Ami Pro - EFGH5N.SAM
Transkrypt
Ami Pro - EFGH5N.SAM
Algebra liniowa 2 II kolokwium Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy. E 1 2 3 4 Suma Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia! Teresa Jurlewicz ZADANIA 1. Wykresem funkcji z = f ( x, y ) jest płaszczyzna π : 3x − y + 5z = 0 . Uzasadnić, że funkcja f jest przekształceniem liniowym R 2 → R . 2. Napisać macierz w bazie standardowej przestrzeni R 3 rzutu prostokątnego na prostą l : x = −y = 2z . 3. Znaleźć wartości i wektory własne przekształcenia liniowego Odpowiedzi do zestawu L ( x, y, z ) = ( x − z, x − z, x − z ) . 1. funkcja f ( x, y ) = 4. Wektory x + 1, 3x − 2 uzupełnić do bazy ortogonalnej przestrzeni R 2 [x] z iloczynem skalarnym zdefiniowanym wzorem ( p, q ) = p ( −1 ) q ( −1 ) + p ( 0 ) q ( 0 ) + p ( 1 ) q ( 1 ) . E y − 3x jest przekształceniem liniowym; 5 4 −4 2 −4 4 −2 ; 2 −2 1 3. W 0 = lin { ( 1, 0, 1 ), ( 0, 1, 0 ) } ; 4. uzupełnieniem jest wektor 3x 2 − 2 . 1 2. 9 Algebra liniowa 2 II kolokwium Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy. F 1 2 3 4 Suma Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia! Teresa Jurlewicz ZADANIA 1. Przekształcenie liniowe L : R 2 → R 2 przeprowadza wektor ( 1, 0 ) na wektor ( 3, −2 ) , a wektor ( 1, 1 ) na wektor ( 4, −1 ) . Znaleźć obraz wektora ( 1, −2 ) po trzykrotnym złożeniu tego przekształcenia. 2. Znaleźć macierz w bazie standardowej przestrzeni R 3 rzutu prostokątnego na płaszczyznę π : x + 4y − z = 0 . 3. Wskazać bazę przestrzeni R 3 złożoną z wektorów własnych macierzy Odpowiedzi do zestawu 1 0 1 0 2 0 . 1 0 1 4. Znaleźć kąt między wektorami p = 3 − 2x, q = 2 − x R 1 [x] z iloczynem skalarnym danym wzorem 1. w przestrzeni ( p, q ) = p ( 1 ) q ( 1 ) + p ( 2 ) q ( 2 ) dla p, q ∈ R 1 [x]. F obrazem jest wektor ( −9, −4 ) ; 17 −4 1 2. −4 2 4 ; 1 4 17 3. baza własna { ( 1, 0, −1 ), ( 1, 0, 1 ), ( 0, 1, 0 ) } ; 1 18 4. kąt π . 4 Algebra liniowa 2 II kolokwium Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy. 1 G 2 3 4 Suma Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia! Teresa Jurlewicz ZADANIA 1. Wykresem funkcji z = g ( x, y ) jest płaszczyzna π : 2x + 5y − 4z = 2 . Zbadać, czy funkcja g jest przekształceniem liniowym R 2 → R . 2. Napisać macierz obrotu o kąt π wokół osi 2 Oz w przestrzeni R 3 w bazie { ( 0, 1, −1 ), ( 0, 0, 1 ), ( 1, −1, 0 ) } . 3. Wyznaczyć wartości i wektory własne przekształcenia liniowego K ( x, y, z ) = ( x + 2y + 3z, 2y, −z ) . 4. Wektory ( 1, 1, 0, 0 ), ( 0, 0, 1, 0 ) uzupełnić do bazy ortogonalnej przestrzeni E 4 i podać współrzędne wektora ( 0, 1, 0, 0 ) w tej bazie. Odpowiedzi do zestawu 1. funkcja g ( x, y ) = liniowym; G 2x + 5y 4 − 1 nie jest przekształceniem 2 −1 0 2 2. −2 1 2 ; −1 0 1 3. W −1 = lin { ( 3, 0, −2 ) } , W 1 = lin { ( 1, 0, 0 ) } , W 2 = lin { ( 2, 1, 0 ) } ; 1 4. współrzędne [ 2 , 0, 1, 0 ] w bazie { ( 1, 1, 0, 0 ), ( 0, 0, 1, 0 ), (− 12 , 12 , 0, 0 ), ( 0, 0, 0, 1 ) } . Algebra liniowa 2 II kolokwium Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy. H 1 2 3 4 Suma Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia! Teresa Jurlewicz ZADANIA 1. Napisać macierz w bazie standardowej przestrzeni R 3 symetrii względem płaszczyzny π : 3x − 3y + z = 0 . 2. Przekształcenie L : R 2 [x] → R 2 [x] jest określone wzorem ( Lp ) ( x ) = ( 2 − x ) p ( x ) dla p ∈ R 2 [x]. Uzasadnić liniowość tego przekształcenia i podać jego macierz w bazie { 1, x, x 2 } . 3. Znaleźć wartości własne i odpowiadające im podprzestrzenie własne przekształcenia liniowego L ( x, y, z ) = ( y, y, y ) . 4. Sprawdzić, że wektory ( 2, −1, 3 ), ( −1, 4, 2 ), ( 2, 1, −1 ) tworzą bazę ortogonalną przestrzeni E 3 i podać współrzędne wektora ( 0, 1, −1 ) w tej bazie. Odpowiedzi do zestawu H 1 18 −6 18 1 6 ; −6 6 17 0 2 0 2. 0 −1 4 ; 0 0 −2 3. W 0 = płaszczyzna xOz, W 1 = prosta l : x = y = z ; 2 2 1 4. [ − 7 , 21 , 3 ] . 1 1. 19