Ćwiczenia 4 Automatyka i robotyka Opis układu w postaci modelu

Ćwiczenia 4 Automatyka i robotyka
Opis układu w postaci modelu wejście-wyjście.
Mając układ liniowy możemy powiązad wyjście z wejściem, kombinacja liniowa wymuszeo równa się
kombinacji liniowej odpowiedzi.
Dzięki zastosowaniu transformaty Laplace’a możemy zamiast równao różniczkowych rozpatrywad
pewne wielomiany.
Własności transformaty:
Liniowość
Transformata pochodnej
gdzie f'(0 + ) oznacza granicę prawostronną funkcji f(t) w punkcie t =0
Pochodna transformaty
Transformata całki
Całka transformaty
Przesunięcie w dziedzinie transformaty
Transformata funkcji z przesunięciem
gdzie 1(t) oznacza skok jednostkowy.
Transformata funkcji okresowej o okresie p
Transformaty Laplace'a częściej spotykanych funkcji
Wykorzystanie transformaty w automatyce
Gdy do równania:
zastosujemy transformatę Lapalac’a
To otrzymamy:
Chcąc zbadad jak zachowuje się wyjście w zależności od podanego sygnału na wejściu możemy
obliczyd iloraz:
Iloraz ten definiuje Transmitancja Operatorowa.
Operacje w matlab’ie przydatne do ćwiczeo
TF –(transfer function) – tworzy układ podany przy pomocy transmitancji
Transmitancja dla układów SISO (single input single output)
sys =TF(Num,Den) tworzy ciągły układ o transmitancji z wielomianem Num w liczniku i Den w
mianowniku.
sys=TF(Num,Den,Tp) – tworzy dyskretny układ o transmitancji z wielomianem Num w liczniku i Den w
mianowniku o czasie probkowania Tp.
s=TF(‘s’) – tworzy ciągły układ z zmienną zespoloną s
s=TF(‘s’, Tp) – tworzy dyskretny układ z zmienną zespoloną s, Tp - czas próbkowania
Następnie zmienną „s” można użyd do zdefiniowania wyrażenia na transmitancję.
sysTF = TF(sys) -konwersja dowolnego modelu na model oparty o transmitancję
Układy MIMO (multiple input multiple output)
Gdy Num i Den są tablicami komórek o rozmiarach Ny x Nu zawierającymi wektory wierszowe, gdzie
Num{i,j} i Den{i,j} określają transmitancję od wejści „j” do wyjscia „i”.
O tablicach komórek można poczytad pod adresem
http://rose.aei.polsl.pl/~darekc/inst/tois/Matlab/Tablice_komorkowe.htm
tf2ss – konwersja układu podanego w postaci transmitancji do układu w postaci zmiennych stanu
[A,B,C,D] = tf2ss(Num,Den)
ss2tf – konwersja układu podanego w postaci zmiennych stanu do układu zadanego transmitancją
[Num,Den] = ss2tf(A,B,C,D)
Zadania
Zad 1. Oblicz wykorzystując definicję transformacji Lapalac’a dla podanych funkcji:
a) Funkcja skoku
b) Funkcja eksponencjalna
Zad 2. Wyznacz transformatę Laplace'a F(s) funkcji pokazanej na rysunku, gdzie f(t) = 0, dla t < 0 oraz
dla t > 2a.
Podpowiedź:
Funkcję można zapisad:
Zad 3. Wyznacz transmitancję operatorową ciągłych liniowych układów, które na zadane wymuszenie
u(t) odpowidziały sygnałem y(t):
a) u(t)=1(t),
b) u(t)= 2t, y(t) = sin(5t)
c)
,
d)
,
Zad 4. Wyznacz odpowiedź skokową i impulsową dla układów o podanych transmitancjach:
a) G(s)=2/(s+2)
b) G(s)=-2s/(s^2+3s+2)
c) G(s)=s/(s^2+5s+6)
d) G(s)=2s^2-1/(s^4+3s^3+s^2+s+4)
Zad 5. Dla przykładów z zadania 4, utwórz układy w przestrzeni zmiennych stanu. Ponownie wykreśl
odpowiedź impulsową i skokową, porównaj wykresy z odpowiedziami dla układów z zad 4.
Zad 6. Utwórz układ ciągły o wielu wejściach i wielu wyjściach, o podanych transmitancjach pomiędzy
wejściem a wyjściem:
Podpowiedź: układ o 2 wejściach i 1 wyjściu o transmitancjach:
T11=-5/(s-1)
T12=(s^2-5s+6)/(s^2+s)
możemy zdefiniowad
H= tf( { -5, [1 -5 6]} , { [1 -1], [1 1 0]} )
W nawiasach klamrowych { } definiujemy tablice komórek.
a) Układ o 1 wejściu i 2 wyjściach
T11= -5/(s-1)
T21=(s^2-5s+6)/(s^2+s)
b) Układ o 2 wejściach i 3 wyjściach
T11= -5/(s^2-1)
T12=(-5s+6)/(s^2+s-4)
T21= s+1/(s^3-1)
T22=(s^2-5s+6)/(s^3-s)
T11= -5/(s-1)
T21=( 5s+6)/(s^2+s-3)
Zad 7 Wyznacz odpowiedzi dla układów z zadania 6:
a) Na skok jednostkowy
b) Na wymuszenie impulsowe
c) Na wymuszenie zmieniające się sinusoidalnie: u1 – sin(2t), u2- sin(t-pi/4)