Logika III - WordPress.com

Logika III
‚wiczenia 1.
4 pa¹dziernika 2013 r.
1.
Twierdzenie Cantora. Udowodni¢, »e dla dowolnego zbioru X zachodzi: |X| ≺ |P(X)|.
2. Udowodni¢, »e zachodz¡ nast¦puj¡ce relacje:
(a) N ∼ N × N ∼ Q,
(b) {0, 1}N ∼ P(N) ∼ R.
3.
Polowanie. Dana jest nast¦puj¡ca gra Aligatora i Edwarda: Aligator wybiera par¦ liczb naturalnych
hn, ki, za± celem Edwarda jest odgadni¦cie w sko«czonej liczbie kroków pary liczb wybranej przez Ali-
gatora. Po ka»dym ruchu, polegaj¡cym na podaniu przez Edwarda propozycji odpowiedzi, dowiaduje
si¦ on tylko, czy traª, czy musi gra¢ dalej. Zadanie: poda¢ strategi¦ wygrywaj¡c¡ dla Edwarda.
4. Udowodni¢, »e w zbiorze uporz¡dkowanym hP(N), ⊂i istnieje nieprzeliczalny ªa«cuch.
5. Poda¢ przykªad formuªy pierwszego rz¦du ϕ faªszywej we wszystkich modelach sko«czonych o nieparzystej liczbie elementów i takiej, »e dla dowolnej liczby parzystej n istnieje model M taki, »e |M| = n
oraz M |= ϕ.
6. Poda¢ przykªad zdania pierwszego rz¦du w sygnaturze {≤} takiego, »e jest prawdziwe w modelu:
h({0} × Z) ∪ ({1} × Q), ≤lex i,
ale jest faªszywe w modelu:
h({0} × Q) ∪ ({1} × Z), ≤lex i.
7. Udowodni¢, »e formuªa
∀x∃yR(x, y) ∧ ∀x∀y(R(x, y) → ¬R(y, x)) ∧ ∀x∀y∀z(R(x, y) → (R(y, z) → R(x, z)))
jest speªnialna w pewnym modelu niesko«czonym, a faªszywa we wszystkich modelach sko«czonych.
8. Udowodni¢, »e nastepuj¡ce formuªy s¡ prawdziwe w ka»dym modelu sko«czonym, ale nie s¡ tautologiami:
(a) ∃x∀y∃z((R(y, z) → R(x, z)) → (R(x, x) → R(y, x))),
(b) ∀x∀y∀z(R(x, x) ∧ (R(x, z) → (R(x, y) ∨ R(y, z)))) → ∃y∀zR(y, z).
9. Niech formuªa rachunku zda« ϕ nie zawiera »adnych spójników poza ⇔. Udowodni¢, »e formuªa ϕ jest
tautologi¡ wtedy i tylko wtedy, gdy ka»da zmienna zdaniowa wyst¦puje w ϕ parzyst¡ liczb¦ razy.
10. Niech F rm b¦dzie zbiorem formuª RZ zbudowanych ze zmiennych z danego zbioru n-elementowego
{p1 , p2 , ..., pn }. Okreslamy w F rm relacj¦ równowa»no±ci ≡:
ϕ ≡ ψ wtedy i tylko wtedy, gdy |= ϕ ⇔ ψ .
Znale¹¢ moc zbioru F rm/≡ .
1