Zastosowania równań różniczkowych cząstkowych. Lista zadań nr 2

Zastosowania równań różniczkowych cząstkowych.
Lista zadań nr 2.
1. Zagadnienie
(∗)

2

utt = c uxx
u(x, 0) = u0 (x)


ut (x, 0) = v0 (x)
dla (x, t) ∈ R × R +
dla x ∈ R
dla x ∈ R
opisuje drgania obustronnie nieskończonej, niezamocowanej struny wokół położenia równowagi. Korzystając z zadania 6 z listy nr 1 wyprowadzić następujący wzór na postać rozwiązania zagadnienia (∗) w
przypadku, gdy u0 ∈ C 2 (R), v0 ∈ C 1 (R) (wzór d’Alemberta):
u0 (x − ct) + u0 (x + ct)
1
u(x, t) =
+
2
2c
Z
x+ct
v0 (s) ds.
x−ct
2. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że funkcja
u0 (x − ct) + u0 (x + ct)
1
u(x, t) =
+
2
2c
Z
x+ct
v0 (s) ds,
x−ct
gdzie u0 ∈ C 2 (R), v0 ∈ C 1 (R) jest rozwiązaniem zagadnienia

2

utt − c uxx = 0 dla (x, t) ∈ R × (0, ∞)
(∗)
u(x, 0) = u0 (x)
dla x ∈ R,


ut (x, 0) = v0 (x) dla x ∈ R.
Sprawdzić, że jeśli funkcje u0 i v0 są nieparzyste, to u(0, t) = 0 dla t ­ 0.
3. Wykorzystując zadanie poprzednie znaleźć rozwiązanie zagadnienia brzegowo-początkowego

utt − c2 uxx = 0, dla (x, t) ∈ (0, ∞) × (0, ∞)



u(x, 0) = u (x),
dla x ­ 0
0

ut (x, 0) = v0 (x), dla x ­ 0



u(0, t) = 0,
dla t ­ 0,
gdzie u0 ∈ C 2 ([0, ∞)), v0 ∈ C 1 ([0, ∞)), u0 (0) = v0 (0) = 0.
4. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że funkcja
u
e(x, t) =
1
2c
Z tZ
x+c(t−τ )
f (ξ, τ ) dξdτ
0
x−c(t−τ )
jest rozwiązaniem zagadnienia
(∗∗)

2

utt − c uxx = f (x, t)
u(x, 0) = 0


ut (x, 0) = 0
5. Znaleźć rozwiązanie zagadnienia

2

utt − c uxx = 1
u(x, 0) = 0


ut (x, 0) = x exp{−x2 }
dla (x, t) ∈ R × (0, ∞)
dla x ∈ R,
dla x ∈ R.
dla (x, t) ∈ R × (0, ∞)
dla x ∈ R,
dla x ∈ R.
6. Równanie fali w przestrzeni trójwymiarowej ma postać utt − c2 ∆u = 0, gdzie ∆u ≡ uxx + uyy + uzz .
Wyprowadzić następujący wzór przedstawiający ogólną postać radialnie symetrycznych rozwiązań tego
równania:
1
1
u(r, t) = f (r − ct) + g(r + ct),
r
r
p
gdzie r = x2 + y 2 + z 2 ) a f, g są dowolnymi funkcjami klasy C 2 .
Wsk. Rozważyć funkcję w = ru, skorzystać z zadania 8 z listy 1.