Topologia - Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki

POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki
Karta opisu przedmiotu
Egzamin
ECTS
Bez specjalności
Seminarium
Dr Grzegorz Biernat
Projekt
Przedmiot dla specjalności:
Laboratorium
I stopnia
Prowadzący:
Ćwiczenia
Studia: Stacjonarne
Rok: Rok II, Semestr IV
Wykład
Kierunek: Matematyka
Topologia
30
30
-
-
-
TAK
4
WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
1. Wiedza z zakresu zbieżności ciągów.
2. Wiedza z zakresu ciągłości funkcji.
3. Wiedza z zakresu podstaw teorii mnogości.
CEL PRZEDMIOTU
Zapoznanie studentów z przestrzeniami metrycznymi.
Zapoznanie studentów z podstawowymi pojęciami metrycznymi, np. zupełność.
Zapoznanie studentów z przestrzeniami topologicznymi.
Zapoznanie studentów z podstawowymi pojęciami topologicznymi, np. ciągłość odwzorowania oraz zwartość i spójność przestrzeni
topologicznej.
Treści programowe - Wykład
W 1 - Przestrzenie metryczne. Przykłady metryk.
W 2 - Kula otwarta. Zbiory otwarte. Średnica zbioru. Przestrzenie ograniczone.
W 3 - Ciągi zbieżne w przestrzeniach metrycznych. Równoważność metryk.
W 4 - Domknięcie zbioru. Zbiory domknięte. Własności domknięcia. Brzeg i wnętrze zbioru. Zbiory gęste, brzegowe i nigdziegęste.
W 5 - Funkcje ciągłe na przestrzeniach metrycznych.
W 6 - Przestrzenie metryczne zupełne. Przykłady.
W 7 - Twierdzenie Cantora o ciągu zstępującym. Twierdzenie Baire’a.
W 8 - Przestrzenie metryczne zwarte. Twierdzenie Weierstrassa. Twierdzenie o homeomorfizmie.
W 9 - Przestrzenie metryczne spójne i łukowo spójne.
W 10 - Przestrzenie topologiczne. Przykłady. Baza i podbaza.
W 11 - Aksjomaty oddzielania.
W 12 - Odwzorowania ciągłe na przestrzeniach topologicznych. Homeomorfizmy.
W 13 - Podprzestrzenie. Topologia indukowana. Przykłady.
W 14 - Przestrzenie topologiczne zwarte.
W 15 - Przestrzenie topologiczne spójne.
Treści programowe - Ćwiczenia
C 1, C 2–sprawdzanie, czy dane odwzorowanie jest metryką.
C 3 – ilustracja graficzna kul w wybranych metrykach.
C 4 – obliczanie średnic zbiorów.
C 5 – badanie zbieżności ciągów w wybranych przestrzeniach.
C 6 – dowodzenie warunków równoważnych związanych z domknięciem, wnętrzem i brzegiem zbioru.
C 7 – kolokwium
C 8 – badanie ciągłości funkcji na przestrzeniach metrycznych.
C 9 – sprawdzanie zupełności wybranych przestrzeni metrycznych.
C 10 – sprawdzanie zwartości wybranych przestrzeni metrycznych.
C 11 – sprawdzanie spójności wybranych przestrzeni metrycznych.
C 12 – przykłady przestrzeni spójnych nie będących łukowo spójnymi.
C 13 – sprawdzanie, czy dana rodzina podzbiorów ustalonego zbioru jest topologią.
C 14 – równoważne definicje przestrzeni topologicznych.
C 15 - kolokwium
LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA
R. Engelking, Zarys topologii ogólnej. PWN, 1968
K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii. PWN, Warszawa 1977
W. Rzymowski, Przestrzenie metryczne w analizie. Wyd. UMCS, Lublin 2000