięcia funkcji w pewien szereg trygonometryczny.
dr Artur Woike
Twierdzenie Weierstrass’a
Twierdzenie 7.1.
Jeżeli funkcja f jest funkcją ciągłą na R i okresową o okresie 2π,
to dla każdego ε > 0 istnieje nε oraz funkcja F postaci
F (x) = a0 +
nε
X
(ak cos kx + bk sin kx)
k=1
spełniająca dla wszystkich x ∈ R nierówność
|F (x) − f (x)| < ε.
dr Artur Woike
Węzły dyskretnej aproksymacji trygonometrycznej
Definicja 7.1. (węzły aproksymacji trygonometrycznej)
W dyskretnej aproksymacji trygonometrycznej na przedziale h0, 2πi
będziemy rozpatrywać zbiór N węzłów xi postaci:
1) N = 2L (parzysta liczba węzłów)
∀i=0,...,2L−1 xi =
πi
;
L
2) N = 2L + 1 (nieparzysta liczba węzłów)
∀i=0,...,2L xi =
dr Artur Woike
2πi
.
2L + 1
Baza funkcji trygonometrycznych
Fakt 7.1.
Niech l > 0. Funkcje trygonometryczne postaci
1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, . . . , sin mx, cos mx
πx
2πx
2πx
mπx
mπx
πx
, cos
, sin
, cos
, . . . , sin
, cos
l
l
l
l
l
l
tworzą układ liniowo niezależny i tym samym bazę dla pewnej
(2m + 1)-wymiarowej podprzestrzeni funkcji trygonometrycznych odpowiednio na przedziale h0, 2πi i h−l, li.
1, sin
Uwaga.
Baza funkcji trygonometrycznych jest często używana do aproksymacji
funkcji okresowych. Każda funkcja okresowa daje się sprowadzić do funkcji
o okresie np. 2l (l > 0).
dr Artur Woike
Ortogonalność bazy trygonometrycznej
Fakt 7.2.
Funkcje trygonometryczne tworzą na przedziale h−l, li, gdzie l >
0, układ ortogonalny ze względu na iloczyn skalarny stowarzyszony
z normą L2 z wagą w (x) = 1. Dla dowolnych j, k ∈ N zachodzą
następujące wzory:
Rl


 0 gdy
jπx
kπx
−l cos l cos l dx
=
Rl
kπx
sin jπx
l sin l dx
=
kπx
sin jπx
l cos l dx
= 0
−l
Rl
−l
dr Artur Woike
j 6= k

 l gdy j = k


 0 gdy j 6= k

 l
gdy j = k
Fakt 7.3.
Funkcje trygonometryczne tworzą na dyskretnym zbiorze węzłów trygonometrycznych (N-parzyste) układ ortogonalny ze względu na iloczyn skalarny stowarzyszony z seminormą ważoną z współczynnikami wagowymi
wi = 1. Dla dowolnych j, k ∈ N zachodzą następujące wzory:



0 dla j 6= k


P2L−1
=
L dla j = k 6= 0
i=0 sin jxi · sin kxi



 0 dla j = k = 0



0 dla j 6= k


P2L−1
=
L dla j = k 6= 0
i=0 cos jxi · cos kxi



 2L dla j = k = 0
P2L−1
= 0
i=0 cos jxi · sin kxi
dr Artur Woike
Fakt 7.4.
Funkcje trygonometryczne tworzą na dyskretnym zbiorze węzłów trygonometrycznych (N-nieparzyste) układ ortogonalny ze względu na iloczyn
skalarny stowarzyszony z seminormą ważoną z współczynnikami wagowymi
wi = 1. Dla dowolnych j, k ∈ N zachodzą następujące wzory:



0 dla j 6= k


P2L
=
L + 12 dla j = k 6= 0
i=0 sin jxi · sin kxi




0 dla j = k = 0



0 dla j 6= k


P2L
=
L + 12 dla j = k 6= 0
i=0 cos jxi · cos kxi



 2L + 1 dla j = k = 0
P2L
= 0
i=0 cos jxi · sin kxi
dr Artur Woike
Wielomian trygonometryczny
Definicja 7.2. (wielomian trygonometryczny)
Wielomianem trygonometrycznym stopnia n na przedziale h0, 2πi, odpowiednio na przedziale h−l, li, nazywamy funkcję F postaci
m
a0 X
δ
F (x) =
+
(ak cos kx + bk sin kx) + am+1 cos(m + 1)x,
2
2
k=1
lub odpowiednio
m
a0 X
kπx
kπx
δ
(m + 1)πx
F (x) =
+
(ak cos
+ bk sin
) + am+1 cos
,
2
l
l
2
l
k=1
gdzie dla n parzystych δ = 1 i m =
i m = n−1
2 .
dr Artur Woike
n−2
2 ,
a dla n nieparzystych δ = 0
Zagadnienie aproksymacji trygonometrycznej
Niech będzie dana funkcja f (w sposób dyskretny na zbiorze węzłów
trygonometrycznych, lub w sposób ciągły na przedziale h−l, li). Jeżeli f jest funkcją okresową, to w aproksymacji wygodniej jest szukać
wielomianu trygonometrycznego F zamiast wielomianu o klasycznej
postaci. Takie podejście nazywamy aproksymacją trygonometryczną
funkcji f .
Szukamy wielomianu trygonometrycznego F , takiego aby kF − f k2
był minimalny. Jest to zatem aproksymacja średniokwadratowa. Wykorzystujemy fakt, że bazowe funkcje trygonometryczne tworzą odpowiednie układy ortogonalne. Dzięki temu możemy wykorzystać
gotowe wzory na rozwiązania odpowiednich układów równań normalnych dla przypadku bazy ortogonalnej.
dr Artur Woike
Stopień wielomianu trygonometrycznego
Uwaga.
1) W przypadku dyskretnym przyjmuje się, że stopień m szukanego aproksymującego wielomianu trygonometrycznego powinien
spełniać następującą zależność:
m¬
N−1
2
dla N nieparzystego,
m¬
N−2
2
dla N parzystego,
gdzie N jest liczbą punktów węzłowych w rozpatrywanym zagadnieniu dyskretnym.
2) Jeżeli w powyższych wzorach zachodzi równość (liczba funkcji
bazowych jest równa liczbie węzłów), to mamy do czynienia
z zagadnieniem interpolacji trygonometrycznej.
dr Artur Woike
Rozwiązania układu równań normalnych
Fakt 7.5.
W przypadku ciągłym współczynniki ak i bk wielomianu trygonometrycznego są określone następującymi wzorami:
ak
=
bk
=
1 Rl
l −l
1 Rl
l −l
f (x) cos kπx
l dx
dla k = 0, . . . , m + 1,
f (x) sin kπx
l dx
dla k = 1, . . . , m.
W przypadku dyskretnym współczynniki ak i bk wielomianu trygonometrycznego są określone następującymi wzorami:
ak
=
2
N
PN−1
f (xi ) cos kxi
dla k = 0, . . . , m + 1,
bk
=
2
N
PN−1
f (xi ) sin kxi
dla k = 1, . . . , m.
i=0
i=0
dr Artur Woike
Norma Czebyszewa
Definicja 7.3. (norma Czebyszewa)
Na przestrzeni C (ha, bi) funkcji ciągłych na przedziale ha, bi definiujemy tak zwaną normę Czebyszewa następująco:
∀f ∈C (ha,bi) kf k = sup |f (x)|.
x∈ha,bi
dr Artur Woike
Zagadnienie aproksymacji jednostajnej
Niech będzie dana funkcja f ∈ C (ha, bi). Zagadnienie aproksymacji
jednostajnej polega na znalezieniu funkcji F , takiej aby błąd aproksymacji E (F ) = kF − f k był jak najmniejsze, przy czym rozpatrujemy
tutaj normę Czebyszewa na przestrzeni C (ha, bi).
Uwaga.
Twierdzenie 5.1 mówi, że dowolną funkcję f ∈ C (ha, bi) możemy
aproksymować jednostajnie wielomianem z dowolnie dużą dokładnością.
dr Artur Woike
Wielomian najlepszego przybliżenia jednostajnego
Definicja 7.4. (wielomian najlepszego przybliżenia jednostajnego)
Niech Fn będzie wielomianem stopnia n. Jeżeli błąd aproksymacji
E (F ) osiąga minimum dla F = Fn , to wielomian Fn nazywamy n-tym
wielomianem najlepszego przybliżenia jednostajnego funkcji f .
Twierdzenie 7.2. (Borela)
Dla każdej funkcji f ∈ C (ha, bi) i dowolnego n ∈ N istnieje wielomian Fn , który jest n-tym wielomianem najlepszego przybliżenia
jednostajnego funkcji f .
Twierdzenie 7.3. (Czebyszewa)
Wielomian Fn , o którym mowa w Twierdzeniu 4.2, jest tylko jeden.
dr Artur Woike
Wielomian najlepszego przybliżenia jednostajnego
Uwaga.
1) Nie ma ogólnej metody wyznaczania n-tego wielomianu
najlepszego przybliżenia jednostajnego dla dowolnej funkcji
f ∈ C (ha, bi).
2) Zazwyczaj rezygnuje się z poszukiwania wielomianu najlepszego przybliżenia jednostajnego i szuka się pewnego wielomianu
aproksymującego, który nie musi być najlepszym przybliżeniem
jednostajnym.
dr Artur Woike
Zagadnienie aproksymacji wymiernej
Niech V będzie pewną unormowaną przestrzenią liniową funkcji. Ponadto niech Vk+1 będzie k + 1-wymiarową podprzestrzenią liniową
przestrzeni V. Jeżeli w zagadnieniu aproksymacji poszukujemy funkcji aproksymującej o postaci
F (x) =
a0 ϕ0 (x) + . . . + an ϕn (x)
,
b0 ψ0 (x) + . . . + bm ψm (x)
gdzie ϕ0 , . . . , ϕn i ψ0 , . . . , ψm są elementami pochodzącymi z tej samej bazy k +1-wymiarowej podprzestrzeni Vk (dla k = max{n, m}),
to wówczas mamy do czynienia z zagadnieniem aproksymacji wymiernej.
dr Artur Woike
Zagadnienie aproksymacji wymiernej
Uwaga.
Zazwyczaj jednostajne przybliżenia wymierne Rn,m postaci
Rn,m (x) =
Ln (x)
,
Mm (x)
gdzie Ln i Mm są odpowiednio wielomianami stopnia n i m,
dają mniejsze błędy maksymalne od przybliżeń jednostajnych wielomianami algebraicznymi stopnia N = n + m (przy założeniu,
że nie mamy do czynienia z N-tym wielomianem najlepszego przybliżenia jednostajnego). W szczególności dotyczy to przybliżeń wielomianami, które są zdefiniowane przez obcięte szeregi Taylora
lub Maclaurina.
dr Artur Woike
Zagadnienie aproksymacji Padé
Niech będą dane parametry n, k ∈ N oraz funkcja f ∈ C ∞ (h−ε, εi),
gdzie ε > 0 i h−ε, εi jest pewnym otoczeniem punktu x = 0. Szukamy funkcji wymiernej Rn,k postaci
Rn,k =
Ln
,
Mk
gdzie Ln i Mk są odpowiednio wielomianami stopnia n i k, takiej że:
1) f (x) ≈ Rn,k (x) w pewnym otoczeniu punktu x = 0;
2) f (0) = Rn,k (0);
(m)
3) ∀m=1,...,n+k f (m) (0) = Rn,k (0).
dr Artur Woike
Założenia i oznaczenia w aproksymacji Padé
Niech
Ln (x) = a0 + a1 x + . . . + an x n ,
Mk (x) = b0 + b1 x + . . . + bn x n .
Ponieważ Rn,k (0) musi być określone, wiec b0 6= 0. Przyjmijmy zatem, że b0 = 1. Załóżmy ponadto, że funkcje Ln i Mk są względnie
pierwsze oraz, że funkcję f można rozwinąć w szereg Maclaurina
w pewnym otoczeniu punktu x = 0:
∀i=0,1,... ci
=
f (x) =
f (i) (0)
,
i!
∞
X
i=0
dr Artur Woike
i
ci x = f
(i)
xi
(0) .
i!
Uwagi o przybliżeniu Padé
Uwaga.
1) Przybliżenia Padé nie są najlepszymi przybliżeniami w sensie aproksymacji jednostajnej. Wymuszenie równości funkcji f
i Rn,k oraz ich pochodnych do rzędu n + k włącznie jedynie
dla punktu x = 0 powoduje, że błędy takich przybliżeń rosną
wraz z oddalaniem się od tego punktu.
Ln
2) Szukana funkcja wymierna Rn,k = M
może być w pewnych
k
punktach nieokreślona (z uwagi na możliwe zerowanie się mianownika Mk ).
3) Dla większości typowych funkcji najmniejszy błąd maksymalny
spośród wszystkich przybliżeń Padé uzyskuje się dla n = k
lub n = k + 1.
dr Artur Woike
Uwagi o przybliżeniu Padé
Uwaga.
4) Zagadnienie wyznaczenia funkcji Rn,k w przybliżeniu Padé sprowadza się do wyznaczenia wartości n + k + 1 współczynników
wielomianów Ln i Mk .
5) Wielomiany Ln i Mk są względnie pierwsze, jeżeli w ich rozkładach na iloczyn jednomianów nie występują takie same czynniLn (x)
ki, lub inaczej jeżeli funkcja wymierna postaci M
jest nieskrak (x)
calna. Oznacza to między innymi, że nie da się usunąć osobliwości funkcji Rn,k poprzez procedurę skracania mianownika Mk
z licznikiem Ln .
6) Jeżeli k = 0, to wówczas Rn,k jest po prostu obciętym szeregiem
Maclaurina.
dr Artur Woike
Błąd przybliżenia Padé
Błąd aproksymacji Padé jest dany wzorem:
f (x) − Rn,k (x) = f (x) −
P∞
=
(
c
i=0 i
Ln (x)
Mk (x)
xi
=
Pn
a xj
j=0 j
i
i=0 ci x − Pk b x s =
s=0 s
P
n
s
j
P∞
P
k
b x
s=0 s
k
b xs
s=0 s
)
−
ax
j=0 j
P
.
Z warunku f (0) = Rn,k (0) wynika, że a0 = f (0). Natomiast z warun(m)
ku f (m) (0) = Rn,k (0) (gdzie m = 1, . . . , n+k) wynika, że w liczniku
wyrażenia f (x) − Rn,k (x) muszą znikać współczynniki przy potęgach x o wykładnikach mniejszych od n + k + 1. Zatem chcemy
aby licznik ten miał następującą postać:
∞
X
!
ci x
i
k
X
!
bs x
s
s=0
i=0
dr Artur Woike
−
n
X
j
aj x =
j=0
∞
X
dt x t .
t=n+k+1
Układ równań na współczynniki przybliżenia Padé
Fakt 7.6.
Otrzymujemy następujący układ równań na współczynniki przybliżenia Padé Rn,k :



b0 = 1,







cj = 0



Pk
j=1 cm−j bj = −cm






bj = 0





 am = Pm cm−j bj
j=0
dr Artur Woike
dla j < 0,
dla m = n + 1, . . . , n + k,
dla j > k,
dla m = 0, . . . , n.
Układ równań na współczynniki przybliżenia Padé
Uwaga.
1) Układ równań na współczynniki przybliżenia Padé może nie posiadać rozwiązania.
2) Do rozwiązania układu równań na współczynniki przybliżenia
Padé wymagana jest zajomość współczynników c0 , . . . , cn+k
z rozwinięcia funkcji f w szereg Maclaurina (nie musimy znać
całego rozwinięcia).
3) Warunki które doprowadziły do układu równań na współczynniki przybliżenia Padé oznaczają, że przybliżenie wymierne otrzymane jako jego rozwiązanie ma na ogół małe błędy tylko w pobliżu punktu x = 0.
dr Artur Woike

zmn - w_7 - handouts

Transkrypt

Podobne dokumenty

SD Stary SYLABUS Matematyka Marcin KorzeĹ„ sem II czÄ™Ĺ›Ä‡ 2

4 Metody numeryczne - if univ rzeszow pl

Krzysztof Piekarski “Wprowadzenie do metod numerycznych

Pick And Drive Easy - Hilken Fahrzeugbau

19. Edytor równań

Aproksymacja - mostowicz.pl

Aproksymacja funkcji

definicja sci