nr 4

Spis treści
Cyfry różnych narodów i epok1
Spis treści ...................................................................................... 1
Egipt
Cyfry różnych narodów i epok.............................................. 2
Egipt ................................................................................................. 2
Prawie tak samo stare jak babilońskie są cyfry egipskie.
Podstawowymi cyframi egipskimi są:
Konkursy ........................................................................................ 4
Zadania miesiąca 2005-2006 ................................................................. 4
Łamigłówki logiczne ............................................................................. 4
Rozwiązanie zadań konkursowych ........................................................... 6
Zadania miesiąca ........................................................................ 6
Łamigłówki logiczne .................................................................... 9
Słowniczek dużych problemów........................................... 11
Sprawdzenie ..................................................................................... 11
Samouczek zadaniowy............................................................ 12
Warunek istnienia trójkata................................................................... 12
Analfabetyzm matematyczny............ Błąd! Nie zdefiniowano
zakładki.
Liczby od 1do 9 to pionowe kreski( znak nacięcia lub karb),
10 – pętla do krępowania zwierząt,
100 – sznurek do pomiarów,
1 000 – kwiat lotosu,
10 000 – palec wskazujący,
100 000 – kijanka,
1 000 000 – człowiek w stanie ekstazy,
10 000 000 – promienie wschodzącego Słońca.
W systemie tym liczby oznaczano hieroglifami. Był to system oparty
na zasadzie dziesiętnej, ale bez zera.
Egipcjanie pisali najpierw liczby wyższego rzędu a później niższego.
Aby odczytać całą liczbę należy sumować liczby.
Romantyczne niepowodzenia ................................................................ 13
103 +100+100+100+100+100+100+100+100+100+10+10+10+10+10+10+7=1967
Jak gospodarować swoim czasem?................................... 14
1
1
Stanisław Kowal „Przez rozrywkę do wiedzy”
2
Konkursy
Zadania miesiąca 2005-2006
wrzesień
Między jakimi kolejnymi liczbami naturalnymi znajduje się liczba
55 + 5 55 + 5 5
październik
Dla jakiej wartości zmiennej x istnieje trójkąt o bokach długości x,
x-1, -x+3?
listopad
Pokaż, że gdy n jest liczbą naturalną, to liczba
podzielna przez 6.
443
n5 − n3
jest
Łamigłówki logiczne2
Starożytni Egipcjanie posługiwali się również ułamkami(typu 1/n –
ułamkami alikwotnymi), które zapisywano jak liczby naturalne
umieszczając nad nimi kropkę. Dla oznaczenia ułamków ½, ¼, 2/3,
¾ stosowano oddzielne hieroglify.
Dyplomaci
Dyplomaci- przedstawiciele sześciu wysp- wspominają spotkanie sprzed lat przy
okrągłym stole.
Reprezentant Wyspy Zagatkowej powiada:- Po mojej prawej stronie siedział
reprezentant Wyspy Nieforemnej.
Reprezentant wyspy Wamaku powiedział:- Po mojej lewej stronie siedział
reprezentant Wyspy Zagadkowej.
Reprezentant wyspy Bim-Bam-Bum powiada:- Po mojej prawej stronie siedział
reprezentant Wyspy Malutkiej.
Reprezentant Wyspy Nieforemnej powiada:- Siedziałem po lewej stronie
reprezentanta wyspy Wamaku.
Reprezentant Wyspy Malutkiej powiada:- Po mojej prawej stronie siedział
reprezentant Wyspy Alfabetycznej.
Reprezentant Wyspy Alfabetycznej powiada:- Siedziałem po prawej stronie
reprezentanta wyspy Bim-Bam-Bum.
Dyplomaci, jak to dyplomaci, czasami mijają się z prawdą. Tym razem dwaj z nich
kłamali.
Jak kolejno siedzieli przy okrągłym stole przedstawiciele wysp?
2
3
Lech Bogusz, Piotr Zarzycki, Jerzy Zieliński „Łamigłówki logiczne”
4
Rozwiązanie zadań konkursowych
Przy brydżu
Czterej moi przyjaciele spędzili wieczór przy brydżu, przy jednym bardzo długim
stole- i tak go wspominają:
Pan Abacki- Siedziałem na pozycji S. Po mojej prawej stronie siedział Babacki.
Pan Babacki:- Siedziałem na pozycji E. Po mojej prawej stronie siedział Abacki.
Pan Cabacki- Siedziałem na pozycji N. Po mojej prawej stronie siedział
Dabacki.
Pan Dabacki:- Siedziałem na pozycji S. Po mojej prawej stronie siedział
Cabacki.
Łatwo się domyślić, że moi przyjaciele mają, niestety, krótką pamięć- nie
wszystkie ich informacje są zgodne z prawdą. Gdybym jednak wiedział, ile z
powyższych ośmiu stwierdzeń jest fałszywych, mógłbym wydedukować, jak
siedzieli przy stoliku.
Kto z kim i przeciw komu grał w brydża?
Wyścigi
W dorocznych wyścigach konnych na Wyspie Zagadkowej startowało
dziewięć koni. Odbyły się trzy gonitwy. Miejscowa prasa oczywiście
typowała zwycięzców poszczególnych gonitw.
„Gazeta Zagadkowa” podała trzy typy: Abel, Dabel, Gabel.
„Express Zagadkowy” typował: babel, Ebel, Gabel.
„Sztandar Wyspiarski” radził obstawiać: Cabel, Fabel, Habel.
„Głos Zagadkowy” podał typy: Babel, Fabel, Ibel.
„Kurier Zagadkowy” typował: Cabel, Dabel, Gabel.
Wreszcie „Dziennik Zagadkowy” radził obstawiać: Abel, Ebel, Ibel.
Po wyścigach okazało się, że każda z gazet trafnie określiła co najmniej jednego ze
zwycięsców, choć żadna nie wytypowała trafnie wszystkich trzech.
Które konie wygrały kolejne trzy gonitwy?
Zadania miesiąca
marzec
Droga z A do B wiedzie przez wysoką górkę. Pewien rowerzysta
przejechał te trasę w ciągu 1h 54 min . Z powrotem jechał o 18 min
krócej. Oblicz, jaka długa jest ta droga, wiedząc, że w dół rowerzysta
jechał z prędkością 25km/h, a pod górę z prędkością 10 km/h.
rozwiązanie zadania
t=1h54min
t’=1h54min-18min=1h36min
V1=10km/h,
V2=25km/h,
t1- czas pod górkę,
t2- czas z górki.
t'1- czas z powrotem pod górkę,
t’2- czas z powrotem z górki,
S1- droga z A do B pod górkę,
S2- droga z A do B z górki.
t1 + t 2 = t

t '1 +t ' 2 = t '
S1 S 2
+
=t
V1 V2
S 2 S1
+
= t'
V1 V2
⇔
S1 S 2
54
+
=1
10 25
60
S 2 S1
36
+
=1
10 25
60
S2=10km,
S1=15km,
S= S1+ S2 = 15 km +10 km= 25 km
kwiecień
Sporządź wykres funkcji y = |x - 2 | - 4
Podaj
a) miejsce zerowe funkcji
b) dla jakich argumentów funkcja rośnie, a dla jakich maleje ?
c) dla jakich argumentów wartości funkcji są dodatnie, a dla
jakich ujemne ?
5
6
maj
 x − 2 dla x − 2 ≥ 0
x−2 =
− x + 2 dla x − 2 < 0
 x dla x ≥ 0
x =
− x dla x < 0
Ojciec i syn mają razem 66 lat. Ojciec ma 7 razy tyle lat, ile syn miał
wtedy, kiedy ojciec miał tyle lat, ile syn ma teraz. Ile lat ma ojciec , a
ile syn?
rozwiązanie zadania
 x − 2 dla x ≥ 2
x−2 =
− x + 2 dla x < 2
x - wiek syna
y – wiek ojca
x+y=66
y=7(x-(y-x))
 x − 2 − 4 dla x ≥ 2
y = x−2 −4=
− x + 2 − 4 dla x < 2
x = 2 ⇒ y = 2 − 6 = - 4 (2;-4)
x = -2 ⇒ y = 2 − 2 = 0 (-2;0)
 x − 6 dla x ≥ 2
y =
− x − 2 dla x < 2
14
x =66
8
14
y= x
8
x+
x+y=66
y=7(x-y+x)
x+y=66
y=7(2x-y)
22
x = 66
8
14
y= x
8
y
x+y=66
y=14x-7y
6
-2
x
b)funkcja rośnie dla x>2, a maleje dla x<2,
c)funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x ∈ (− ∞;−2) ∪ (6; ∞ )
8
22
x=24
14
y= ⋅ 24
8
x+y=66
y+7y=14x
x+y=66
8y=14x
a)miejsce zerowe –2, 4 ,
⋅
x=24
y=42
x+y=66
14
y= x
8
Odp. Ojciec ma 42 lata, a syn 24 lata.
funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
Sławek Jabłoński
x ∈ (− 2;6 )
7
8
Łamigłówki logiczne3
Nakrycia głowy
Mam trzech przyjaciół, którzy różnie przykrywają sobie głowy: jeden
z nich stale chodzi w kapeluszu, drugi w berecie, trzeci zaś w
czapce.
Wiem, że Babacki nie nosi beretu.
Wiem, że jeśli Babicki nosi czapkę, wówczas Abacki nosi kapelusz.
Wiem, że Cabacki nie nosi czapki.
Wiem, że jeśli Abacki nosi beret, wówczas Babacki nosi kapelusz.
Wiem, że Abacki nie nosi kapelusza.
Wiem, że jeśli Cabacki nosi czapkę, wówczas Abacki nosi beret.
Wiem także, że jedno z powyższych, konkretnych stwierdzeń jest
kłamstwem. Mimo to mogę ustalić, co noszą na głowie moi
przyjaciele, Abacki, Babacki i Cabacki.
Odp.: Oto możliwe układy nakryć głowy:
A-czapka, B- beret, C- kapelusz;
A-czapka, B- kapelusz, C- beret;
A-beret, B- kapelusz, C-czapka;
A-kapelusz, B- czapka, C- beret;
Szyba
W autobusie, którym jechało siedmiu pasażerów, wyleciała szyba,
wybita przez jednego z nich. Oto, co o tym incydwncie mówią
pasażerowie:
Abacki: - Wyraźnie widziałem, że to Fabacki wybił szybę.
Babacki:- Ależ skąd, to zrobił Dabacki albo Gabacki.
Cabacki:- Przyznaję się- to ja.
Dabacki:- To nie ja.
Ebacki:- Cabacki kłamie, to ja wybiłem szybę.
Fabacki:- Szybę wybił jeden z pasażerów z walizkami, a więc albo
Abacki, albo Babacki.
Gabacki:- co za ludzie! Tylko dwaj mówią prawdę. To znaczy ja,
oczywiście, i jeszcze, tylko jeden z nich.
Udało mi się ustalić, że pan Gabacki mówił prawdę. Który z
pasażerów wybił szybę w autobusie?
Lokatorzy
Każdy z panów mieszka na innym piętrze czteropiętrowego domu.
Abacki nie mieszka na czwartym piętrze.
Babacki nie mieszka na parterze.
Cabacki nie mieszka ani na piętrze, ani na czwartym piętrze.
Dabacki mieszka wyżej niż Babacki.
Ebacki nie sąsiaduje ani przez podłogę, ani przez sufit z
Cabackim.
Cabacki nie sąsiaduje przez podłogę ani przez sufit z Babackim.
Kto gdzie mieszka?
Odp.: Abacki mieszka na drugim piętrze, Babacki na pierwszym,
Cabacki na trzecim, Dabacki na czwartym, Ebacki na piętrze.
Prezenty
Pani Dabacka postanowiła kupić trzy zwierzaczki i dać po jednym
każdemu z trzech wymienionych panów. Z tym, że: Abacki nie
dostanie patataja, chyba że Babacki dostanie gogowca. Abacki nie
dostanie septułki, chyba że Cabacki dostanie patataja. Abacki nie
dostanie gogowca, chyba że Babacki dostanie septułkę. Cabacki nie
dostanie patataja, chyba że Abacki dostanie gogowca. Babacki nie
dostanie septułki, chyba że Cabacki dostanie gogowca. Pani
Dabacka dotrzymała powyższych warunków i wręczyła każdemu z
panów po jednym prezencie.
Co dostali poszczególni panowie?
Odp.: Abacki dostanie patataja, Babacki gogpowca, Cabacki
septułkę.
Monika Karwacka
Odp.: Prawdę mówili panowie Gabacki i Babacki, szybę wybił pan
Dabacki.
3
Lech Bogusz, Piotr Zarzycki, Jerzy Zieliński „Łamigłówki logiczne”
9
10
Słowniczek dużych problemów
Sprawdzenie
Sprawdzanie odpowiedzi jest jednym z najważniejszych
nawyków, który powinniśmy wyrobić u uczniów. Szansa na pomyłkę
w odejmowaniu jest większa niż w dodawaniu, dlatego należy
sprawdzić
bardziej
odejmowanie(analogicznie
dzielenie,
pierwiastkowanie)
Należy zwrócić uwagę na zapisywanie przez
wielu uczniów odpowiedniego działania i oczekiwanego wyniku bez
wykonywania obliczeń. Po skończeniu zadania uczniowie powinni
jeszcze raz dokładnie przeczytać treść zadania, aby sprawdzić, czy
wykonali wszystkie polecenia oraz czy podana odpowiedź to
rzeczywiście odpowiedź na pytanie postawione w zadaniu.
Sprawdzamy również, czy w odpowiedzi zadań są odpowiednie
jednostki.
Sprawdzanie rozwiązania równania polega na podstawieniu
do równania znalezionej wartości. Uczniowie wówczas oprócz
sprawdzania widzą, co się dzieje, gdy wstawiamy do danego
równani.
Bardzo często kluczem do rozwiązania prostego zadnia jest
odpowiedni
dobór
niewiadomych.
Uczniowie
powinni
się
przyzwyczaić, że niewiadomymi w równaniach nie muszą być
wielkości, o które pytamy w zadaniu.
Sprawdzanie zadana tekstowego polega tym, czy wszystkie podane
informacje zawarte w zadaniu zgadzają się z naszą odpowiedzią.
Wielu uczniów popełnia błąd, sprawdzając zadanie podstawia
odpowiedź do równania. W ten sposób sprawdzamy rozwiązanie
równania, a nie rozwiązanie zadania.
Rozwiązanie każdego zdania należy oszacować oraz określić
do jakiego zbioru liczb należy. Często pozwala to na szybkie i łatwe
wychwycenie pomyłki(np.2,444-5,333 –wynik jest liczbą ujemną, na
lekcji jest 2,5 chłopców, długość boku wynosi –2cm, babcia ma 4
lata).
Wielu uczniów dokonuje sprawdzenia poprzez wykonanie
dokładny rysunek i zmierzeniu potrzebnych wielkości(kątów,
odcinków).
Jednak uczniowie niechętnie wykonują sprawdzenia. Jeśli zadanie
jest rozwiązane dobrze, to sprawdzenie jest dodatkową pracą, a jeśli
źle, zwiększa się ilość pracy, gdyż zmuszeni jesteśmy do powtórnego
rozwiązania zadania.
Dzięki nawykowi sprawdzania uczeń może :
ocenić własną pracę, wskazać zdania, lub część rozwiązania zdania,
które zostało źle lub poprawnie rozwiązane.
Redakcja
11
Samouczek zadaniowy
Warunek istnienia trójkąta.
Zadanie 1.
Czy istnieje trójkąt o bokach 2 cm, 5 cm, 1 cm?
2cm < 5cm+1cm prawda
Boki trójkąta muszą
5cm < 2cm+1cm fałsz
spełniać tzw. nierówność trójkąta.
1cm < 5cm+2cm prawda
Nie istnieje trójkąt o bokach 2 cm, 5 cm, 1 cm.
Zadanie 2
Dwa boki trójkąta mają długość 10 cm, 30 mm.
Jaką długość może mieć trzeci bok trójkąta?
30mm=3cm
10-3<x<10+3
7cm<x<13cm
Odp:. Długość trzeciego boku jest większa od 7 cm a mniejsza od 13 cm.
Np. 7,5cm;10cm;11cm;12,9cm.
Zadanie 3
Jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ma miarę 35º.
Oblicz miarę drugiego kąta ostrego.
α
90º
35º
α + 90º +35º=180º
α + 125º=180º
α =180º - 125º
α =55º
Zadanie 4.
W trójkącie miary jego katów pozostają w stosunku 1:1,5: 2. Co to za trójkąt?.
Podaj miary kątów.
x+1,5x+2x=180º
4,5x=180º
x=180º: 4,5
x=40º
1,5x
2x
x=40º
1,5x=40º*1,5=60º
2x= 40º* 2 =80º
x
Odp. Miara kątów trójkąta wynoszą 40º,60º,80º. Trójkąt jest ostrokątny.
Redakcja
12
Analfabetyzm matematyczny4
Romantyczne niepowodzenia
Romantyczne nieporozumienia sprzyjają niskiemu poziomowi
edukacji matematycznej, demonstrowaniu niesmaku w stosunku do
matematyki.
Utrzymuje się przekonanie, że osoby zajmujące się liczbami(
sklepikarze, księgowi, bankierzy, ekonomiści, inżynierowie,
nauczyciele matematyki,...) są ludźmi nieczułymi na prawdziwie
wielkie sprawy, na wspaniałości natury. Matematyka zajmuje się
abstrakcją, a nie światem rzeczywistym i dlatego ma opinię
dyscypliny „zimnej”. Stosowanie matematyki w przypadkach
prostych, jaki i skomplikowanych bywa często trudne i wymaga
dużego emocjonalnego zaangażowania i wrażliwości.
Wiele osób stosuje błędnie i bezmyślnie równość „1+1=2”: 1 kubek
cukru dodany do 1kubka wody nie daje 2 kubków słodkiej wody.
Matematycy podobnie, jak inni ludzie nauki kierują się emocjami,
której towarzyszy zazdrość, arogancja, współzawodnictwo. Badania
problemów matematycznych wzbudza w nich gorące namiętności.
Wątki romantyczne można zauważyć np.: w teorii liczb i logice.
Romantyzm ten sięgał czasów Pitagorasa, który uważał , że
zrozumienie świata polega na zrozumieniu liczb.
Co jest najmądrzejsze? Liczba.
Co jest najpiękniejsze? Harmonia.
Czym jest cały świat? Liczbą i harmonią.
Pitagoras
Istnieje przekonanie, że liczb powodują odczłowieczenie,
pomniejszając indywidualność. Wiele osób ma przekonanie, że
matematyka ma mechaniczną naturę. Bardzo często zdolności
matematyczne mylone są z biegłością w rachunkach, ze
zdolnościami pamięciowymi. „ W rezultacie mamy często do
czynienia z kaptowaniem poważnych matematyków, inżynierów i
naukowców do pracy w instytucjach przemysłowych, by ich
natychmiast podporządkować świeżo upieczonym magistrom
ekonomii i księgowym.”
Prawdziwa nauka i matematyka dokładność jest bardziej
fascynująca niż informacje publikowane w brukowych gazetach.
Jak gospodarować swoim czasem?
Jeśli twój efektywny plan działania jest już gotowy, to dużo
trudności za nami. Co jeszcze można zrobić? Rozpocząć dzień z
uśmiechem... Tak, tak. Ile razy zdarzył Ci się wstać lewą nogą?
Jakie były skutki takiego poranka? Pół dnia zmarnowane, część
znajomych obrażona, nie wspominając o nauczycielach. Warto
przypomnieć sobie, co tego dnia będzie dla nas najważniejsze, co
mamy załatwić, zdać, zaliczyć i czego się nauczyć – proponuje
myśleć o rzeczach naprawdę ważnych!!!
Co robić, aby właściwie wykorzystać czas? Każdego dnia wydziel
sobie chwilę dla siebie, kiedy będziesz mógł zająć się tylko tym, na
co masz ochotę. Warunkiem powodzenia jest całkowite poświecenie
się temu, co robisz w danym momencie. Nie możesz uczyć się i
jednocześnie rozwiązywać krzyżówki, oglądać telewizję, słuchać
radia czy rozmawiać – takie postępowanie to strata czasu!
Weronika Hynas
Rdakcja
4
John Allen Paulos „Analfabetyzm matematyczny i jego skutki”
13
14