Zadania 2

1
Zadania 2
1 Dana jest funkcja u : R ⊃ (a, b) → R i punkt x0 ∈ (a, b).
a) Udowodnić, że jeśli u jest różniczkowalna w x0 , to
lim
h→0
u (x0 + h) − u (x0 − h)
= u0 (x0 ) .
2h
Czy z istnienia powyższej granicy (skończonej) wynika różniczkowalność u w x0 ?
b) Udowodnić, że jeśli u jest dwukrotnie różniczkowalna w x0 , to
lim
h→0
u (x0 + h) − 2u (x0 ) + u (x0 − h)
= u00 (x0 ) .
2
h
Czy z istnienia powyższej granicy (skończonej) wynika dwukrotna różniczkowalność u
w x0 ?
2 Dana jest funkcja u : R × R ⊃ (a, b) × (c, d) → R i punkt (x0 , y0 ) ∈ (a, b) × (c, d).
Wykazać, że
klasy C 2 w pewnym otoczeniu punktu (x0 , y0 ) i istnieje stała c0 > 0
jeśli u jest
taka, że hh21 ¬ c0 , hh21 ¬ c0 , to
a)
lim
(h1 ,h2 )→(0,0)
1
[u (x0 + h1 , y0 ) + u (x0 − h1 , y0 ) + u (x0 , y0 + h2 ) + u (x0 , y0 − h2 )
2h1 h2
−2u (x0 , y0 ) − u (x0 + h1 , y0 − h2 ) − u (x0 − h1 , y0 + h2 )] = uxy (x0 , y0 ) ,
b)
lim
(h1 ,h2 )→(0,0)
1
[−u (x0 + h1 , y0 ) − u (x0 − h1 , y0 ) − u (x0 , y0 + h2 ) − u (x0 , y0 − h2 )
2h1 h2
+2u (x0 , y0 ) + u (x0 + h1 , y0 + h2 ) + u (x0 − h1 , y0 − h2 )] = uxy (x0 , y0 ) .
Czy z istnienia powyższych granic (skończonych) wynika istnienie pochodnej czastkowej
,
uxy (x0 , y0 )?
3 Udowodnić Twierdzenie o aproksymacji. W każdym przypadku podać przykład funkcji
klasy C ∞ takiej, że aproksymacji nie można poprawić. Ponadto w każdym przypadku pokazać
na przykładach, ze zmniejszenie regularności (np. z C 2 na C 1 , itd.) nie implikuje tezy tego
twierdzenia.
4 Dana jest funkcja u : R ⊃ [a, b] → R klasy C 2 . Dowieść, że jeśli k uxx k¬ d (d = const ­
0), gdzie k k jest norma, maksimum w przestrzeni wektorowej (C 2 ([a, b] , R) , +, R, ·), to iloraz
różnicowy w zadaniu 1b) jest na moduł ograniczony przez d.
5 Dana jest funkcja u : R × R ⊃ [a, b] × [c, d] → R klasy C 2 . Dowieść, że jeśli k uxx k,
k uyy k, k uxy k ¬ d (d = const ­ 0) i hh21 , hh21 ¬ c0 , gdzie k k jest norma, maksimum
w przestrzeni wektorowej (C 2 ([a, b] × [c, d] , R) , +, R, ·), to ilorazy różnicowe w zadaniu 2 sa,
na moduł ograniczone przez (1 + 2c0 ) d.
6 Wykazać, że metoda różnicowa dla nieliniowego parabolicznego równania różniczkowego
czastkowego
z warunkiem brzegowym typu Dirichleta (patrz wykład) jest zgodna.
,
2
7 Udowodnić Uwage, z wykładu o istnieniu w metodzie różnicowej dla nieliniowego parabolicznego równania różniczkowego czastkowego
z warunkiem brzegowym typu Dirichleta ciagu
,
,
kroków (hl )l∈N spełniajacego
ograniczenia
na
kroki
i
zbieżnego
do
zera,
jeśli
tylko
spełnione
sa,
,
e
założenia o problemie różniczkowym i istnieje krok h spełniajacy
ograniczenia na kroki.
,
8 Uzasadnić, że
η (µ) ¬ ω t(µ) ; h ,
µ = 0, ..., K0
(patrz wykład - to dopiero bedzie).
,
9 Rozważmy nastepuj
ace
pierwsze zagadnienia Fouriera:
,
,
a)


 ut = uxx
dla (t, x) ∈ [0, 1] × (−1, 1) ,
u (0, x) = 0 dla x ∈ [−1, 1] ,


u (t, x) = 0 dla (t, x) ∈ [0, 1] × ([−1, 1] \ (−1, 1)) ,
b)


 ut = [1 + cos u (t, x)] uxx
dla (t, x) ∈ [0, 1] × (−1, 1) ,
u (0, x) = 0 dla x ∈ [−1, 1] ,


u (t, x) = 0 dla (t, x) ∈ [0, 1] × ([−1, 1] \ (−1, 1)) ,
c)


 ut = cos u (t, x)uxx
dla (t, x) ∈ [0, 1] × (−1, 1) ,
u (0, x) = 0 dla x ∈ [−1, 1] ,


u (t, x) = 0 dla (t, x) ∈ [0, 1] × ([−1, 1] \ (−1, 1)) ,
d)

uxy +uyx
yx

− uxy +u
+ |u|

2
2
 ut = uxx + uyy + sin
(t, x, y) ∈ [0, 1] × (−1, 1)2 ,
(x, y) ∈ [−1, 1]2 , (t, x, y) ∈ [0, 1] × [−1, 1]2 \ (−1, 1)2 ,
u (0, x, y) = 0 dla
dla


 u (t, x, y) = 0
e)
dla


 ut = arctg uxx + [1 + cos u (t, x)] uxx + |ux |
dla (t, x) ∈ [0, 1] × (−1, 1) ,
u (0, x) = 0 dla x ∈ [−1, 1] ,


u (t, x) = 0 dla (t, x) ∈ [0, 1] × ([−1, 1] \ (−1, 1)) .
Sprawdzić, czy spełnione sa, dla nich założenia o problemie różniczkowym i czy można
dobrać kroki siatki. Jeśli tak, to wyznaczyć ograniczenia na te kroki. W przykładzie a)
oszacować bład
, aproksymacji γ (h).
zagadnień poczatkowych:
10 Znaleźć maksymalne rozwiazania
,
,
a)
(
b)
(
(
gdzie f (y) :=
q
ω 0 (t) = ω (t) dla t ∈ [0, 1]
,
ω (0) = 0
ω 0 (t) = f (ω (t))
ω (0) = 0
y |ln y| , y > 0
.
0,
y=0
dla t ∈ [0, 1]
,